第4章-剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)-4學(xué)時(shí)

第4章剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)第4章

剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法

自然坐標(biāo)法、直角坐標(biāo)法、矢徑法、其它方法速度和加速度公式

剛體的簡單運(yùn)動(dòng)

剛體的平行移動(dòng)—各點(diǎn)的軌跡、速度和加速度剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)—速度和加速度2ppt/81

本章首先介紹質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法，包括質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、空間位置、位移、速度和加速度的描述方法；然后介紹剛體的兩種簡單運(yùn)動(dòng)：平行移動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，速度和加速度的分布規(guī)律、表示方法和計(jì)算公式。3ppt/81質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法運(yùn)動(dòng)和變化是物質(zhì)世界的基本屬性。宇宙的萬事萬物都在不停地運(yùn)動(dòng)和變化。在描述物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，必須選定參照系。所謂參照系是為了研究某物體的位置變化而選定的另一物體。所謂“坐地日行八萬里”，是說我們即使坐在地上一動(dòng)不動(dòng)，一天下來我們跟隨地球在太空居然移動(dòng)了八萬里路程。這里所說的一動(dòng)不動(dòng)，是以地面上某個(gè)固定不動(dòng)的物體為參照系；如果以太空中某顆恒星為參照系，我們無時(shí)無刻不在跟隨地球而運(yùn)動(dòng)。4ppt/81質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法在工程上，為了研究物體的運(yùn)動(dòng)，通常選擇地面上某個(gè)固定不動(dòng)的物體為參照系，并稱這樣的參照系為固定參照系。數(shù)學(xué)上，可以采用不同的描述方法，即采用不同的坐標(biāo)系來描述物體的空間位置和運(yùn)動(dòng)。參照系與坐標(biāo)系的區(qū)別：參照系是物理概念，坐標(biāo)系是數(shù)學(xué)概念。通常對于同一個(gè)參照系，可以選用不同的坐標(biāo)系來描述物體的空間位置和運(yùn)動(dòng)，例如直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、自然坐標(biāo)等等。5ppt/81質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法自然法：用s=s(t)描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)這里：t是指某時(shí)刻；

s是質(zhì)點(diǎn)由初始時(shí)刻t0到t時(shí)刻移動(dòng)的路程，

s稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧長坐標(biāo)；t-t0是質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程s所需的時(shí)間;自然坐標(biāo)法是一種描述路程的方法。路程等于質(zhì)點(diǎn)始末兩個(gè)位置運(yùn)動(dòng)軌跡的長度。從運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀來看，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只有兩種情況：直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)。6ppt/81質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法在已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，采用自然坐標(biāo)法計(jì)算速度和加速度比較方便，質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)是最常見的曲線運(yùn)動(dòng)。直角坐標(biāo)法：用x=x(t),y=y(t),z=z(t)描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這里x，y，z是質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻所占據(jù)的空間位置坐標(biāo)。直角坐標(biāo)法是一種描述位移（位置的改變）的方法。運(yùn)用直角坐標(biāo)法可以很方便地計(jì)算質(zhì)點(diǎn)沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分速度和分加速度。7ppt/81質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法矢徑法：用r=x(t)i+y(t)j+z(t)k描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這里x，y，z仍然是質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻所占據(jù)的空間位置坐標(biāo)，r是從坐標(biāo)原點(diǎn)引出并指向質(zhì)點(diǎn)的矢徑，通過矢徑r的端點(diǎn)跟蹤質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。矢徑r的端點(diǎn)描出的曲線，稱為矢端曲線。顯然，矢端曲線就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線。矢徑法是一種描述位移的方法，它與直角坐標(biāo)法的區(qū)別是：運(yùn)用矢量運(yùn)算的方法，在公式推導(dǎo)時(shí)，有時(shí)更為方便。8ppt/81質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法其它方法 用極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)等等描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法。關(guān)于位移的幾點(diǎn)說明：位移是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念。所謂位移是指質(zhì)點(diǎn)在移動(dòng)過程中，始末兩個(gè)位置的改變?？紤]到移動(dòng)具有方向性，所以位移必須用矢量來描述。簡言之，位移是矢量，具有大小和方向。位移的大小等于質(zhì)點(diǎn)始末兩個(gè)位置之間的直線距離，方向由始末兩點(diǎn)確定，由起點(diǎn)指向終點(diǎn)。9ppt/81質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法位移與路程的區(qū)別：路程是標(biāo)量，位移是矢量。如果質(zhì)點(diǎn)沿曲線軌跡運(yùn)動(dòng)，位移矢量的大小并不等于路程，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程等于始末兩點(diǎn)曲線軌跡的長度。描述質(zhì)點(diǎn)位移最方便的方法是上面介紹的矢徑法。10ppt/81質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻t的瞬時(shí)速度矢量，簡稱為速度，記為v=v(t)，定義為：矢徑法—質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度如果分別表示質(zhì)點(diǎn)在t、t+Dt時(shí)刻所在的空間位置A和B，那么A、B兩點(diǎn)之間的位移可以用矢量差來表示，記為即位移矢量可用矢徑的增量Dr來表示。11ppt/81矢徑法—質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度因此，質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻t的瞬時(shí)速度是一個(gè)矢量，它等于質(zhì)點(diǎn)的矢徑r關(guān)于時(shí)間參數(shù)t的一階導(dǎo)數(shù)，其方向沿矢端曲線即運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的切線方向，速度矢量v(t)的大小代表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢。速度矢量v(t)的分量表達(dá)式：矢徑r的三個(gè)坐標(biāo)x、y、z對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)分別等于速度矢量v(t)沿坐標(biāo)軸分量的大小，稱為質(zhì)點(diǎn)沿三個(gè)方向的分速度，簡記為如下形式。12ppt/81矢徑法—質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度速度矢量的分量式式中字母頭上加一點(diǎn)表示相應(yīng)量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，以下用字母頭上加兩點(diǎn)等表示相應(yīng)量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)13ppt/81矢徑法—質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度加速度矢量定義為速度矢量v對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)或者矢徑r對時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)，記為加速度矢量a(t)沿坐標(biāo)軸分量的大小，稱為質(zhì)點(diǎn)沿三個(gè)方向的分加速度，加速度分量式為14ppt/81自然軸系中的速度公式

因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的速度矢量沿軌跡曲線的切線方向，根據(jù)任一矢量可以用其大小和代表其方向的單位矢量表示的性質(zhì)，質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度矢量可以寫為式中v=ds/dt表示速度矢量的大小，ds可以理解為質(zhì)點(diǎn)在dt時(shí)間里通過的路程，t表示在運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在位置處的單位切線矢量。在研究質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)等曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，采用自然坐標(biāo)軸系計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度比較方便。15ppt/81自然軸系中的速度公式

速度矢量為上式表明：要計(jì)算速度的大小，只需用弧坐標(biāo)s=s(t)關(guān)于時(shí)間參數(shù)t求一階導(dǎo)數(shù)即可。該式也可利用速度矢量的定義式和計(jì)算復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法，得到式中導(dǎo)數(shù)dr/ds=t表示t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在位置處軌跡曲線的切線方向的單位矢量。16ppt/81自然軸系為了推導(dǎo)加速度矢量在自然坐標(biāo)軸系中的表達(dá)式，首先需要定義關(guān)于空間曲線的自然坐標(biāo)軸系的兩個(gè)單位法線矢量，它們是單位主法線矢量n和單位副法線矢量b。對于由運(yùn)動(dòng)方程給出的空間曲線（對于平面曲線，z坐標(biāo)恒等于零

），其上一點(diǎn)的單位切線矢量t可以表示為17ppt/81其中b稱為單位副法線矢量。由t

、n、b三個(gè)相互垂直的方向組成的坐標(biāo)系稱為自然軸系，它是一種局部坐標(biāo)系，隨點(diǎn)的位置變化而改變?nèi)齻€(gè)單位矢量的方向。自然軸系設(shè)Dt=t′

-t，其中t=t(j),t′=t(j+Dj)是曲線上A、B兩點(diǎn)的單位切線矢量，則A點(diǎn)的主法線矢量n的方向定義為當(dāng)Dj趨近于零，Dt（其大小約等于Dj）的極限方向，它與該點(diǎn)的切線矢量垂直，并可按下列公式定義單位長度矢量n和b：18ppt/81自然軸系：19ppt/81自然軸系中的幾個(gè)概念由一點(diǎn)的切線矢量和主法線矢量所確定的平面稱為曲線上該點(diǎn)的密切面。將密切面繞一點(diǎn)的切線矢量t

旋轉(zhuǎn)90°所得平面稱為該點(diǎn)的切平面。將密切面繞一點(diǎn)的主法線矢量n

旋轉(zhuǎn)90°所得平面稱為該點(diǎn)的法平面?？臻g曲線上一點(diǎn)的密切面可以這樣理解：它至少包含該點(diǎn)領(lǐng)域里部分曲線。一般情況下，切平面和法平面在相切的位置處只與曲線上一個(gè)點(diǎn)相交，即只包含該點(diǎn)領(lǐng)域里曲線上一個(gè)點(diǎn)。20ppt/81自然軸系中的幾個(gè)概念密切面是理解自然坐標(biāo)軸系的重要概念。對于任意一條空間曲線，曲線上不同點(diǎn)的切線矢量t

、主法線矢量n

、副法線矢量b是隨點(diǎn)的位置發(fā)生變化的，在這個(gè)意義上，自然坐標(biāo)軸系是曲線上一點(diǎn)的局部坐標(biāo)系。為了得到加速度矢量在自然坐標(biāo)軸系中的表達(dá)式，還需要用到曲率或曲率半徑的概念。下面，我們來推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度公式。21ppt/81自然軸系中的加速度公式

根據(jù)加速度矢量的定義式及函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)公式，有式中最右端第一項(xiàng)是一個(gè)矢量，其方向沿軌跡的切線方向，其大小等于速度大小對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，第二項(xiàng)等于速度的大小乘以單位切線矢量t對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，下面來計(jì)算該導(dǎo)數(shù)。根據(jù)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法可得到單位切線矢量t對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)如下：22ppt/81單位切線矢量導(dǎo)數(shù)公式

式中dt為dt時(shí)間里質(zhì)點(diǎn)前后位置單位切線矢量t的增量，dj、ds分別為前后兩個(gè)位置單位切線矢量的夾角以及在dt時(shí)間里質(zhì)點(diǎn)通過的路程。dt=ndj，導(dǎo)數(shù)dj/ds反映曲線在一點(diǎn)的彎曲程度，稱為曲線在該點(diǎn)的曲率，記為k。曲率的倒數(shù)稱為該點(diǎn)的曲率半徑，記為r，對于圓周曲線，曲率半徑等于圓的半徑。導(dǎo)數(shù)ds/dt=v為速度的大小。23ppt/81自然軸系中的加速度公式

根據(jù)得到自然坐標(biāo)軸系中的加速度公式24ppt/81自然軸系中的單位矢量公式匯總只要給定了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可按下述方式確定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上一點(diǎn)的單位切線矢量t、單位主法線矢量n和單位副法線矢量b25ppt/8126例1：半徑為r的輪子在水平地面上純滾動(dòng)，已知輪心的速度u是常量，求輪緣上一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。ppt/8127[解]：設(shè)t=0時(shí)刻M

位于坐標(biāo)原點(diǎn)，在t

時(shí)刻，M

位于圖示位置輪子作純滾動(dòng)，所以結(jié)論：速度方向指向最高點(diǎn)D.ppt/8128ppt/8129例2：曲柄連桿機(jī)構(gòu)中曲柄OA和連桿AB的長度分別為r和l。且l>r，角

=

t，其中

是常量?；瑝KB可沿軸Ox作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，試求滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程，速度和加速度。ppt/8130ppt/8131解：假設(shè)滑塊B在圖示位置，由幾何關(guān)系得滑塊B的坐標(biāo)令l=r/l，將上式的根式展開，有ppt/8132略去

4以及更高階項(xiàng)，并利用ppt/8133例3：如圖凸輪繞O軸勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，使桿AB上升。欲使桿AB勻速上升，凸輪上的CD段輪廓線應(yīng)是什么曲線？解：以凸輪為參考系，取極坐標(biāo)研究A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)根據(jù)題意有將上式對時(shí)間積分一次，并設(shè)C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)A在t=0時(shí)的初始位置，于是得以極坐標(biāo)表示的A點(diǎn)相對于凸輪的運(yùn)動(dòng)方程消去時(shí)間t，得A點(diǎn)在凸輪上的軌跡方程ppt/8134例4：銷釘B可沿半徑等于R的固定圓弧滑道DE和擺桿的直槽中滑動(dòng)，OA=R=0.1m。已知擺桿的轉(zhuǎn)角

=(sin2t)/8，試求銷釘在t1=(1/4)s和t2=1s時(shí)的加速度。ppt/8135ppt/8136解：銷釘B的軌跡是中心在A點(diǎn)且半徑是R的圓弧DE。選滑道上O'點(diǎn)作為弧坐標(biāo)的原點(diǎn)，并以O(shè)'D為正向。則B點(diǎn)在任一瞬時(shí)的弧坐標(biāo)所以速度加速度代入t1=1/4s和t2=1s，不難得出相應(yīng)的加速度ppt/81極坐標(biāo)與柱坐標(biāo)系—速度和加速度公式

對于圓周運(yùn)動(dòng)，采用自然坐標(biāo)法計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度很方便。如果質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)做一般的曲線運(yùn)動(dòng)，有時(shí)采用極坐標(biāo)來計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也很方便。在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其空間位置可以用所謂的極坐標(biāo)（r，j）來表示，如下圖所示。37ppt/81極坐標(biāo)系—速度和加速度公式

其中o稱為極點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)A的位置用矢徑r來表示，r是矢徑r的長度，j是矢徑r與參考軸x的夾角。單位矢量er沿矢徑r的方向，ej與er垂直，沿角度j

增加的方向。質(zhì)點(diǎn)的極坐標(biāo)也是一種局部坐標(biāo)。38ppt/81極坐標(biāo)系—速度和加速度公式

如果將單位矢量er、ej沿x、y兩個(gè)方向分解，則有式中i、j分別為與x、y方向平行的單位矢量。矢徑r可以通過r與er表示為

39ppt/81極坐標(biāo)系—速度和加速度公式

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，r，j都是時(shí)間參數(shù)t的函數(shù)，從而er、ej也是時(shí)間參數(shù)t的函數(shù)。根據(jù)公式注意到i、j分別為與x、y方向平行的單位矢量，是常矢量，與時(shí)間無關(guān)，可得到單位矢量er、ej對時(shí)間參數(shù)t的一階導(dǎo)數(shù)公式式中

表示轉(zhuǎn)角對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。40ppt/81極坐標(biāo)系—速度和加速度公式

根據(jù)速度矢量的定義式，并利用矢徑表達(dá)式以及單位矢量導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式，可推出極坐標(biāo)中速度矢量公式極坐標(biāo)中加速度矢量公式式中

表示轉(zhuǎn)角對時(shí)間的一階、二階導(dǎo)數(shù)，分別稱為物體運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度。41ppt/81極坐標(biāo)系—速度和加速度公式

對于質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的情況，因?yàn)閞是常數(shù)，等于圓的半徑，所以，由以上公式計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度非常方便，只需將圓的半徑、角速度和角加速度分別代入即可得到：圓周運(yùn)動(dòng)速度和加速度計(jì)算公式42ppt/81柱坐標(biāo)系—速度和加速度公式

對于質(zhì)點(diǎn)在空間做曲線運(yùn)動(dòng)，其空間位置可以用所謂的柱坐標(biāo)（r，j，z）來表示，從而寫出質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度矢量公式。43ppt/81柱坐標(biāo)系—速度和加速度公式

在柱坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的位置用矢徑r表示為

式中r是矢徑r在xy平面上的投影值的大小。44ppt/81柱坐標(biāo)系—速度和加速度公式

柱坐標(biāo)中速度和加速度矢量公式用同樣方法，可推出球坐標(biāo)中速度和加速度公式。在研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡、速度和加速度時(shí)，應(yīng)根據(jù)問題的性質(zhì)和研究問題的方便，選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系和相應(yīng)的計(jì)算公式。

45ppt/81剛體有兩種簡單運(yùn)動(dòng)：（1）平行移動(dòng)；（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的簡單運(yùn)動(dòng)46ppt/81平行移動(dòng)：如果剛體上任意兩點(diǎn)所連直線的方位在剛體運(yùn)動(dòng)過程中保持相互平行的關(guān)系，則稱剛體的運(yùn)動(dòng)為平行移動(dòng)，簡稱為平動(dòng)。根據(jù)平動(dòng)的特點(diǎn)，借助矢量的簡單運(yùn)算，容易得到下面關(guān)于剛體平動(dòng)的定律。剛體平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)定律：做平行移動(dòng)的剛體上任意兩點(diǎn)具有相同的運(yùn)動(dòng)軌跡，在任意時(shí)刻t具有相同的速度和相同的加速度。剛體的平行移動(dòng)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)定律47ppt/8148ppt/8149ppt/8150ppt/8151ppt/81a是常矢量，與時(shí)間無關(guān)，rA、rB隨時(shí)間而改變；經(jīng)過任意時(shí)間Dt，A、B兩點(diǎn)的位移相等，即剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)定律的證明由矢徑rA、rB描出的兩條矢端曲線沿矢量a的方向移動(dòng)一段距離后可以完全重合（見圖示），即A、B兩點(diǎn)具有相同的運(yùn)動(dòng)軌跡。52ppt/81根據(jù)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度矢量的定義式，得到這表明A、B兩點(diǎn)在任意時(shí)刻t具有相同的速度和相同的加速度。證訖。剛體平動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)定律的證明53ppt/81如果剛體上某一條直線上的各個(gè)點(diǎn)的位置在剛體運(yùn)動(dòng)過程中保持不變，則稱該直線為固定軸線或轉(zhuǎn)軸，稱剛體的運(yùn)動(dòng)為繞該固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，簡稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。為了了解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，我們來研究剛體上任意一點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，并假設(shè)點(diǎn)A