北師大版,必修4,第三章三角恒等變形,教案

第三章三角恒等變形3.1兩角和與差的三角函數(shù)(兩課時(shí))3.1.1兩角差的余弦函數(shù)3.1.2兩角和的正、余弦函數(shù)一.教學(xué)目標(biāo)：.知識(shí)與技能(1)能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式；(2)能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；(3)能夠運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明；(4)揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；(5)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí)..過(guò)程與方法通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境：通過(guò)向量的手段證明兩角差的余弦公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)向量作為一種有效手段的同時(shí)掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過(guò)誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)..情感態(tài)度價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn):公式的應(yīng)用.難點(diǎn):兩角差的余弦公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)法：通過(guò)自學(xué)掌握兩角差的余弦公式.(2)探究式學(xué)習(xí)法：通過(guò)分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過(guò)程.(3)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想【創(chuàng)設(shè)情境】思考:如何求cos(45-30)0的值.【探究新知】1.思考:如何用任意角α與β的正弦、余弦來(lái)表示cos(α-β)?你認(rèn)為會(huì)是cos(α-β)=cosα-cosβ嗎？[展示課件]在直角坐標(biāo)系作出單位圓，利用向量的方法求解(如教材圖3.1).學(xué)生思考：以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處?教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的過(guò)程發(fā)現(xiàn)：上述證明僅僅是對(duì)α與β為銳角的情況，但α與β為任意角時(shí)上述過(guò)程還成立嗎?當(dāng)α-β是任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角θ∈[0,2n)，使cosθ=cos(α-β)若?！闧0，π]，則Ol?OB=cosθ=cos(α-β)若θ∈[π,2∏)則2∏-θ∈[0，∏]，且Of?OS=cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β).結(jié)論歸納：對(duì)任意角α與β都有cos(a-β)=cosa?cosβ+sina?sinβ這個(gè)公式稱為：差角的余弦公式Cβa-β注意：1.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)2.對(duì)于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α-β)［展示投影］例題講評(píng)(學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充)例1.利用差角余弦公式求cos150的值分析：cos150=co445—30)。=cos(60-45)0=cos(135-120)0思考：你會(huì)求Sin750的值嗎？例2.已知cosα=一彳，α∈(—,兀)，求cos(--α)的值.J 乙 I"【鞏固深化，發(fā)展思維】.cos1750?cos550+sin1750?sin550=..cos(θ+210)?cos(θ—240)+sin(θ+210)?sin(θ—240)=.已知Sina-Sinβ=-1，COSa-Cosβ='，ɑ∈(0,—),β∈(0,—),求cos(α一β)的值.2 2 2 2［展示投影］思考：如何利用差角余弦公式導(dǎo)出下列式子：cos(α+β)=cosα?cosβ-sinα?sinβsin(α+β)=sinα?cosβ+cosα,sinβsin(α-β)=cosα,cosβ—cosα,sinβ(可讓學(xué)生自己講解，教師只是適當(dāng)點(diǎn)撥而已)［展示投影］例題講評(píng)(學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充)— 5 3―、例3.已知sinα=—,α∈(—,兀),cosβ二--,β∈(兀,—-),求cos(α+β),sin(α-β)J / JLJ 乙的值.思考題：已知α、β都是銳角，cosα=5,cos(α+β)二-(,求cosβ.［學(xué)習(xí)小結(jié)］.兩角差的余弦公式：cos(α-β)=cosα?cosβ+sinα?sinβCα-β.兩角和的余弦公式：cos(α+β)=cosα?cosβ-sinα,sinβCa+β兩角和的正弦公式：sin(α+β)=sinα?cosβ+cosα?sinβSa+β兩角差的正弦公式：sin(α-β)=cosα,cosβ—cosα?sinβSα-β.注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì).作業(yè)：習(xí)題3.1A組第1,2,3題..(備選題)：求證：cosα+、：3sinα=2sin(—+α)6證一：左邊=2(1cosα+-^3?Sina)=2(sin—cosα+cos—Sina)2 2 6 6=2sin(—+α)=右邊 (構(gòu)造輔助角)6證二：右邊=2(Sin―6cosa+cos—sinα)=2(2cosα+^23Sina)=cosα+√3Sina=左邊3、進(jìn)一步理解這四個(gè)公式的特點(diǎn).六、課后反思：3.1.3兩角和與差的正切函數(shù)(1課時(shí))一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能(1)能夠利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式；(2)能夠運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明；(3)揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；(4)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí).2、過(guò)程與方法借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)各個(gè)公式之間的了解及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).3、情感態(tài)度價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二、教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn):公式的應(yīng)用.難點(diǎn):公式的推導(dǎo).三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：通過(guò)通過(guò)類比分析、探索、掌握兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過(guò)程。(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距。教學(xué)用具:電腦、投影機(jī)四、教學(xué)設(shè)想【探究新知】.兩角和與差的正切公式 Ta+β,Ta,β問(wèn)：在兩角和與差的正、余弦公式的基礎(chǔ)上，你能用tana,12口。表示tan(a+β^口tan(a-β)嗎？(讓學(xué)生回答)［展示投影］Vcos(α+p)≠0Sin(X+P) sinacosP+cosasinPtan(α+P)=——-———= -COSa+P)cosacosP-sinasinP分子分母同時(shí)除以cosacosP得：當(dāng)COSaCosp≠0時(shí)tan(α+P)=tana+tanP

1-tanatanP以-p代P得:tana-tanP

tan(a-P)=1+tanatanP.運(yùn)用此公式應(yīng)注意些什么？（讓學(xué)生回答）［展示投影］注意：1。必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana,tanP，tan（a±P）只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來(lái)解；2。注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)。）［展示投影］例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.求tan15o,tan75。及cot15。的值：例2.（見(jiàn)課本P.例1）例3.已知tana=1,tanP=-2求cot（a-P），并求a+P的值，其中0o<a<90。，90。<0<180。.3例4.求下列各式的值：1。1+tan75° 2。12?7。+12口28。+12"7"2口28。1-tan75解：1。原式=tan45。+tan75。=tan(45+75。)=tan120。=W1-tan45。tan75。2。tan(17。+28)=tan17+tan28。1-tan17。tan28。.■口17。+12口28。加（17。+28。）（5口17/28。）=1-口17N28。.?.原式二1-tan170tan280+tan170tan280=1［展示投影］練習(xí)教材P135第1、2、3、4題.［學(xué)習(xí)小結(jié)］.必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana,tanP，tan（a±P）只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來(lái)解；.注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)。五、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)作業(yè)：習(xí)題3.1A組第4、5、6、7、8題.六、課后反思：3.2二倍角的正、余弦和正切3.3半角的三角函數(shù)（兩課時(shí)）.教學(xué)目標(biāo)：.知識(shí)與技能（1）能夠由和角公式而導(dǎo)出倍角公式；（2）能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和邏輯推理能力；（3）能推導(dǎo)和理解半角公式；（4）揭示知識(shí)背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí).并培養(yǎng)學(xué)生綜合分析能力..過(guò)程與方法讓學(xué)生自己由和角公式而導(dǎo)出倍角公式和半角公式，領(lǐng)會(huì)從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；通過(guò)例題講解，總結(jié)方法.通過(guò)做練習(xí),鞏固所學(xué)知識(shí)..情感態(tài)度價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)；理解掌握三角函數(shù)各個(gè)公式的各種變形，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn):倍角公式的應(yīng)用.難點(diǎn):公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：（1）自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己由和角公式導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會(huì)從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。（2）反饋練習(xí)法：以練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想【探究新知】1、復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：2、提出問(wèn)題：公式中如果a=B，公式會(huì)變得如何？3、讓學(xué)生板演得下述二倍角公式：Sin2α=2sinaCoSa cos2α=cos2α—sin2α=2cos2a—1=1—2sin2atan2a=2tana1—tan2a［展示投影］這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？aa注意：1.每個(gè)公式的特點(diǎn)，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對(duì)的，如：下是石的倍角.482．熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角——降次，降角——升次）3．特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形：cos2a=1+cos2a

2sin2a=1—cos2a

2這兩個(gè)形式今后常用.［展示投影］例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.（公式鞏固性練習(xí)）求值：1 2①.sin22030,cοs22030,=-Sin45。=——24②.ππ π√22cos2一一1=cos—=——8 4 2③.πsin2—8-cos2—=-cos—=√2~2④.π π8Sin—cos—cos48 48—cos一24 12π=4sin—cos24—cos一24 12=2sin—12π1cos—=sin—=12ππ8π4ππππ62例2.化簡(jiǎn)①.5π 5π5π5π 5π(Sin—+ cos 一)(sin--cos一)= sin2一12 12 12 12 125π5π-cos2——=-cos——=12√3

^2^6②.αcos4—2α α α α α-Sin4—=(cos2—+sin2—)(cos2--sin2—)=cosα2, 2, 2, 2, ^211③.1-tanα1+tanα1-tan2α2tanaC =tan2α④.1+2cos2θ-cos2θ=1+2cos2θ-2cos2θ+1=2. 5 ,π 、例3、已知Sinα=—,α∈(-,π)，求sin2a，cos2a，tan2α的值。JLJ 乙［展示投影］思考：你能否有辦法用sina、cosa和tana表示多倍角的正弦、余弦和正切函數(shù)？你的思路、方法和步驟是什么？試用sina>cosa和tana分別表示sin3a，cos3a，tan3a.［展示投影］例題講評(píng)（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例4. cos20°cos40°cos80°1Sin40。cos40。cos80。Sin20。cos20。cos40。cos80° 2sin20。sin20。1.Sin80。cos80。4sin20。1Sin160。8sin20。例5.求函數(shù)y=cos2X+cosXsinX的值域.1+cos2X1.CV +—sin2X=—sin(2X+—)+—4 2降次［展示投影］學(xué)生練習(xí)：教材P140練習(xí)第1、2、3題［展示投影］思考（學(xué)生思考，學(xué)生做，ɑ你能夠證明：sin2—=1-cosα教師適當(dāng)提示）α1+cosαcos2—=2αtan2—=21-cosα1+cosα解：y=1822222［展示投影］這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？α注意：1。左邊是平方形式，只要知道-角終邊所在象限，就可以開(kāi)平方。2。公式的“本質(zhì)”是用ɑ角的余弦表示T角的正弦、余弦、正切3。上述公式稱之謂半角公式（課標(biāo)規(guī)定這套公式不必記憶）.α,1-CoSαα 1