2023屆高考數學二輪復習大題專講專練第29講蒙日圓結論與第30講雙切線模型的解題方法含解析

第29講蒙日圓結論蒙日圓定理的內容：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為蒙日圓，其半徑等于橢圓長半軸和短半軸平方和的算術平方根，具體結論及證明如下：結論一：曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓：．證明：當題設中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或?率為0時，可得點的坐標是或．當題設中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設點的坐標是，且，∴可設由線的過點的切線方程是．聯立得．由判別式得．∵是這個關于的一元二線方程的兩個根，∴，進而可得證明成立．結論二：雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓．結論三：拋物線的兩條互相垂直的切線的交點在該拋物線的準線上．【例1】若動點為橢圓1外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程．【解析】(1)當切線斜率存在時，設從點所引的直線的方程為，即．設從點所引的橢圓的兩條切線的斜率分別為，則．將直線的方程代入橢圓的方程并化簡得，，化簡得，即，則是關于的一元二次方程9)的兩根，則，化簡得．(2)當從點所引的兩條切線均與坐標軸垂直，則的坐標為，此時，點也在圓上．綜上所述，點的軌的方程為．【例】過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，求證：．【解析】證明：設．(1)當時，，其中一條切線斜率不存在，另一條切線平行于軸，∴．(2)設，則兩條切線斜率都存在．設直線的斜率為，則其方程為．把代入并整理得，由可得，．注意到直線的斜率也適合這個關系，∴的?率就是上述方程的兩根，由韋達定理，．由于點在圓上，，∴．這就證明．綜上所述，在圓上任意一點作橢圓的兩條切線，總有．【例3】已知橢圓0)．稱圓心在原點，半徑為的圓為橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．(1)求橢圓的方程及其“準圓”方程．(2)點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點．①當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明．②求證：線段的長為定值．【解析】(1)依題意可得，∴，∴．．(2)證明：①由(1)題可得，設切線方程為：．聯立，消去可得，整理可得．∴，解得．∴設直線PM：，直線．∴，即．②設，直線．則，消去可得．即．∴．整理得．同理，設切線的斜率為，則有．∴．∴在“準圓”上．∴，∴．∴為“準圓”的直徑．∴為定值，．評注：此題的準圓方程其實就是蒙旦圓方程，那看到蒙日圓方程，我們自然就知道為“蒙日圓”的直徑這個題其本就解出夾了．第30講雙切線模型的解題方法 所謂雙切線問題，就是過一點做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用同構式，同構式的含義是結構相同變量不同的式子，比如滿足，滿足，這兩個式子就是同構式，則可知點在直線上，這個同構式其實就是整體代換的思想，也是我們解決雙切線問題的核心和關鍵． 雙切線問題的解題步驟： ①根據曲線外一點設出切線方程． ②和曲線方程聯立，求出判別式． ③整理出關于雙切線斜率的同構方程． ④寫出關于的韋達定理，并解題．雙切線定值問題 【例1】如下圖所示，已知拋物線，點是拋物線的準線上任意一點，直線分別與拋物線相切于點，設直線的斜率分別為．證明：為定值．【解析】證明：拋物線的準線方程為．設點，設過點的直線方程為．聯立，消去得．其判別式，令，得．由韋達定理知，故(定值)．【例2】為拋物線的準線上任一點，過點作拋物線在其上點處的切線，切點分別為，直線與直線分別交于兩點，點的縱坐標分別為，求的值．【解析】設點的坐標為，直線的方程為，直線的方程為．聯立，得．∴，得．同理可得，∴．分別令，得，，∴∴為定值．【例3】設是圓上任意一點，由引橢圓的兩條切線．當兩條切線的斜率都存在時，證明：兩條切線斜率的積為定值．【解析】證明:設點，且．由題意知，過點引橢圓的切線方程可設為，聯立化簡得：∵直線與橢圓相切，∴，化簡得．∴．∴兩條切線斜率的積為定值．雙切線斜率引申問題【例1】過橢圓上的任意一點，向圓引兩條切線．若的斜率乘積恒為定值，求圓的面積．【解析】設點，則，設切線方程為，，∴．兩邊平方得，則，∴，解得．∴圓的面積為．【例2】是外的一點，過的直線均與相切，且的斜率之積為，記為的最小值，求的取值范圍．【解析】由題意可知，直線的斜率存在且不為零．設過點的切線，聯立，，消去可得，由于直線與橢圓相切，則，化簡并整理得，整理成關于的二次方程得(易知)，設直線的斜率分別為，∴．∴．∴．∴．易知當時，有．∵，∴，即的取值范圍是．【例3】如下圖所示，設點為拋物線外一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，若點為圓上的點，記兩切線的斜率分別為，求的取值范圍．【解析】設點，則直線的方程為，直線的方程為．由，可得．∵直線與拋物線相切，∴． 同理可得．∴是方程的兩根．∴，， 則． 又∵，則， ∴．雙切線交點弦問題 所謂雙切線交點弦問題指的是由一點引出一個曲線的兩條切線和另外的曲線有交點時引申出來的問題，解題時通常需要用來湊韋達定理．題型一：雙切線交點弦過定點問題【例1】已知橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和為4，離心率為，點為橢圓的左頂點． (1)求橢圓的標準方程． (2)設圓，過點作圓的兩條切線分別交橢圓于點和，求證：直線過定點．(1)【解析】由題意得，解得，∴．∴橢圓的標準方程為．(2)證明)設切線的方程為，則，即．設兩切線的斜率為，則．聯立，得，設點，點，則，，同理，，則．∴直線的方程為，整理得，故直線過定點．題型二：雙切線交點弦定值問題【例1】若直線過拋物線的焦點且與拋物線相交于兩點，過點分別作拋物線的切線，切線與相交于點，求的值．【解析】拋物線的方程可化為，求導可得．設點的坐標分別為，．設直線的方程為(直線的斜率顯然存在)．聯立，消去整理得，可得．有，可得直線的方程為，整理為．同理直線的方程為．聯立方程，解得，則點的坐標為．由拋物線的幾何性質知，，．，∴．【例2】在平面直角坐標系中，已知橢圓，設點為橢圓上任意一點．過原點作圓的兩條切線，分別交橢圓于兩點．(1)若直線相互垂直，求的方程．(2)若直線斜率存在，并記為，求證：是一個定值．(3)是否為定值？若是，求出該值．若不是，請說明理由．【解析】(1)由，可得．∵，∴，即，聯立或或或．∴的方程為：或或或．(2)證明；設．∵與相切，∴．．化簡可得．對于直線，同理可得．∴為的兩根．∴∵∴∴．(3)當不在坐標軸上時，設點，點．∴聯立．∴，．同理可得，．∴．若在坐標軸上(不妨設在軸)上，則點，點．∴．綜上所述，為定值36．【例3】如下圖所示，過橢圓上且位于軸左側的一點，作圓的兩條切線，分別交軸于點．是否存在點，使？若存在，求出點的坐標．若不存在，請說明理由．【解析】設點，，．直線的方程為，即．∵圓心到直線的距離為1，即，，．同理．由此可知，為方程的兩個實根，∴，．．∵點在橢圓上，則即，則令，則．∵，則，，即，∴存在點滿足題設條件．題型三：雙切線交點弦最值問題【例1】如下圖所示，已知橢圓的兩個焦點，離心率為，點在橢圓上，且在邊上，的周長等于．(1)求橢圓的標準方程． (2)過圓上任意一點作橢圓的兩條切線和與圓交于點，求面積的最大值．【解析】(1)∵的周長等于，點在橢圓上，且在邊上．∴，即．又∵離心率，∴，則．∴橢圓的標準方程為．(2)設點，則．①當兩條切線中有一條切線的斜率不存在時，即，，則另一條切線的斜率為0，從而． ．(2)當切線斜率都存在，即時，設過點的橢圓的切線方程為，聯立，得，則，即．設切線和的斜率分別是．∴．從而，則線段為圓直徑，． ．當且僅當時，等號成立，取得最大值為4．綜上所述，的最大值為4．【例2】設是橢圓上的動點，過原點作圓的兩條斜率存在的切線分別與橢圓交于點，求的最大值．【解析】設圓的切線的方程為，則，整理得0，其兩根滿足①，這里，，且②，由①②得．設點，點，則，，又∵，，∴，，則． ∵，當且僅當時，取等號， ∴，當且僅當時，取等號， 即．題型四：雙切線交點弦范圍問題【例1】如下圖所示，已知圓，過橢圓的上頂點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，當圓的圓心在軸上移動且時，求的斜率的取值范圍．【解析】橢圓的上頂點為，設過點與圓相切的直線方程為．由直線與圓相切可知，， ∴， 聯立，消去得， ∴，同理， ， 當時，為增函數，故的斜率的范圍為．【例2】經過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，直線分別與圓相交于異于點的兩點． (1)求證：． (2)求的面積的取值范圍．【解析】(1)證明：設點．(1)當直線的斜率都存在時，設過點與橢圓相切的直線方程為．聯立，消去得．．令，整理得：．設直線的斜率分別為．∴．又．∴．∴，即為圓的直徑，∴．②當直線或的斜率不存