正余弦定理知識(shí)點(diǎn)

平面對(duì)量學(xué)問點(diǎn)考試內(nèi)容：向量．向量的加法與減法．實(shí)數(shù)與向量的積．平面對(duì)量的坐標(biāo)表示．線段的定比分點(diǎn)．平面對(duì)量的數(shù)量積．平面兩點(diǎn)間的距離、平移．考試要求：理解向量的概念，把握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．把握向量的加法和減法．把握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件．了解平面對(duì)量的根本定理，理解平面對(duì)量的坐標(biāo)的概念，把握平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算．把握平面對(duì)量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面對(duì)量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，把握向量垂直的條件．把握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能嫻熟運(yùn)用把握平移公式．本章學(xué)問網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造向量的概念(1)向量的根本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；a＝ｘｉ＋ｙj＝〔ｘ，ｙ〕.(3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作｜a｜.(4a＝O｜a｜＝O.a為單位向量｜a｜＝1.O Ox x相等的向量：大小相等，方向一樣(ｘ，ｙ)＝〔ｘ，ｙ〕1 21 1相反向量：a=-bb=-aa+b=0

2 2 y y1 2運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)a運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)abba向量的加法平行四邊形法則三角形法則ab(xx,yy)1 2 12(ab)ca(bc)ABBCAC向量的運(yùn)算重要定理、公式平面對(duì)量根本定理e，e是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一1 2對(duì)實(shí)數(shù)λ ，1λ ，使a＝λ e＋λ e.2 11 22兩個(gè)向量平行的充要條件a∥ba＝λb(b≠0)xy－xy＝O.12 21兩個(gè)向量垂直的充要條件a⊥ba·b＝Oxx＋yy＝O.12 12線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線段PP所成的比為λ，即PP＝λ PP，則12 1 221 12OP＝

OP＋1

1OP

(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)x

xx12,11 y

(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)向量的減法ab向量的減法aba(b)三角形法則ab(xx,yy)1 2 1 2ABBA,OBOAAB1.a(a)()a數(shù)乘向量|a||||a|()aaa2.>0a與a同向;a(x,y)(ab)ab<0a與a異向;a//bab=0a0.ab是一個(gè)數(shù)abba向量的數(shù)量積(a)ba(b)(ab)ab0.abxxyy1212(ab)cacbca 2x2y2a0且b時(shí)，2.ab|a||b|cos(a,b)|ab||a||b| 1當(dāng)λ＝1x1

x1 2,2OP＝〔OP2 1平移公式

＋OP2

〕或

y1 2.2設(shè)點(diǎn)(，)按向量a＝〕平移后得到點(diǎn)′〔′，′，yyk.則OP＝OP+a或xyyk.y＝f〔x〕a＝〔ｈ，ｋ〕平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：y－ｋ＝f〔x－ｈ)正、余弦定理a正弦定理： a

b c

2R.sinA sinB sinC2b2＝＋a22cco，2＝a＋b22abco.三角形面積計(jì)算公式：設(shè)△ABCa，b，c，h，h

，h，P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑

a b c①S=1/2ah=1/2bh=1/2ch ②S=Pr ③S=abc/4R⑤S=△ △

[]⑥S=1/2〔b+c-a〕r[]=1/2〔b+a-c〕r=1/2〔a+c-b〕r△ a c bAcO[注]：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有43個(gè)是旁心.AAcOAcbAcbBaECDraFraraAcDFIaE CI

E FbCB Na B1圖 圖2 圖3 4圖1中的I為S 的內(nèi)心，S=Pr△ABC △圖2中的I為S 的一個(gè)旁心，S=1/2〔b+c-a〕r△ABC △ a附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).OABCB=aA=AcsABC即abc]2則：①AE=sa=1/2〔b+c-a〕②BN=sb=1/2〔a+c-b〕③FC=sc=1/2〔a+b-c〕綜合上述：由得，一個(gè)角的鄰邊的切線長(zhǎng)，等于半周長(zhǎng)減去對(duì)邊〔如圖4〕.特例：在Rt△ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=abc ab 〔如圖3〕.2 abc⑹在△ABC中，有以下等式成立tanAtanBtanCtanAtanBtanC.ABC所以tanABtanC，所以

tanAtanB1tanAtanB

tanC，結(jié)論！⑺在△ABC中，DBCAD2

AC2BDAB2BCBDDC.BC證明：在△ABCDAD2AB2BD22ABBDcosB①在△ABC中，由余弦定理有cosB

AB2BC2AC2 ②，②代入①，化簡(jiǎn)2ABBC AAD2

AC2BDAB2BCBDDC〔斯德瓦定理〕BC 5①假設(shè)AD是BC上的中線，m a②假設(shè)AD是∠A的平分線，t

；12b12b22c2a2BC2 bcppap為半周長(zhǎng)；a③假設(shè)AD是BC上的高，h a⑻△ABC的判定：

bc

2a2ac2a2b2△ABC∠A+∠B2c2a2b2△ABC∠A+∠B2c2a2b2△ABC∠A+∠B2cosCa2b2c22ab

，得在鈍角△ABCcosC0a2b2c20a2b2c2⑼平行四邊形對(duì)角線定理：對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.ab2ab22(a2b2)空間向量空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量⑵向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量⑶空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示空間向量的運(yùn)算定義：與平面對(duì)量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下bOBOAABbbBAOAOBb OP(R bb

b ⑵加法結(jié)合律：(

b)

()bb⑶數(shù)乘安排律：(bb

b3共線向量b表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作 ．a(chǎn) b a//b a、b共線〔a//b〕a、b的有向線段所在的直線可能是同始終線，也可能是平行直線．共線向量定理及其推論： a、b〔b0〕，a//bλ， 使a＝λb.推論：假設(shè)l為經(jīng)過點(diǎn)A且平行于非零向量的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)，P在直線lt滿足等式OPOAt．其中向量叫做直線l.向量與平面平行：平面和向量a，作OAa，假設(shè)直線OA平行于或在內(nèi)，那么我們說向量a平行于平面a//．通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面對(duì)量說明：空間任意的兩向量都是共面的共面對(duì)量定理：假設(shè)兩個(gè)向量ab不共線，p與向量ab共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y使pxayb推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x,y，使MPxMAyMB或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OPOMxMAyMB ①①式叫做平面MAB 的向量表達(dá)式空間向量根本定理：假設(shè)三個(gè)向量abc不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,yzpxaybzc推論：設(shè)O,A,B,CP，都存在唯一的三個(gè)xyz，使OPxOAyOBzOC空間向量的夾角及其表示：兩非零向量abOOAaOBbAOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,b ，明顯有a,bb,a；假設(shè)a,b

，則稱a與bab.2向量的模： 設(shè)OAa，則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：|a|.向量的數(shù)量積：ab|a||b|cosa,b．ABa和軸le是l上與lA在lA，B在lBABAB在軸l上或在e上的正射影.AB的長(zhǎng)度|AB||AB|cosae|ae|．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：ae|a|cosa,e．〔2〕abab0．〔3〕|a|2aa．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：1(a)b(ab)a(b)〔2abb〔交換律〔a(bc)abac〔安排律〕．一．學(xué)問回憶：

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算x軸是橫軸〔對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)〕，y軸是縱軸〔對(duì)應(yīng)為縱軸〕，z軸是豎軸〔對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)〕.①令a=(a1,a,ab(bbb)，則2 3 1 2 3ab(ab,ab,ab)1 1 2 2 3 3

a(a,a,a)(R) abababab1 2 3 11 2 2 3 3a∥ba1

b,a1

b2

,ab3

(R)a1aaaaa

a2b2

a3 abababa1122b3a1122

ab03 3aaaaaaa2a 2a21 2

(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：

2aa )

ab

abb112233a2a2112233a2a2a2 b2b2b212 312 3|a||b|(x x)2(x x)2(y y)2(z z)22 12 12 1法向量：假設(shè)向量a所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a，假設(shè)a那么向量a叫做平面的法向量.用向量的常用方法：①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射A，則點(diǎn)B到平面的距離為|ABn|.|n|②利用法向量求二面角的平面角定理設(shè)n,n