量子物理課件

第21章量子力學基礎(chǔ)本章分《舊量子論》和《新量子論》《舊量子論》：玻爾氫原子理論，初級量子理論—敲門磚作用《新量子論》：全新數(shù)學語言理論：波函數(shù)，薛氏方程，幾率等§21－1氫原子光譜Bohr理論一.經(jīng)典原子模型的困難1]德莫克利特的原子并非不可分——有結(jié)構(gòu)2]湯姆遜的原子西瓜模型也不甚合理——與實驗不合3]盧瑟福的原子核太陽系模型也有問題——電子加速運動會連續(xù)輻射電磁波而落到核上——原子不穩(wěn)定，毀滅——事實上原子是穩(wěn)定的——與事實不合。*經(jīng)典物理學在原子的太陽-行星運行結(jié)構(gòu)和原子光譜規(guī)律問題上存有重大的困難第21章量子力學基礎(chǔ)本章分《舊量子論》和《新量子論》§1二.氫原子光譜光譜提供了物質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重要信息，研究原子光譜的規(guī)律是探索原子奧秘的重要線索。1.光譜分類從形態(tài)分，可分三類：1）線狀光譜——又曰原子光譜，線狀，分立間隔：原子所發(fā)；2）帶狀光譜——帶狀，分段密集，間隔：分子所發(fā)射；3）連續(xù)光譜——密集聯(lián)立，連續(xù)一片：熱輻射之產(chǎn)物。2.氫原子光譜規(guī)律氫原子最簡單，其光譜也簡，便于研究。1885，巴爾末系（可見區(qū)）6562.8紅4861.3藍紫4340.5二.氫原子光譜1885，巴爾末系（可見區(qū)）6562.8紅482氫原子光譜實驗規(guī)律：[1]氫原子的線狀光譜有一定的規(guī)律性，可歸結(jié)為５個主要序列：譜系。氫原子光譜各譜系的經(jīng)驗公式如上，Ｒ為Ｒydberg恒量，T（m),T(n)稱為光譜項．[２]譜系規(guī)律:可表為光譜項之差；每一譜系有分立的線狀光譜，各譜線有一定的位置，且相互間有一定關(guān)聯(lián)，還有連續(xù)的極限系。其中：ｍ＝１（Lyman)系,m=2（Balmer)系,m=３（Paschen)系,m=４（Brackett)系,m=５（Pfund)系;（ｎ＝ｍ＋１）．又，其他原子的光譜也可表為光譜項之差，只是光譜項較氫復雜罷了。[3]氫原子光譜實驗公式是可靠的實驗規(guī)律，這啟發(fā)Ｎ.Bohr建立了嶄新的氫原子模型。氫原子光譜實驗規(guī)律：[1]氫原子的線狀光譜有一定的規(guī)律性，可3三.Ｂohr氫原子理論1.Ｂohr假設(shè)三部曲玻爾在原子的核式模型，光譜巴爾末公式，能量量子化三大基礎(chǔ)上提出了著名的氫原子模型假說：1）定態(tài)假設(shè)：原子能夠處于既不發(fā)射也不吸收電磁輻射的穩(wěn)定狀態(tài),即定態(tài)。此時的能量只能取一系列分立值：En稱為能級；原子能量的任何變化，包括發(fā)射或吸收電磁波，須在兩個定態(tài)之間以躍遷方式進行；2）頻率法則：當原子在兩定態(tài)之間躍遷時，便發(fā)射或吸收電磁波，其頻率由公式：hv=︱En—Em︱確定，ｈ－Ｐl(wèi)anck常數(shù)，En，Em——兩定態(tài)能量；3）角動量量子化：原子中電子以速率V繞核作半徑為ｒ的圓周運動時，其角動量也只能取分立值：或三.Ｂohr氫原子理論1.Ｂohr假設(shè)三部曲或4注：（1）玻爾第一假設(shè)斷然拒絕經(jīng)典理論關(guān)于電子繞核運動發(fā)射電磁波的結(jié)論，而承認原子穩(wěn)定的事實；（2）玻爾第二假設(shè)與普朗克能量量子化思想有關(guān)；（3）玻爾第三假設(shè)并非獨立，實際上是在（1）（2）基礎(chǔ)上根據(jù)“對應(yīng)原理”而推出的，這兒為省事而直接寫成。（4）對應(yīng)原理——是指在極端情況下，經(jīng)典—量子理論兩相連接，對應(yīng)原理具有啟發(fā)新理論和檢查新理論是否合理的作用。（5）角動量量子化和德布羅意波之關(guān)系：電子繞核運動半徑r，又形成德布羅意波——駐波，則有注：52.Ｂohr氫原子理論現(xiàn)據(jù)玻爾假設(shè)推出具體氫原子模型。1）氫原子軌道量子化設(shè)電量為ｅ質(zhì)量為ｍ的電子,在半徑為ｒ的圓周上繞核運動，按牛頓定律和庫侖定律，應(yīng)用角動量量子化條件，可得：2）電子速度量子化精細結(jié)構(gòu)常數(shù)式中：r1=0.529?，氫原子第一玻爾軌道半徑；或：2r1?1??10-10米，原子大小。2.Ｂohr氫原子理論設(shè)電量為ｅ質(zhì)量為ｍ的電子,在半徑為6*n=1，E1=-13.6ev（氫原子——基態(tài)能，也是氫原子的電離能）以rn，vn代入En，得3）電子能量量子化——也是說氫原子的能量量子化（因不計原子核運動）**氫原子的能量量子化：En=E1/n2；n

1激發(fā)態(tài)，壽命約為~10-8—10-1秒，不穩(wěn)定，會躍遷而輻射光子。4）氫原子光譜據(jù)玻爾第二假設(shè)可求得氫原子光譜線的頻率，并經(jīng)受實驗的驗證。*n=1，E1=-13.6ev（氫原子——基態(tài)能，也是氫原子7譜線的頻率，理論：光譜實驗：與里德伯常數(shù)實驗值：R=1.0967758X107/米符合得很好，若考慮原子核的運動則符合得更好。又可得En與光譜項的關(guān)系：譜線的頻率，理論：光譜實驗：與里德伯常數(shù)實驗值：R=1.098*由各能態(tài)之間的躍遷計算出的頻率，且可計算相鄰兩能級間距：可見，在量子數(shù)ｎ很大時，能級逐漸靠近，能量趨于連續(xù)，即一旦電子遠離原子核，電子成為能量大于零的自由電子，能量量子化消失．若自由電子被質(zhì)子俘獲形成氫原子時，發(fā)射的光譜為連續(xù)譜．另外，當量子數(shù)為ｎ時，電子在圓軌道上繞行的頻率：2.即在量子數(shù)ｎ很大時，量子理論與經(jīng)典理論趨于一致．這就是對應(yīng)原理．討論：1．當n

極限情況下，rn，En

0；4）氫原子能級圖由En~E1/n2可畫出重要的氫原子能級圖連續(xù)區(qū)*由各能態(tài)之間的躍遷計算出的頻率，可見，在量子數(shù)ｎ很大時，能95）類氫離子光譜一次電離的氦，二次電離的鋰，三次電離的鈹?shù)榷际呛送鈨H有一個電子——它們與氫原子行為類似，故稱類氫離子，玻爾理論亦適用：§21-2玻爾氫理論的推廣——索末菲橢圓軌道模型

發(fā)現(xiàn)氫原子光譜精細結(jié)構(gòu)，玻爾氫理論無法釋義，1916德國索末菲提出橢圓軌道模型——哥白尼魂的再現(xiàn)，并推廣量子化條件至三維空間。一.電子運動橢圓軌道推廣量子化條件abrZe主量子數(shù)決定原子能量的主要方面角量子數(shù)決定原子能量的次要方面5）類氫離子光譜§21-2玻爾氫理論的推廣——索末菲橢圓軌道10軌道須滿足：二.空間量子化做實驗，加磁場——對原子施加作用——軌道平面空間取向量子化，于是有空間量子化效應(yīng)，磁場方向提供空間參考方向。決定能量的再次要方面能級簡并：原子能量僅決定于n，與它量子數(shù)無關(guān)。精細結(jié)構(gòu)：n同，但它量子數(shù)不同所造成能量微差異。n=30Z，BP

軌道須滿足：二.空間量子化做實驗，加磁場——對原11§21－3共振熒光Ｆrank-Hertz’s實驗Bohr’s關(guān)于原子的定態(tài)和Bohr頻率公式假設(shè)的實驗證實若原子存在只能取不連續(xù)特定值的能級狀態(tài)，則在通常情況下，原子一般都處于基態(tài)，祗是在外界激發(fā)下才躍遷到激發(fā)態(tài)；常用的有光激發(fā)（用光照射原子）和碰撞激發(fā)（用其他粒子碰撞原子，如電激發(fā)，熱激發(fā)等）．三.玻爾氫原子理論的意義1.意義1）第一次把光譜與原子結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，提出正確的研究方向；2）理論形象化，易學，易于入門，起承前啟后的偉大歷史作用；3）該理論基本原則正確，便于工作估計數(shù)量級，利于深入研究。2.缺陷：僅利于解釋氫原子行為，局限性較大。NoelsBohr：丹麥國人,大物理學家.1913年發(fā)表“原子構(gòu)造和分子構(gòu)造”，提出氫原子結(jié)構(gòu)模型,哥本哈根量子學派領(lǐng)袖人物.1922諾貝爾物理學獎得主.§21－3共振熒光Ｆrank-Hertz’s12共振熒光現(xiàn)象鈉原子的特征光譜波長=589.3nm呈黃色。1904年Wood用該波長的鈉光照射裝有鈉蒸汽的玻璃泡，如圖示，發(fā)現(xiàn)在入射方向上鈉光被減弱，而鈉蒸汽泡卻向各個方向發(fā)射同一波長的黃光。按Bohr理論，入射光子的頻率與鈉原子上述兩能態(tài)間恰好符合Bohr頻率條件，為鈉蒸汽中鈉原子吸收，故入射方向上的鈉光被減弱；隨即這些被激發(fā)的鈉原子又發(fā)生躍遷回到基態(tài)，隨機地向各個方向發(fā)射同一頻率（波長）的光子。

Franck-Hertz實驗

1914年，F(xiàn)-H用電子碰撞原子證實了原子內(nèi)部存在一系列不連續(xù)的能態(tài)。在實驗中，放電管中充有低壓Hg蒸汽，熱陰極Ｋ放出的電子在柵極G的電壓VG加速下獲得動能而與Hg原子碰撞，將動能傳給Hg原子使之從基態(tài)躍入激發(fā)態(tài)。失去部分動能的電子,在陽極和柵極的反向電壓的阻遏下到達陽極，形成電流I．下圖為I-VG實驗曲線．在電壓VG自零漸漸增加時，電流I隨之增大，說明電子動能無突變，僅與原子發(fā)生彈性碰撞，但當電壓VG=4.9V，電子的動能=4.9eV時，電子動能突然失去，表示與原子發(fā)生了非彈性碰撞，其動能被原子吸收，使原子躍到一較高的能態(tài)；這樣，碰撞后許多電子失去動能，只有少數(shù)電子在陽－柵反向電壓阻礙下，到達陽極，使電流I急劇下降．若VG繼續(xù)增加，電子在一次非彈性碰撞后，仍有剩余動能到達陽極，又使電流I上升．直到VG=2*4.9eV時，電子與原子有可能發(fā)生兩次非彈性碰撞，使電流I再度下跌，等等。上述現(xiàn)象只反映出Hg原子從基態(tài)E1到第一激發(fā)態(tài)E2的躍遷，改進了實驗后，又成功地實現(xiàn)了向高激發(fā)態(tài)的躍遷．處于E2的Hg原子不穩(wěn)定，隨即躍回E1，發(fā)射波長

=253.7nm

能量E=4.89eV光子，與實驗相符．AVＫＧIVG100V0.5V陰極柵極陽極鈉燈低壓鈉蒸汽玻璃泡O4.89.614..7VGI共振熒光現(xiàn)象鈉原子的特征光譜波長=589.3nm13對聯(lián)斗智張之洞題四水江第一，四時夏第二，先生居江夏，誰是第一？誰是第二？梁啟超答三教儒在前，三才人在后，小子本儒人，何敢在前！何敢在后！評：四水——江淮河漢，江夏——武昌；三教——儒道釋，三才——天地人。張之洞：咄咄逼人，卻不露痕跡，以勢壓人；梁啟超：從容自若，而不失分寸，不卑不亢。兩者，問得巧妙，答得得體——兩相呼應(yīng)而自然，工整?？鬃樱簩W而時習之，不亦悅乎。……不知言，不知人也。對聯(lián)斗智張之洞題四水江第一，四時夏第二，先生居江夏，14對聯(lián)而姻緣的故事秦少游三難蘇小妹閉門推出窗前月；投石沖開水底天。水向石邊流出冷；風從花里過來香。拂石坐來夜帶冷；踏花歸去馬蹄香。叫月杜鵑喉舌冷；宿花蝴蝶夢魂香?！K小妹嫩寒鎖夢因春冷；芳氣襲人是酒香?！厣儆翁K洵蘇軾孔子：學而時習之，不亦悅乎。……不知言，不知人也。蘇小妹聰睿脫俗，靈氣逼人，怎找個可人為伴？馮夢龍：今古奇觀對聯(lián)而姻緣的故事秦少游閉門推出窗前月；投石沖開水底天。水向石15量子物理課件16新量子論——哥本哈根學派對微觀粒子的研究，有兩種態(tài)度：純實用態(tài)度和不但要實用而且要理解問題實質(zhì)——量子力學哥本哈根學派取后種態(tài)度。知其所以然。我們的學習有必要認識量子力學哥本哈根學派的學術(shù)觀點。哥本哈根量子論是誕生于二十世紀初的一個量子力學理論，下面學習之。（注意：德氏波和薛氏方程并非哥派產(chǎn)出）§21-4測不準關(guān)系（不確定性關(guān)系）《測不準關(guān)系》是微觀粒子運動的基本規(guī)律之一，是量子理論的思想精髓，是量子力學與經(jīng)典物理學的差別主要標志之一。一.測不準關(guān)系1.內(nèi)容在經(jīng)典物理學中，我們總是用“位置”和“速度{動量]”來描述質(zhì)點的運動狀態(tài)——經(jīng)典粒子有軌道。但德布羅意指出：一切物質(zhì)尤其微觀粒子具有波粒二象性——微觀粒子無軌道，于是新說誕生新量子論——哥本哈根學派對微觀粒子的研究，有兩種態(tài)度：純實用172.光子的測不準關(guān)系—形式推導衍射反比關(guān)系：d·q～

測不準關(guān)系：

x～d；

px～pz·

q由

pz

=h/

和d·

～

得

x·

px～h嚴格的理論給出測不準關(guān)系xZqd1927，德國海森伯提出《測不準關(guān)系》，指出微觀粒子因波粒二象性，其位置和動量（速度）之間存有不可克服的一種互相依賴互相制約的關(guān)系——即測不準關(guān)系，或者說不確定性關(guān)系。注：測不準關(guān)系主要強調(diào)的是制約的數(shù)量級關(guān)系！2.光子的測不準關(guān)系—形式推導衍射反比關(guān)系：d·q～測183.意義1）*

微觀粒子的不確定性關(guān)系：物理根源是波粒二相性；

*能量與時間的不確定性關(guān)系：能級自然寬度和壽命—若體系處于某能量狀態(tài)的壽命為

t，則該狀態(tài)能量的不確定度為DE（能級自然寬度)。2）測不準關(guān)系并非測量技術(shù)誤差問題，而是物質(zhì)粒子的客觀規(guī)律，且是關(guān)于大量粒子的位置和動量的統(tǒng)計表述。4）測不準關(guān)系突破了經(jīng)典因果決定論經(jīng)典因果決定論的成立有前提：只有當原因和結(jié)果都在不引進外來因素干擾兩者之間的相互關(guān)系的情況下被觀測到才可。而在量子力學中，測不準關(guān)系表明這是不可能的！故測不準關(guān)系突破了經(jīng)典因果決定論。

3）測不準關(guān)系劃分了量子力學與經(jīng)典力學的界限！h→0，經(jīng)典力學；h→不可略，量子力學。3.意義4）測不準關(guān)系突破了經(jīng)典因果決定論3）測不準關(guān)系劃分19物理學家惠勒說：在被觀測之前，沒有一個現(xiàn)象是實際的現(xiàn)象。電子的存在就在于我們觀測到它！我們不能離開人的感知來談事物的性質(zhì)。（E—B爭論即圍繞“客觀性”*“因果性”而展開。）5）測不準關(guān)系突破了經(jīng)典客觀性觀念：測不準關(guān)系表明了量子實在與測具的相互作用。遵可觀量原則，我們認識微觀世界不得不用宏觀手段測量之！但是把量子實在不確定性與客體受觀測的不可克服的干擾影響關(guān)聯(lián)起來，就意味著突破了經(jīng)典客觀性觀念，試看前面的電子雙縫實驗，點不點小蠟燭在于人的安排！認識在于人和事物的相互作用！固然世界在人之前已存在，但對世界的科學認識是在人之后……物理學家惠勒說：在被觀測之前，沒有一個現(xiàn)象是實際的現(xiàn)象。20二.玻爾互補原理1927，玻爾也得到同樣思想，提出“玻爾互補原理”。這是測不準關(guān)系的哲學表述(測不準關(guān)系限定了使用經(jīng)典語言的范圍和度)。1.內(nèi)容：我們的認知對象存在著互補性質(zhì)，我們必須用相互排斥的語言去描述之，但它們又是互補的。（例如，波粒二象性語言。）2.意義1）互補原理表明觀測量子的波粒兩類實驗裝置互補互斥（見前電子理想實驗）2）互補原理是一個廣義深遠的哲學觀念例：互補方面：可言喻的知識——不可言喻的知識；后天知識——先天知識；現(xiàn)代文明——古典文明……認為物理學的任務(wù)是去發(fā)現(xiàn)自然界是怎樣的，這一想法是錯誤的。物理學涉及的是關(guān)于自然界我們能說些什么。——玻爾二.玻爾互補原理認為物理學的任務(wù)是去發(fā)現(xiàn)自然界是怎樣的，這一21互補原理是一個廣義深遠的哲學觀念深刻的真理的反面也是真理——真理可能是多元的殺千刀愛愛到了極致恨到了極致實質(zhì)上：是同一個意思的互補表述互補原理是一個廣義深遠的哲學觀念深刻的真理的反面也是真理——22互補原理的藝術(shù)表述菩薩蠻枕前發(fā)盡千般愿，要休且待青山爛，水面上秤砣浮，直待黃河徹底枯，白日參辰現(xiàn)，北斗回南面?！菁次茨苄?，且待三更見日頭。采桑子少年不知愁滋味，愛上層樓，愛上層樓，為賦新詩強說愁。而今識盡愁滋味，欲說還休，欲說還休，卻道“天涼好個秋！”評:愛到了極致的互補表達評:愁到了極致的互補表達互補原理的藝術(shù)表述菩薩蠻采桑子評:愛到了極致的互補表達評:愁23例3.原子從某激發(fā)態(tài)躍到基態(tài)，發(fā)射出波長寬度的光子，試估算：1）此光子的動量不確定度P和位置不確定度x；2）原子處于激發(fā)態(tài)的壽命t和能量寬度E。例1．威爾遜云室：可看到一條白亮的帶狀的痕跡—粒子的徑跡？p＞＞

p三.不確定性關(guān)系應(yīng)用——作數(shù)量級估算答：此徑跡不是“粒子軌道”，而是該粒子與水汽作用的“不確定范圍痕跡”。此時解：1）動量不確定度：位置不確定度：解：2）原子處于激發(fā)態(tài)的壽命能量寬度例2．可解釋電子為何不輻射能量而墜落核內(nèi)：x0，p。例3.原子從某激發(fā)態(tài)躍到基態(tài)，發(fā)射出波長寬度的光子，試24§21—5波函數(shù)一.波函數(shù)——德布羅意物質(zhì)波數(shù)學表示1.玻恩假定（概率波）既然粒子具有波動性就應(yīng)該有描述波動性的函數(shù)——波函數(shù)。奧地利物理學家薛定諤1925年提出用波函數(shù)Ψ(r,t)描述粒子運動狀態(tài)?！皬秃瘮?shù)”不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，它無直接的物理意義。波函數(shù)作為一個重要新概念登上量子力學舞臺后，其本身的物理意義卻模糊不清，這使許多物理學家迷惑不解而大傷腦筋。愛因斯坦為了解釋光子的波粒二象性，把光波的強度解釋為光子出現(xiàn)的幾率密度。玻恩(M．Born，1882－1970)在此啟發(fā)下，馬上將其推廣到Ψ函數(shù)上：|Ψ|2必須是微觀粒子的幾率密度”

。Ψ函數(shù)乃幾率波.1954年，玻恩獲諾貝爾物理獎。

（r,t）的物理意義波函數(shù)的模的平方表示：在時刻t，空間r點處，單位體積元中微觀粒子出現(xiàn)的幾率?！?1—5波函數(shù)1.玻恩假定（概率波）既然粒子具有波動性就253.用電子雙縫衍射實驗說明概率波的含義(1)入射強電子流(2)入射弱電子流概率波的干涉結(jié)果4.波函數(shù)滿足的條件標準化條件：單值、有限和連續(xù)歸一化條件二.波函數(shù)統(tǒng)計詮釋涉及對世界本質(zhì)的認識—哥本哈根學派-愛因斯坦爭論至今未息（以上是量子基本原理思想,以下講實用）2.自由粒子平面波波函數(shù)自由粒子平面波波函數(shù)經(jīng)典平面波有在空間各點發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相同按德布羅意假設(shè)：能量E、動量p的“自由粒子”沿x方向運動所對應(yīng)的物質(zhì)波應(yīng)為“單色平面波”：→不連續(xù)的波函數(shù)本征值粒子在空間各點的概率總和應(yīng)為l物質(zhì)波并非粒子組成的波，也非波包式的粒子。3.用電子雙縫衍射實驗說明概率波的含義(1)入射強電子流426解：歸一化的波函數(shù)為計算積分得

Ｃ

２＝

／

１／２Ｃ＝（

／

１／２）１／２則，歸一化的波函數(shù)為

(x)=（

／

１／２）１／２

exp(-

2x2/2)例：將波函數(shù)

(x)=C

exp(-

2x2/2)歸一化求C。*狀態(tài)疊加原理若體系具有一系列互異的可能狀態(tài){

1,2,…}則=c1

1+c2

2…也是可能的狀態(tài)。解：歸一化的波函數(shù)為計算積分得Ｃ２＝／１／２Ｃ＝（27§21-6薛定諤方程薛定諤方程為德國薛定諤1926年所創(chuàng)，薛定諤方程是量子力學中的基本方程，地位類同于經(jīng)典力學中的牛頓運動方程。很實用。一.薛定諤方程

1.自由粒子薛定諤方程的建立自由粒子波函數(shù)——微分,得到方程由非相對論關(guān)系得自由粒子的薛定諤方程德布羅意關(guān)于電子波動性的假設(shè)傳到蘇黎士后，德拜(P.Debye，TheNobelPrizeinChemistry1936)說，“一個沒有波動方程的波動理論太膚淺了！”。當時年輕的薛定諤在場。一周后聚會時,薛定諤說：“我找到了一個波動方程！”——量子力學中的基本運動方程。1933年薛獲諾貝爾物理獎?！?1-6薛定諤方程一.薛定諤方程自由粒子波函數(shù)由非相對282.勢力場中薛定諤方程推廣到勢場U(x,t)中的非自由粒子，薛定諤方程為三維情況：3.三維薛定諤方程引入哈密頓量粒子的總能量用哈密頓量表示薛定諤方程處理的問題：1）勢阱中的粒子——粒子被束縛在某勢場中；2）勢壘對粒子的散射——自由粒子入射到某勢場中。2.勢力場中薛定諤方程三維情況：3.三維薛定諤方程引入哈密頓29量子物理引入算符(略)定義能量算符,動量算符和坐標算符力學量的算符表示是量子力學的又一基本假設(shè)，在量子力學中，系統(tǒng)的任何力學量均對應(yīng)一算符，力學量所能取的值是其相應(yīng)算符的本征值。

動量算符對一維運動能量算符:量子物理引入算符(略)力學量的算符表示是量子力學的又一基本假30則方程（1）的解為——振動因子[E]量綱→E代表粒子的能量定態(tài)薛定諤方程必是常量二.定態(tài)薛定諤方程若，U(x)與時間無關(guān)，微觀粒子處在穩(wěn)定的勢場中，則是定態(tài)問題?！Χㄖ@方程可分離變量。分離變量,設(shè)：其解Φ(x)與粒子所處的力場U和邊界條件有關(guān)。則方程（1）的解為——振動因子[E]量綱→E代表粒子的能31（2）能量算符的本征值問題——解定態(tài)薛氏方程即解能量算符的“本征值”——取特定分立值的求解問題。{E1，E2，….，En，….}—能量本征值譜注：（1）定態(tài)——能量取確定值的狀態(tài)。[在量子力學中無靜力學問題，卻有定態(tài)問題，如氫原子定態(tài)問題，德布羅意波亦定態(tài)問題。]定態(tài)波函數(shù)：波函數(shù)，須單值，有限，連續(xù)又歸一化n

—量子數(shù)是能量取Ei時的本征態(tài)—本征函數(shù)系定態(tài)問題——幾率密度與時間t無關(guān)。為使波函數(shù)單值、連續(xù)、有限，能量的取值受到了限制。于是量子數(shù)展現(xiàn)……（2）能量算符的本征值問題——解定態(tài)薛氏方程即解能量算符的“32§21-7勢阱中的粒子（薛氏方程解題之典例）一.無限深勢阱物理圖象及處理1.物理圖象：例金屬中自由電子在離子勢場中的運動2.處理步驟：二.一維無限深勢阱中的量子效應(yīng)0xU(x)=0

L1.勢函數(shù)H方程阱外：1）寫出U及薛氏方程；3）以邊界條件和標準化條件定本征值及波函數(shù)；2）求得通解;4）求幾率和能量量子化。§21-7勢阱中的粒子（薛氏方程解題之典例）二.一維無限深33C和

是待定常數(shù)3.由波函數(shù)標準條件和具體邊界條件定波函數(shù)阱外：

阱內(nèi)：令得2.解定態(tài)薛定諤方程(分區(qū)求通解)阱內(nèi)：歸一化條件：C和是3.由波函數(shù)標準條件和具體邊界條件定波函數(shù)阱外：344.能量量子化（能量本征值）得能量取分立值（能級）→能量量子化當n

時，量子化→連續(xù)（經(jīng)典）最低能量(零點能)—波動性:*本征函數(shù)系*本征函數(shù)系的正交性可證5.概率密度阱變寬,能級及間隔△E下降；大質(zhì)量粒子能級及間隔△E小。4.能量量子化（能量本征值）得能量取分立值（能級）→能量35圖象駐波有限深勢阱n=1n=3n=2無限深勢阱波圖象和幾率分布圖象L=n/2實際上，這就是隧道效應(yīng)若一個粒子，既在此又在彼，分身術(shù)？！經(jīng)典無法理解。泡利不相容原理，只允許裝2個粒子入射波和反射波圖象有限深勢阱n=1n=3n=2無限深勢阱波圖象和幾率分布36§21-8一維散射問題*隧道效應(yīng)一維散射問題:經(jīng)典即粒子碰壁問題?，F(xiàn)粒子以能量E從遠處入射到某給定勢場中而用薛定諤方程確定粒子的波函數(shù)和位置分布。一.一維散射入射波和反射波透射部分薛定諤方程：1．梯形勢2.解略§21-8一維散射問題*隧道效應(yīng)一維散射問題:經(jīng)典即37隧道效應(yīng):微觀粒子能量低于勢壘能量卻可能貫穿有限寬之勢壘的效應(yīng)。——這是經(jīng)典觀念不可理解的一個問題，該效應(yīng)解釋了原子核的阿爾法衰變現(xiàn)象。二.隧道效應(yīng)入射波和反射波透射波1．U函數(shù)薛定諤方程：隧道效應(yīng):微觀粒子能量低于勢壘能量卻可能貫穿有限寬之勢壘的效38這就是隧道效應(yīng)（勢壘貫穿現(xiàn)），經(jīng)典中無有，式中a勢壘厚度，勢壘厚度a越大，粒子透過的幾率越?。荒芰縀越大，粒子透過的幾率越大。兩者都呈指數(shù)關(guān)系，因此a和E的變化對穿透因子T十分靈敏！物理學家伽莫夫首先導出此關(guān)系式，并解釋了原子核的阿爾法衰變現(xiàn)象，解釋了經(jīng)典物理無法回答的勢壘穿透現(xiàn)象。貫穿系數(shù)2.解略解出三個波函數(shù)，確定其系數(shù)，則應(yīng)用標準化、歸一化條件和邊界條件連續(xù)等……

1，表示入射波和反射波；

2，表示貫穿波，其中

3

≠0，解形式同1，表示透射波——居然E<U0，能穿透“墻”這就是隧道效應(yīng)（勢壘貫穿現(xiàn)），經(jīng)典中無有，式中a勢壘厚度，勢39按經(jīng)典的觀點：獅子的能量必須滿足E≥U才能越過高墻但是，量子：獅子可能穿過勢壘墻到左方E＜U勢壘墻隧道效應(yīng)多么可怕！因測不準原理，量子力學無靜力學問題，這樣一來，停車場的汽車會動蕩不安，又因隧道效應(yīng)，汽車會突然穿透車庫壁壓上人……多么可怕！還好，宏觀世界中無隧道效應(yīng)……啊，上帝保佑！阿彌陀佛！按經(jīng)典的觀點：但是，量子：E＜U勢壘墻隧道效應(yīng)多么可怕！40因隧道效應(yīng)，金屬中的電子會逸出金屬表面，并不完全局限于表面邊界之內(nèi)。即電子密度并不在表面邊界突然地降為零，而是在表面以外呈指數(shù)衰減；衰減長度約為10埃，它是電子逸出表面勢壘的長度。3.掃描隧道顯微鏡如果兩塊金屬（一是探針，一呈板狀），互相靠得很近，之間再加一微小電壓，那就出現(xiàn)隧道電流，式中A為常數(shù)，s為兩金屬間距，為板狀金屬表面的平均勢壘高度。若s以1埃為單位，則A=1，的量級為eV，故s變化1埃時，J呈指數(shù)量級變化，十分靈敏！這樣，當探針在樣品上掃描時，表面上小到原子尺度的特征就顯現(xiàn)為隧道電流的變化。依此可分辨表面上分立的原子，揭示出表面上原子的分布結(jié)構(gòu)。因隧道效應(yīng)，金屬中的電子會逸出金屬表面，并不完全局限于表面4148個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.隧道電流J與樣品和針尖間距離S的關(guān)系掃描隧道顯微鏡優(yōu)處1]分辨本領(lǐng)高；2]可直接觀察到物質(zhì)表面的三維圖象；3]工作范圍擴大了，電子顯微鏡只可工作于高真空中。隧道顯微鏡原理不復雜，但制作技術(shù)可不簡單。1.須消除震動，使探針-表面間距穩(wěn)定，10埃；2.探針尖只允許一個或幾個原子的尖度。故，賓尼和羅爾與魯斯卡分享1986年諾貝爾物理獎，魯已八旬矣?。斒且?930年代造電子顯微鏡）48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波.隧道電42§21-9一維諧振子一.一維諧振子（原子振動模型）m—振子質(zhì)量，

—固有頻率，x—位移二.解定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程與前不同，系數(shù)是非常數(shù)！但可以有精確解。解略，給出結(jié)果。1.能量量子化有最低能量(零點能)與Planck假設(shè)不同！振動光譜在近紅外區(qū)勢函數(shù)哈密頓量2.波函數(shù)Hn厄密多項式§21-9一維諧振子一.一維諧振子m—振子質(zhì)量，—固有43三.與經(jīng)典諧振子的比較基態(tài)概率分布量子：在x=0處概率最大經(jīng)典：在x=0處概率最小

n→∞符合玻爾對應(yīng)原理量子概率分布→經(jīng)典概率分布能量量子化→能量取連續(xù)值

2(x)x3．概率密度分布可證明，一維諧振子能級躍遷只能在相鄰能級之間，?n=1；特點：1.有零點能；2.最大特點是能量間隔等，?n=1；3.躍遷只能逐級進行——后兩點綜合：得，各躍遷都發(fā)出頻率相同的輻射——在實驗上只有一條譜線！有零點能三.與經(jīng)典諧振子的比較基態(tài)概率分布量子：在x=0處概率最大44薛定諤在建立方程后，首先就用它解決氫原子問題，并取得了很大的成功，從而很快得到了科學界的公認。球坐標系§21-10氫原子薛定諤方程之解一.定態(tài)薛定諤方程——球坐標形式氫原子勢場薛定諤方程角動量算符中心力場薛定諤在建立方程后，首先就用它解決氫原子問題，并取得了很大的45解得二.氫原子的解分離變量令本征波函數(shù)式中Y（，）是球諧函數(shù)，與角動量算符有關(guān)，可進一步分離變量解之。解出能量量子化角動量量子化角動量分量值量子化主量子數(shù)角量子數(shù)軌道磁量子數(shù)驗證氫原子光譜——見前玻爾氫理論章節(jié)解得二.氫原子的解分離變量令本征波函數(shù)式中Y（，）是46電子徑向概率分布r～r+dr三.氫原子電子云電子角向概率分布(

,

)方向立體角d

z

w10zOw00

zw1±1氫原子電子云電子徑向概率分布r～r+dr三.氫原子電子云電子47§21-11分子轉(zhuǎn)動*角動量*空間取向量子化剛才在氫原子解中出現(xiàn)了角動量算符，以及角量子數(shù)等等，它們表示什么意思呢？下面認識一下。簡單地說，它們分別表示能量的主、次方面，以對應(yīng)光譜的復雜結(jié)構(gòu)，與粒子的轉(zhuǎn)動有關(guān)。一.角動量算符直角坐標系對于轉(zhuǎn)動，角動量表出最好用球坐標，可方便解。§21-11分子轉(zhuǎn)動*角動量*空間取向量子化剛才在氫原子解48球坐標系二.角動量算符的本征值問題軌道的橢圓狀態(tài)軌道平面的空間取向狀態(tài)對應(yīng)光譜的精細結(jié)構(gòu)角動量L角動量分量Lzl角量子數(shù)ml軌道磁量子數(shù)取值球坐標系二.角動量算符的本征值問題軌道的橢圓軌道平面的空間49空間取向量子化角動量及其投影值0-2

2-LzBLz

Lz=2將角動量想象為一長度為L的經(jīng)典矢量,該矢量在Lz軸上的投影在l?到–l?之間。對于確定的角量子數(shù)l,磁量子數(shù)ml可取(2l+1)個值,故角動量在空間z方向的取向量子化只有(2l+1)種可能。但對矢量的具體方位

不能限制，可以在半頂角α的圓錐面上的任意方位（其cos=ml/L）,若Lz取定值，則

完全不確定——測不準關(guān)系限制。三.角動量空間取向量子化注：以上矢量模型完全是為了描述形象化易理解——是一種輔助方法?？臻g取向量子化角動量及其投影值0-22-Lz50Zeeman效應(yīng)證明了角動量空間取向的量子化氫原子從第一激發(fā)態(tài)（l=1）躍遷到基態(tài)（l=0）時，發(fā)射光譜只有一條譜線。但在外磁場中發(fā)現(xiàn)，該譜線分裂為三條。見圖：B=0時光譜線l=1l=0對應(yīng)對應(yīng)B≠0時光譜線l=1l=0ml=-1ml=1解釋：電子的軌道角動量對應(yīng)于軌道磁矩在外磁場中電子軌道磁矩具有附加磁能為：由于電子軌道角動量空間取向的量子化，氫原子的能級在外加磁場出現(xiàn)了分裂現(xiàn)象，這導致了譜線的分裂。塞曼效應(yīng)另，分子轉(zhuǎn)動能量量子化——遠紅外譜線（厘,毫米波）Zeeman效應(yīng)證明了角動量空間取向的量子化B=0時光譜線51§21-12電子的自旋*四個量子數(shù)一.電子的自旋1.磁矩—磁場力實驗原理電子有軌道磁矩必在磁場中受力及力矩?！娮舆\動狀況