第四章-大數定律與中心極限定理答案

第四章大數定律與中心極限定理答案一、單項選擇設為標準正態(tài)分布函數，，且，相互獨立。令，則由中心極限定理知的分布函數近似于（）（A）（B）Ф（C）（D）答案：D二、填空1.設的期望和方差分別為和，則由切比雪夫不等式可估計。答案：2．設隨機變量和的數學期望分別為－2和2，方差分別為1和4，而相關系數為－0.5，則根據切比雪夫不等式，有________．答案：3．已知隨機變量的均值μ=12，標準差σ=3，試用切比雪夫不等式估計落在6到18之間的概率為________．與3到21之間解由題意得，由切比雪夫不等式得4．已知隨機變量的均值μ=12，標準差σ=3，試用切比雪夫不等式估計落在3到21之間的概率為________．解由題意得，由切比雪夫不等式得5．假定生男孩、生女孩的概率均為0.5，用切比雪夫不等式估計200個新生嬰兒中男孩在80個到120個之間的概率為________．解設表示在200個新生嬰兒中男孩的個數,則其中,則由切比雪夫不等式得6．用切比雪夫不等式估計下題的概率:廢品率為0.03,求1000個產品中廢品多于20個且少于40個的概率為________.答案：0.7097．用切比雪夫不等式估計下題的概率:求200個新生嬰兒中,男孩多于80個且少于120個的概率為________.(假定生女孩和生男孩的概率均為0.5.)答案：0.8754已知生男孩的概率為0.515,求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率.解設為10000個新生嬰兒中男孩的個數,則其中.10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩,即由DeMovire-Laplace中心極限定理,得新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率5試利用(1)切比雪夫不等式;(2)中心極限定理分別確定投擲一枚均勻硬幣的次數,使得出現”正面向上”的頻率在0.4到0.6之間的概率不小于0.9.解設表示投擲一枚均勻硬幣n次出現”正面向上”的次數,則則其中,則(1)利用切比雪夫不等式求解由此得(2)利用中心極限定理求解由DeMovire-Laplace中心極限定理得,近似服從正態(tài)即所以,由此得查正態(tài)分布表得因此取6設某保險公司的老年人壽保險一年有10000人參加,每人每年交40元.若老人死亡,公司付給家屬2000元.設老人死亡率為0.017,試求保險公司在這次保險中虧本的概率.解設為老人死亡人數,則其中由題意,得保險公司在這次保險中虧本當且僅當即由DeMovire-Laplace中心極限定理,得保險公司虧本的概率7．設某電話交換臺的呼叫次數服從泊松分布且每秒鐘平均被呼叫兩次,試求在100秒內被呼叫次數在180至220次之間的概率.解設第秒鐘內被呼叫的次數為由為服從參數為2的泊松分布,且獨立同分布,有為100秒鐘被呼叫的總次數,記，則由獨立同分布的中心極限定理,得所以在100秒內被呼叫次數在180至220次之間的概率為8．拋擲一枚硬幣，以表示n次拋擲中出現正面的次數，問要拋擲多少次，才能以0.99的概率保證出現正面的頻率與概率的偏差小于0.01？試分別用切比雪夫不等式及中心極限定理求出結果．解設表示在n次拋擲中出現正面的次數,則其中,則(1)由切比雪夫不等式得(2)利用中心極限定理求解由DeMovire-Laplace中心極限定理得,近似服從正態(tài)即所以,由此得查正態(tài)分布表得9．設某廠的金屬加工車間有80臺機床，它們的工作是相互獨立的，設每臺機床的電動機都是2KW的，由于資料檢修等原因，每臺機床平均只有70%的時間在工作，試求要供應這個車間多少KW電才能以0.99的概率保證此車間生產用電？解設表示在80臺機床中正在工作的機床臺數,則其中則設應供應這個車間KW電才能以0.99的概率保證此車間生產用電.由中心極限定理得,，解得，因此至少應供應這個車間132KW電才能以0.99的概率保證此車間生產用電.10．抽樣檢查產品質量時，如果發(fā)現次品多于10個，則認為這批產品不能接受．應該檢查多少個產品，可使次品率為10%的一批產品不被接受的概率達到0.9？解設應該檢查個產品．設表示在被檢查的個產品中次品的個數,則其中則.由中心極限定理得,.解得，因此至少應檢查147個產品，才可使次品率為10%的一批產品不被接受的概率達到0.9.四、證明題1．設隨機變量相互獨立，且每一隨機變量有有限的方差，設，試證，對，有或證相互獨立，由切比雪夫不等式，對，有兩邊夾，。2．試描述同分布的中心極限定理。并應用同分布的中心極限定理證明定理，即設是次貝努利試驗中成功的次數，在每次試驗中成功的概率為，試證，對，一致地有解：定理（同分布的中心極限定理）設隨機變量相互獨立，服從同一分布，且有，，則標準化的隨機變量之和的分布函數，對，一致地有定理的證明記，而，，，且相互獨立，由同分布中心極限定理可知，