考研數(shù)學(xué)二特征值與特征向量

考研數(shù)學(xué)二特征值與特征向量1.【單項(xiàng)選擇題】已知A是三階矩陣，滿足A2+2A=O，若|A+3E|=3，則|2A+E|=A.（江南博哥）-4．B.9.C.16.D.-9.正確答案：B參考解析：設(shè)λ是A的任一特征值，a是相應(yīng)的特征向量，即Aa=λa，a≠0，那么由A2+2A=0，有(λ2+2λ)a=0，a≠0，故λ2+2λ=0，λ2+2λ為0或-2。于是A+3E的特征值為3或1，|A+3E|=3，那么A的特征值只能是0，-2，-2。則2A+E的特征值：1，-3，-32.【單項(xiàng)選擇題】三階矩陣A的特征值全為零，則必有A.秩r(A)=0.B.秩r(A)=1.C.秩r(A)=2.D.條件不足，不能確定.正確答案：D參考解析：請(qǐng)考查下列矩陣它們的特征值全是零，而秩分別為0，1，2．可見僅由特征值全是零是不能確定矩陣的秩的．3.【單項(xiàng)選擇題】下列矩陣中，不能相似對(duì)角化的矩陣是A.B.C.D.正確答案：D參考解析：(A)是下三角矩陣，主對(duì)角線元素就是矩陣的特征值，因而矩陣有三個(gè)不同的特征值，所以矩陣必可以相似對(duì)角化．(B)是實(shí)對(duì)稱矩陣，實(shí)對(duì)稱矩陣必可以相似對(duì)角化．(c)是秩為1的矩陣，由|λE-A|=0，知矩陣的特征值是-4，0，0．對(duì)于二重根λ=0，由秩4.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為n階可逆矩陣，λ為A的特征值，則A*的一個(gè)特征值為(??)．A.B.C.λ|A|D.λ|A|n-1正確答案：B參考解析：

5.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為三階矩陣，方程組AX=0的基礎(chǔ)解系為α1，α2，又λ=-2為A的一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為α3，下列向量中是A的特征向量的是(??)．A.α1+α3B.3α3-α1C.α1+2α2+3α3D.2α1-3α2正確答案：D參考解析：因?yàn)锳X=0有非零解，所以r(A)＜n，故0為矩陣A的特征值，a1，a2為特征值0所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，顯然特征值0為二重特征值，若a1+a3為屬于特征值λ0的特征向量，則有A(a1+a3)=λ0(a1+a3)，注意到A(a1+a3)=0a1-2a3=-2a3，故-2a3=λ0(a1+a3)或λ0a1+(λ0+2)a3=0，因?yàn)閍1，a3線性無關(guān)，所以有λ0=0，λ0+2=0，矛盾，故a1+a3不是特征向量，同理可證，3a3-a1及a1+2a2+3a3也不是特征向量，顯然2a1-3a2為特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量。D正確。6.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)a，β為四維非零列向量，且α⊥β，令A(yù)=αβT，則A的線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)為(??)．A.1B.2C.3D.4正確答案：C參考解析：因?yàn)棣?，β為非零向量，所以A=αβT≠O，則r(A)≥1，又因?yàn)閞(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1，令A(yù)X=λX，由A2X=αβT*αβT=0=λ2X地λ=0，因?yàn)閞(0E-A)=r(A)=1，所以A的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為3，C正確。7.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A，B都是n階矩陣，且存在可逆矩陣P，使得AP=B，則(??)．A.A，B合同B.A，B相似C.方程組AX=0與BX=0同解D.r(A)=r(B)正確答案：D參考解析：因?yàn)镻可逆，所以r(A)=r(B)，選(D)．8.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A，B為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A與B合同的充分必要條件是(??)．A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.A～BD.A，B與同一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同正確答案：D參考解析：因?yàn)锳，B與同一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣合同，則A，B合同．反之，若A，B合同，則A，B的正、負(fù)慣性指數(shù)相同，從而A，B與合同，選(D)．9.【單項(xiàng)選擇題】A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似正確答案：C參考解析：由|λE-A|=0得A的特征值為1，3，-5，由|λE-B|=0得B的特征值為1，1，-1，所以A與B合同但不相似，選(C)．10.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A，B為三階矩陣，且特征值均為-2，1，1，以下命題：(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等價(jià)；(4)|A|=|B|中正確的命題個(gè)數(shù)為(??)．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)正確答案：B參考解析：因?yàn)锳，B的特征值為-2，1，1，所以|A|=|B|=-2，又因?yàn)閞(A)=r(B)=3，所以A，B等價(jià)，但A，B不一定相似或合同，選(B)．11.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)三階矩陣A的特征值為-1，1，2，其對(duì)應(yīng)的特征向量為α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1)，則P-1AP等于(??)．A.B.C.D.正確答案：C參考解析：12.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A是n階矩陣，下列命題錯(cuò)誤的是(??)．A.若A2=E，則-1一定是矩陣A的特征值B.若r(E+A)<n，則-1一定是矩陣A的特征值C.若矩陣A的各行元素之和為-1，則-1一定是矩陣A的特征值D.若A是正交矩陣，且A的特征值之積小于零，則-1一定是A的特征值正確答案：A參考解析：若r(E+A)<n，則|E+A|=0，于是-1為A的特征值，若A的每行元素之和為-1，則A(1,1,1...1)T=-(1,1,1...1)T，根據(jù)特征值特征向量的定義，-1為A的特征值，若A是正交矩陣，則ATA=E，令A(yù)X=λX(其中X≠0)，則XTAT=λXT，于是XTATAX=λ2XTX，即(λ2-1)XTX=0，而XTX>0，故λ2=1，再由特征值之積為負(fù)得-1為A的特征值，A正確。13.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為n階矩陣，下列結(jié)論正確的是(??)．A.矩陣A的秩與矩陣A的非零特征值的個(gè)數(shù)相等B.若A～B，則矩陣A與矩陣B相似于同一對(duì)角陣C.若(A)=r<n，則A經(jīng)過有限次初等行變換可化為D.若矩陣A可對(duì)角化，則A的秩與其非零特征值的個(gè)數(shù)相等正確答案：D參考解析：14.【單項(xiàng)選擇題】A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同正確答案：C參考解析：15.【單項(xiàng)選擇題】下列矩陣中，不能相似對(duì)角化的是(??)．A.B.C.D.正確答案：C參考解析：關(guān)的特征向量只有一個(gè)，該矩陣不可相似對(duì)角化，應(yīng)選(C)．16.【單項(xiàng)選擇題】A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同且不相似正確答案：A參考解析：因?yàn)锳，B都是實(shí)對(duì)稱矩陣，且特征值相同，所以A與B既相似又合同，應(yīng)選(A)．17.【單項(xiàng)選擇題】A.1/4B.2/4C.3/4D.4/4正確答案：B參考解析：值，故所求特征值為．18.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)4階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為0，1，2，3，則，r(A)=（）．A.1B.2C.3D.4正確答案：C參考解析：因?qū)崒?duì)稱矩陣必相似于由特征值組成的對(duì)角矩陣，即diag(0，1，2，3)，且有相同的秩，即r(A)=r(diag(0，1，2，3))=3．19.【單項(xiàng)選擇題】A.A與c相似，B與c不相似B.A與c相似，B與c相似C.A與c不相似，B與c相似D.A與c不相似，B與c不相似正確答案：A參考解析：判別A，B與對(duì)角矩陣c是否相似，利用矩陣相似于對(duì)角矩陣的充分條件或充要條件．

20.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為3階方陣，A的三個(gè)特征值為1，1，2，α1，α2，α3分別為對(duì)應(yīng)的三個(gè)特征向量，則（）．A.α1，α2，α3必為2E-A的特征向量B.α1+α3必為2E-A的特征向量C.α1-α2必為2E-A的特征向量D.α1，α2必為2E-A的特征向量，α3不是2E-A的特征向量正確答案：A參考解析：A為抽象矩陣，用定義驗(yàn)證．

21.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A，B是n階可逆矩陣，且A-1～B-1，則下列結(jié)果①AB～BA②A～B③A2～B2④AT～BT中正確的個(gè)數(shù)為（）．A.1B.2C.3D.4正確答案：D參考解析：利用矩陣相似的定義．由BA=EBA=A-1ABA=A-1(AB)A，知AB～BA．

22.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：≠-2【解析】23.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：1【解析】因A～Λ，且λ=1是A的二重特征值，故λ=1必有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量．亦即(E-A)x=0有2個(gè)線性無關(guān)的解，從而n-r(E-A)=3-r(E-A)=2，即r(E-A)=1．24.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：4【解析】

設(shè)Aα=λα即25.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：

26.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：27.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：28.【填空題】設(shè)α，β為三維非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，則A的特征值為_______．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：因?yàn)锳2=3A，令A(yù)X=λX，因?yàn)锳2X=λ2X，所有有(λ2-3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值為0或者3，因?yàn)棣?+λ2+λ3=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0。29.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：解得λ=5，a=2，b=3．30.【填空題】設(shè)A，B都是三階矩陣，A相似于B，且|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，則|B-1+2E|=_______請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：因?yàn)閨E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，所以A的三個(gè)特征值為1/3，1/2，1，又A相似于B，所以B的特征值為1/3，1/2，1，從而B-1的特征值為1，2，3，則B-1+2E的特征值為3，4，5，所以|B-1+2E|=6031.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：32.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：P-1(A-1+2E)P=P-1A-1P+2E，33.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：34.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：35.【填空題】設(shè)三階矩陣A的特征值為2，3，λ，若行列式|2A|=-48，則λ=_____.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：|A|=6λ，由|2A|=8|A|=-48得|A|=-6，解得λ=-1．36.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：4【解析】A的特征值為λ1=λ2=0，λ3=4，非零特征值為4．37.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：-10【解析】λ1=1，λ2=λ3=2，因?yàn)锳可對(duì)角化，所以r(2E-A)=1，38.【填空題】設(shè)n階方陣B=AA*，則B的特征值為____.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：|A|39.【填空題】設(shè)方陣A滿足A2+2A+E=0，則A有特征值____．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：-1【解析】

40.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：a=0，b=-3【解析】

41.【填空題】設(shè)3階矩陣A的特征值為0，1，2，B=A3-2A2，則r(B)=_____．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：1

【解析】由已知，A有3個(gè)不同特征值，故A必相似于對(duì)角矩陣，即存在可逆矩陣P，使得

42.【解答題】的可逆矩陣P和Q使PAQ=B.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：43.【解答題】(1)求a，b的值.(2)判斷A能否相似對(duì)角化?如能則求可逆矩陣P使P-1AP=A，若不能則講清理由.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(1)(2)由特征多項(xiàng)式44.【解答題】(Ⅰ)求A的全部特征值和特征向量；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣；(Ⅲ)求正交矩陣Q，使Q-1AQ為對(duì)角矩陣．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)由

(Ⅱ)

45.【解答題】設(shè)A是3階矩陣，α1，α2，α3是線性無關(guān)的3維列向量，且Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．(Ⅰ)求A的全部特征值；(Ⅱ)求可逆矩陣P及A，使得P-1AP=A，并計(jì)算|A-2E|．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)由已知，有(II)先求B的特征向量．46.【解答題】(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對(duì)角矩陣．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)由(Ⅱ)47.【解答題】設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-1，α1=(1，1，1)T，α2=(2，2，1)T是λ1=λ2=1對(duì)應(yīng)的特征向量．(Ⅰ)求A的屬于λ2=-1的特征向量；(Ⅱ)求矩陣A．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)設(shè)λ3=-1對(duì)應(yīng)的特征向量為α3=(x1，x2，x3)T，由實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交，可知(Ⅱ)48.【解答題】(Ⅰ)設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2=A，r(A)=r(r<n)，計(jì)算|3E-A|；(Ⅱ)設(shè)A是n階矩陣，且A2=A，r(A)=r(r<n)，計(jì)算|3E-A|．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)由A是實(shí)對(duì)稱矩陣，知A必相似于對(duì)角矩陣A，由A2=A知，A的特征值的取值是0與1．

(Ⅱ)由A2=A，知A的特征值是0與1，但沒有A是實(shí)對(duì)稱矩陣的條件，所以要檢驗(yàn)A是否相似于對(duì)角矩陣．

49.【解答題】(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求一個(gè)正交矩陣P，使得P-1AP=A．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)(Ⅱ)50.【解答題】(Ⅰ)設(shè)A與B是n階方陣，A可逆，且A～B，證明：A*～B*；(Ⅱ)若A～B，證明：存在可逆矩陣P(非數(shù)量矩陣)，使得AP～BP．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)

(Ⅱ)

所以AP～BP．51.【解答題】已知A=(α1，α2，α3)是3階可逆矩陣，B是3階矩陣，且BA=(α1，-4α3，-α2)．(Ⅰ)求B的全部特征值；(Ⅱ)求可逆矩陣P和對(duì)角矩陣A，使得P-1BP=A．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)由已知，有

(Ⅱ)求C的特征向量．

52.【解答題】設(shè)A是，n(n≥2)階矩陣，α1，α2，…，αn。是n維列向量，且Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aan=0，αn≠0．(Ⅰ)證明：α1，α2，…，αn線性無關(guān)；(Ⅱ)求可逆矩陣P及三角矩陣B，使得P-1AP=B．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)用定義證．設(shè)

(Ⅱ)A(α1，α2，…，αn

)=(α2，α3，…，αn，0)

53.【解答題】設(shè)α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T均為非零列向量，A=αβt.(Ⅰ)求A的全部特征值；(Ⅱ)問αtβ滿足什么條件時(shí)，A可以相似于對(duì)角矩陣A，并求可逆矩陣P，使P-1AP=A．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)

(Ⅱ)

54.【解答題】(Ⅰ)求可逆矩陣P及對(duì)角矩陣A，使得P-1AP=A；(Ⅱ)求r(A*)．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)(Ⅱ)55.【解答題】設(shè)α，β為3維單位列向量，且αtβ=0，記A=αβt+βαt.(Ⅰ)證明：A相似于對(duì)角矩陣；(11)若存在3維列向量γ≠0，使得Aγ=0，記P=(γ，2(α+β)，β-α)，求P-1AP．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)

(H)由Aγ=0，γ≠0，知y是特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量，所以0，1，-1分別對(duì)應(yīng)的特征

56.【解答題】設(shè)A，B均是n階矩陣．(Ⅰ)證明：AB與BA有相同的特征值；(II)若AB=BA，且A有n個(gè)不同的特征值，證明：B相似于對(duì)角矩陣．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)A，B均是抽象矩陣，用特征值、特征向量的定義證明．(Ⅱ)由A有n個(gè)不同特征值，知A～A．即存在可逆矩陣P，使得57.【解答題】設(shè)A是2階矩陣，α是非零向量，且α不是A的特征向量．(Ⅰ)證明：α，Aα線性無關(guān)；(Ⅱ)記P=(α，Aα)，若A2α-2Aα=8α，證明：A相似于對(duì)角矩陣，并求P-1AP．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)用反證法．假設(shè)α，Aα線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k1，k2，使得

(Ⅱ)由于

58.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：59.【解答題】設(shè)A，B為n階矩陣．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，證明：AB～BA．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(1)一般情況下，AB與BA不相似，例如：(2)因?yàn)閨A|=n!≠0，所以A為可逆矩陣，取P=A，則有P-1ABP=BA，故AB～BA．60.【解答題】(1)求y；(2)求可逆矩陣P，使得(AP)T(AP)為對(duì)角矩陣．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(1)因?yàn)?為A的特征值，所以|3E-A|=0，解得y=2．(2)(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P，60.【解答題】(1)求y；(2)求可逆矩陣P，使得(AP)T(AP)為對(duì)角矩陣．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(1)因?yàn)?為A的特征值，所以|3E-A|=0，解得y=2．(2)(AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P，61.【解答題】設(shè)n階矩陣A滿足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．證明：A可對(duì)角化．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答