浙江省杭州市四季青中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

浙江省杭州市四季青中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的”（

） ．充分不必要條件

．必要不充分條件

．充分必要條件

．既不充分也不必要條件參考答案：B略2.△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，，則等于 ()A．3∶1

B.∶1C.∶1

D．2∶1參考答案：C3.已知，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.在等差數(shù)列{an}中，若，則等于()A．16

B．18

C．20

D．22參考答案：C5.拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.設(shè)，若，則下列不等式中正確的是（

）

A．

B．

C．

D.參考答案：D7.若實數(shù)a，b滿足0<a<b，且a＋b＝1，則下列四個數(shù)中最大的是()A.

B．2ab

C．a(chǎn)2＋b2

D．a(chǎn)參考答案：C略8.（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：D略9.甲、乙、丙、丁四名射擊選手在選撥賽中所得的平均環(huán)數(shù)及其方差S2如下表所示，則選送參加決賽的最佳人選是（

）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁參考答案：C10.長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為

(

)A．90°

B．120°

C．135°

D．150°參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知不等式的解集為，則

。

參考答案：.略12.已知函數(shù)（為常數(shù)）。若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是

。參考答案：13.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作橢圓長軸的垂線與橢圓相交，其中的一個交點為P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)橢圓的方程和點P的坐標(biāo)，把點P的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出點P的縱坐標(biāo)的絕對值，Rt△PF1F2中，利用邊角關(guān)系，建立a、c之間的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為（a＞b＞0），設(shè)點P（c，h），則=1，h2=b2﹣=，∴|h|=，由題意得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=45°，Rt△PF1F2中，tan45°=1=====，∴a2﹣c2=2ac，，∴=﹣1．故答案為：【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用．考查計算能力．屬于中檔題目．14.設(shè)O為坐標(biāo)原點，拋物線y2=4x的焦點為F，P為拋物線上一點．若|PF|=3，則△OPF的面積為．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線方程求得拋物線的準(zhǔn)線方程與焦點坐標(biāo)，利用|PF|=3求得P點的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得縱坐標(biāo)，代入三角形面積公式計算．【解答】解：由拋物線方程得：拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=﹣1，焦點F（1，0），又P為C上一點，|PF|=3，∴xP=2，代入拋物線方程得：|yP|=2，∴S△POF=×|OF|×2=．故答案為：．【點評】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，熟練掌握拋物線上的點所迷住的條件是解題的關(guān)鍵．15.若向量與向量共線，且，=，則向量=___

▲

__.參考答案：（2，―4，―2）略16.已知橢圓，過點作直線l交橢圓C于A，B兩點，且點P是AB的中點，則直線l的方程是__________．參考答案：

17.某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為_______.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）成立．（1）求f（0）與f（1）的值；（2）求證：f（）=﹣f（x）；（3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均為常數(shù)），求f（36）的值．參考答案：【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）分別令a=b=0和a=b=1，即可求f（0）與f（1）的值；（2）根據(jù)條件即可證明f（）=﹣f（x）；（3）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化即可求f（36）的值．【解答】解：（1）∵f（ab）=f（a）+f（b），∴令a=b=0，則f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，令a=b=1，則f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；證明：（2）∵?x=1，∴f（）+f（x）=f（?x）=f（1）=0，則f（）=﹣f（x）；（3）若f（2）=p，f（3）=q（p，q均為常數(shù)），則f（2）+f（3）=f（2×3）=f（6），即f（6）=p+q，則f（36）=f（6×6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2p+2q．【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．注意條件之間的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用．19.如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中點，N是BC的中點，點P在直線A1B1上，且滿足．（1）當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？（2）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置．參考答案：【考點】MR：用空間向量求平面間的夾角；MQ：用空間向量求直線與平面的夾角．【分析】（1）以AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，可得向量的坐標(biāo)關(guān)于λ的表示式，而平面ABC的法向量，可建立sinθ關(guān)于λ的式子，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時，角θ達到最大值；（2）根據(jù)垂直向量的數(shù)量積等于0，建立方程組并解之可得平面PMN的一個法向量為，而平面PMN與平面ABC所成的二面角等于向量、所成的銳角，由此結(jié)合已知條件建立關(guān)于λ的方程并解之，即可得到λ的值，從而確定點P的位置．【解答】解：（1）以AB、AC、AA1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則，易得平面ABC的一個法向量為則直線PN與平面ABC所成的角θ滿足：（*），于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而，當(dāng)θ最大時，sinθ最大，所以當(dāng)時，，同時直線PN與平面ABC所成的角θ得到最大值．（2）已知給出了平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，即可得到平面ABC的一個法向量為，設(shè)平面PMN的一個法向量為，．由得，解得．令x=3，得，于是∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，∴，解之得：，故點P在B1A1的延長線上，且．20.已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）設(shè)集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；（2）設(shè)點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．參考答案：【考點】等可能事件的概率．【專題】計算題．【分析】（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是3×5，滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，寫出滿足條件的結(jié)果，得到概率．（2）本題是一個等可能事件的概率問題，根據(jù)第一問做出的函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對應(yīng)的區(qū)域，做出面積，得到結(jié)果．【解答】解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，∵試驗發(fā)生包含的事件是3×5=15，函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1的圖象的對稱軸為，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且，即2b≤a若a=1則b=﹣1，若a=2則b=﹣1，1；若a=3則b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5∴所求事件的概率為．（2）由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時，函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數(shù)，依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分由得交點坐標(biāo)為，∴所求事件的概率為．【點評】古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．21.第26屆世界大學(xué)生夏季運動會將于2011年8月12日到23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會在某學(xué)院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才擔(dān)任“禮儀小姐”．（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中提取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？（2）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出ξ的分布列．參考答案：【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）根據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，用分層抽樣的方法選中的“高個子”有2人，“非高個子”有3人．由此利用對立事件概率計算公式能求出至少有一人是“高個子”的概率．（2）依題意，ξ的取值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列．【解答】解：（1）根據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是=．∴選中的“高個子”有12×=2（人），“非高個子”有18×=3（人）．用事件A表示“至少有一名‘高個子’被選中”，則它的對立事件表示“沒有一名‘高個子’被選中”，則P（A）=1﹣=1﹣=．∴至少有一人是“高個子”的概率是．（2）依題意，ξ的取值為0，1，2，3．P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列如下：ξ0123P22.(本大題滿分8分)巴西世界杯足球賽正在如火如荼進行.某人為了了解我校學(xué)生“通過電視收看世界杯”是否與性別有關(guān),從全校學(xué)生中隨機抽取30名學(xué)生進行了問卷調(diào)查,得到了如下列聯(lián)表:

男生女生合計

收看

10

不收看

8

合計

30已知在這30名同學(xué)中隨機抽取1人，抽到“通過電視收看世界杯”的學(xué)生的概率是.(I)請將上面的列聯(lián)表補充完整,并據(jù)此資料分析“通過電視收看世界杯”