高中數(shù)學(xué)集合與函數(shù)概念知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章

集合與函數(shù)概念

1.1.1集合的含義與表示一、集合的含義我們先看一些實(shí)例：①1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）；

有限集②到直線

l

的距離等于定長(zhǎng)

d

的所有的點(diǎn)；③全體自然數(shù)；

無限集④方程

x2+3x+2=0

的所有實(shí)數(shù)根；⑤某中學(xué)2019年9月入學(xué)的所有高一新生.分別歸納概括出它們具有什么共同特征?一般地，我們把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱為集）.通常用大寫的拉丁字母

A，B，C，…表示集合，小寫的拉丁字母

a，b，c

，…表示集合中的元素.注意：

幾種特殊的數(shù)集問題：如何理解“把一些元素組成的總體叫做集合”，這些集合里的元素必須具備什么特性？二、集合中元素的特性先思考以下兩個(gè)問題：①

高一級(jí)身高較高的同學(xué)，能否構(gòu)成集合?

否②

高一級(jí)身高160cm以上的同學(xué)，能否構(gòu)成集合?

能③

2,4,2

這三個(gè)數(shù)能否組成一個(gè)集合？否1.確定性：集合中的元素必須是確定的。即確定了一個(gè)集合，任何一個(gè)元素是不是這個(gè)集合的元素也就確定了。(具有某種屬性)如：高一級(jí)身高160cm以上的同學(xué)組成的集合.2.互異性：集合中的元素是互異的。即集合元素是沒有重復(fù)現(xiàn)象的。(互不相同)如：2,4,2

這三個(gè)數(shù)不能組成一個(gè)集合，但2,4可組成集合.3.無序性：集合中的元素是不講順序的。即元素完全相同的兩個(gè)集合，不論元素順序如何，都表示同一個(gè)集合。(不考慮順序)如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋組成的集合

集合B：印度洋，大西洋，太平洋組成的集合集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合相等.三、元素與集合的關(guān)系高一級(jí)所有的同學(xué)組成的集合記為A，

a是高一(7)班的同學(xué)，b是高二(7)班的同學(xué)，那么a與A，b與A之間各自有什么關(guān)系？四、集合的表示(1)自然語言表示法1~20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合(2)列舉法例如，地球上四大洋組成的集合：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}例1、用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(2)方程x2=x

的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(3)由1~20以內(nèi)既能被2整除，又能被3整除的所有自然數(shù)組成的集合.解:(1)設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，

則

A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

(2)設(shè)方程

x2=x

的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B，

則

B={0,1}

(3)設(shè)所求集合為C，

則

C={6,12,18}集合的分類：有限集，無限集：你能用列舉法表示不等式

x

－7<3

的解集嗎？無限集(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法。具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再劃一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素的共同特征.例2

用描述法和列舉法描述下列集合注意：有限集通常用列舉法來表示無限集通常用描述法來表示（4）Venn圖示法如：“book中的字母”?構(gòu)成一個(gè)集合本章節(jié)歸納小結(jié)：鞏固練習(xí)：集合間的基本關(guān)系集合間的基本關(guān)系練習(xí)題【課程回顧】1.子集與真子集的區(qū)別(1)從定義上:集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和A與B相等兩種情況,真子集是子集的特殊形式.(2)從性質(zhì)上:空集是任何集合的子集,但不是任何集合的真子集;空集是任何非空集合的真子集.(3)從符號(hào)上:A?B指AB或A=B都有可能.A=A,A?A,??A都是正確的符號(hào)表示,AA,?A是不正確的符號(hào)表示.2.對(duì)空集的兩點(diǎn)說明(1)空集首先是集合,只不過空集中不含任何元素.(2)規(guī)定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.因此遇到諸如A?B,AB的問題時(shí),務(wù)必優(yōu)先考慮A=?是否滿足題意.刷題：一.集合關(guān)系的判斷1.若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},則M與T的關(guān)系是()A.MT

B.MT

C.M=T

D.M?T2.指出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系:(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.(2)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.(3)A={x|x是等邊三角形},B={x|x是等腰三角形}.(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.二.關(guān)于子集、真子集的個(gè)數(shù)問題3.(2015·福州高一檢測(cè))集合{a,b}的子集個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.44.若集合{1,2}?M

{1,2,3,4},試寫出滿足條件的所有的集合M.5.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4個(gè)子集,則實(shí)數(shù)m=()A.1

B.2

C.3

D.46.已知集合A{x∈N|-1<x<4},且A中至少有一個(gè)元素為奇數(shù),則集合A共有多少個(gè)?并用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@些集合.三、由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)7.由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m}(m>1),且B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.8.(變換條件)本例若將集合“B={x|1<x<m}(m>1)”改為“B={x|1<x<m}”,其他條件不變,則實(shí)數(shù)m的取值范圍又是什么?【解析與答案】1.選A.M={-1,1},T={-1,0,1},所以MT.2.(1)集合A的代表元素是數(shù),集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對(duì),故A與B之間無包含關(guān)系.(2)集合B={x|x<5},用數(shù)軸表示集合A,B如圖所示,由圖可知AB.(3)等邊三角形是三邊相等的三角形,等腰三角形是兩邊相等的三角形,故AB.(4)方法一:兩個(gè)集合都表示正奇數(shù)組成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM.方法二:由列舉法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以NM.3.選D.當(dāng)子集不含元素時(shí),即為?;當(dāng)子集中含有一個(gè)元素時(shí),其子集為{a},;當(dāng)子集中有兩個(gè)元素時(shí),其子集為{a,b},故子集個(gè)數(shù)為4.4.由于{1,2}?M,故1,2∈M,又M{1,2,3,4},所以符合條件的集合M有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.5.【解題指南】根據(jù)題意,由集合的子集與其元素?cái)?shù)目的關(guān)系,可得M中有2個(gè)元素,結(jié)合題意,由M中元素的特點(diǎn),可得m的值,即可得答案.【解析】選B.根據(jù)題意,集合M有4個(gè)子集,則M中有2個(gè)元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素為大于等于1而小于等于m的全部整數(shù),則m=2.6.這樣的集合A共有11個(gè).因?yàn)閧x∈N|-1<x<4}={0,1,2,3},又A{0,1,2,3}且A中至少含有一個(gè)奇數(shù).故A中只含有一個(gè)元素時(shí),A可以為{1},{3},A中含兩個(gè)元素時(shí),A可以為{1,0},{1,2},{1,3},{3,0},{3,2},A中含三個(gè)元素時(shí),A可以為{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2},所以綜上可知,滿足條件的集合A為:{1},{3},{1,0},{1,2},{1,3},{3,0},{3,2},{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2}.7.提示:對(duì)于兩個(gè)連續(xù)數(shù)集可用數(shù)軸分析法通過畫數(shù)軸來分析它們之間的包含關(guān)系.【解析】由于B?A,結(jié)合數(shù)軸分析可知,m≤4,又m>1,所以1<m≤4.答案:1<m≤48.【解析】若m≤1,則B=?,滿足B?A.若m>1,則由例題解析可知1<m≤4.綜上可知m≤4.【方法技巧】?jī)杉祥g關(guān)系的判斷步驟(1)判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合B,若是,則A?B,否則A?B.(2)判斷另一個(gè)集合B中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A,若是,則B?A,否則B?A.(3)若既有A?B,又有B?A,則A=B.集合子集個(gè)數(shù)的規(guī)律及一個(gè)注意點(diǎn)(1)規(guī)律:集合子集、真子集個(gè)數(shù)的規(guī)律是:含有n(n≥1且n∈N)個(gè)元素的集合的子集有2n個(gè),非空子集有2n-1個(gè),真子集有2n-1個(gè),非空真子集有2n-2個(gè).(2)注意點(diǎn):解決此類問題時(shí)應(yīng)注意兩個(gè)比較特殊的集合,即?和集合本身.由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題的注意點(diǎn)及常用方法(1)注意點(diǎn):不能忽視集合為?的情形.當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時(shí),一般需要分類討論.(2)常用方法:對(duì)于用不等式給出的集合,已知集合的包含關(guān)系求相關(guān)參數(shù)的范圍(值)時(shí),常采用數(shù)形結(jié)合的思想,借助數(shù)軸解答.【防范措施】空集的特殊性根據(jù)“A?B”條件,在求相關(guān)參數(shù)值時(shí),不可忽視集合A可以為空集這個(gè)特殊情況,同時(shí)還要進(jìn)行檢驗(yàn),看是否滿足元素的互異性.如本例錯(cuò)解,忽視B=?的情況而漏解.集合的基本運(yùn)算交集和并集知識(shí)點(diǎn)解析并集

并集的概念：并集的性質(zhì)：疑難解析：交集交集的概念交集的性質(zhì)：疑難解析理解交集的概念應(yīng)關(guān)注四點(diǎn)(1)概念中“且”即“同時(shí)”的意思，兩個(gè)集合交集中的元素必須同時(shí)是兩個(gè)集合的元素．(2)概念中的“所有”兩字不能省，否則將會(huì)漏掉一些元素，一定要將相同元素全部找出．(3)當(dāng)集合A和集合B無公共元素時(shí)，不能說集合A，B沒有交集，而是A∩B＝?.(4)定義中“x∈A，且x∈B”與“x∈(A∩B)”是等價(jià)的，即由既屬于A，又屬于B的元素組成的集合為A∩B.而只屬于集合A或只屬于集合B的元素，不屬于A∩B.并集的運(yùn)算[例1](1)(廣東高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N＝

()A．{－1,0,1}

B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2}

D．{0,1}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，則A∪B等于

()A．{x|x>－2}

B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1}

D．{x|－1<x<2}[解析](1)M∪N表示屬于M或?qū)儆贜的元素構(gòu)成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．(2)畫出數(shù)軸如圖所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

[答案](1)B(2)A并集的運(yùn)算技巧(1)若集合中元素個(gè)數(shù)有限，則直接根據(jù)并集的定義求解，但要注意集合中元素的互異性．(2)若集合中元素個(gè)數(shù)無限，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意是否去掉端點(diǎn)值．練習(xí)：若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，則滿足條件的實(shí)數(shù)x有()A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)解析：從A∪B＝{1,4，x}看它與集合A，B元素之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)A∪B＝A，從而B是A的子集，則x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.當(dāng)x＝±2時(shí)，符合題意；當(dāng)x＝1時(shí)，與集合元素的互異性相矛盾(舍去)；當(dāng)x＝0時(shí)，符合題意．因此x＝±2或0.答案：C交集的運(yùn)算[例2](1)(北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，則A∩B＝()A．{0}

B．{－1,0}C．{0,1}

D．{－1,0,1}(2)設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，則A∩B等于()A．{x|0≤x≤2}

B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}

D．{x|1≤x≤4}交集的運(yùn)算技巧求交集運(yùn)算應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：(1)求交集就是求兩集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求參數(shù)的值時(shí)，要檢驗(yàn)集合元素的互異性．交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用性質(zhì)應(yīng)用技巧并集、交集的性質(zhì)應(yīng)用技巧：對(duì)于涉及集合運(yùn)算的問題，可利用集合運(yùn)算的等價(jià)性(即若A∪B＝A，則B?A，反之也成立；若A∩B＝B，則B?A，反之也成立)，轉(zhuǎn)化為相關(guān)集合之間的關(guān)系求解．本節(jié)易錯(cuò)題：預(yù)警：含字母的集合運(yùn)算忽視空集或檢驗(yàn)[典例](1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，則a的值是()A．1或2

B．2或4C．2

D．1(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，則a的取值范圍為________．[解析](1)∵M(jìn)∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.當(dāng)a＝1時(shí)，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合題意；當(dāng)a＝2時(shí)，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合題意．(2)由題意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴當(dāng)B＝?時(shí)，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；當(dāng)1∈B時(shí)，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此時(shí)B＝{1}，符合題意；當(dāng)2∈B時(shí)，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此時(shí)B＝{0,2}，不合題意．綜上所述，a的取值范圍是{a|a≥2}．[答案](1)C(2){a|a≥2}易錯(cuò)防范1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有兩層含義：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有這兩個(gè)公共元素．因此解出字母后，要代入原集合進(jìn)行檢驗(yàn)，這一點(diǎn)極易被忽視．2．在本例(2)中，A∩B＝B?B?A，B可能為空集，極易被忽視．交集和并集的運(yùn)算練習(xí)題補(bǔ)集及綜合應(yīng)用

全集全集的定義及表示(1)定義：如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)符號(hào)表示：全集通常記作U.疑難解析：對(duì)全集概念的理解“全集”是一個(gè)相對(duì)的概念，并不是固定不變的，它是依據(jù)具體的問題來加以選擇的．例如：我們常把實(shí)數(shù)集R看作全集，而當(dāng)我們?cè)谡麛?shù)范圍內(nèi)研究問題時(shí)，就把整數(shù)集Z看作全集.補(bǔ)集補(bǔ)集的概念和性質(zhì)疑難解析理解補(bǔ)集應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)補(bǔ)集既是集合之間的一種關(guān)系，同時(shí)也是集合之間的一種運(yùn)算．求集合A的補(bǔ)集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補(bǔ)集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個(gè)概念．(2)?UA包含三層意思：①A?U；②?UA是一個(gè)集合，且?UA?U；③?UA是由U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合．(3)若x∈U，則x∈A或x∈?UA，二者必居其一．補(bǔ)集運(yùn)算[例1](1)(廣東高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}

D．{x|0＜x＜1}(2)設(shè)U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，則?UA＝________，?UB＝________.[解析](1)A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以?U(A∪B)＝{x|0<x<1}．(2)法一：在集合U中，∵x∈Z，則x的值為－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．求補(bǔ)集的方法求給定集合A的補(bǔ)集通常利用補(bǔ)集的定義去求，從全集U中去掉屬于集合A的元素后，由所有剩下的元素組成的集合即為A的補(bǔ)集．例題：已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B.解：∵A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∵?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}.集合的交、并、補(bǔ)綜合運(yùn)算解題技巧解決集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的技巧(1)如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交集、并集、補(bǔ)集的定義來求解．在解答過程中常常借助