人教B版（2023）必修第一冊《2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用》同步練習(xí)（word含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）利用基本不等式求最值，下列各式運(yùn)用正確的有個

．

A.個B.個C.個D.個

2.（5分）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是

A.B.C.D.

3.（5分）某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入經(jīng)營，據(jù)市場分析，每輛客車營運(yùn)的總利潤單位：萬元與營運(yùn)年數(shù)為二次函數(shù)關(guān)系如圖所示，則每輛客車營運(yùn)幾年，營運(yùn)的年平均利潤最大

A.B.C.D.

4.（5分）若正實(shí)數(shù)，滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

A.B.C.D.

5.（5分）對于函數(shù)，若，滿足，則稱，為函數(shù)的一對“類指數(shù)”．若正實(shí)數(shù)與為函數(shù)的一對“類指數(shù)”，的最小值為，則的值為

A.B.C.D.

6.（5分）設(shè)，，且，則有

A.最小值B.最小值C.最小值D.最小值

7.（5分）已知，，，則的最小值是

A.B.C.D.

8.（5分）已知，則的最小值為

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）判斷一下說法正確的是

A.“”的一個必要非充分條件是“”

B.如果，那么

C.函數(shù)的最小值為

D.函數(shù)的任意自變量、滿足

10.（5分）已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是

A.最大值為B.的最小值為

C.最大值為D.最小值為

11.（5分）已知，，且，則()

A.B.

C.D.

12.（5分）已知，，且，則

A.B.

C.D.

13.（5分）已知且則下列不等式成立的是

A.B.

C.D.

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）已知是的邊上任一點(diǎn)，且滿足，、，則的最小值為______．

15.（5分）

15-1.某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛小時與車流速度假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：米秒、平均車長單位：米的值有關(guān)，其公式為．

Ⅰ如果不限定車型，，則最大車流量為______輛小時；

Ⅱ如果限定車型，，則最大車流量比Ⅰ中的最大車流量增加______輛小時．

16.（5分），動直線過定點(diǎn)，動直線過定點(diǎn)，若直線l與相交于點(diǎn)(異于點(diǎn))，則周長的最大值為_________.

17.（5分）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，若的面積，則的最小值為_________.

18.（5分）已知，則的最小值為________.

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，有以下個條件：

①；②；③

請?jiān)谝陨蟼€條件中選擇一個，求面積的最大值.

20.（12分）己知三個內(nèi)角，，對應(yīng)的邊分別為，，，且．

Ⅰ求證：，，成等差數(shù)列；

Ⅱ若，求的取值范圍．

21.（12分）已知函數(shù)

若的解集為，或，求不等式的解集；

若任意，使得恒成立，求的取值范圍．

22.（12分）已知，，．

求的最小值；

若對，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

23.（12分）已知函數(shù)，，且的最大值為

求實(shí)數(shù)的值；

若，，，求證：

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：根據(jù)基本不等式成立的條件，對各命題考察如下：

，這個運(yùn)算是錯誤的，

因?yàn)橹挥小罢龜?shù)”才能用基本不等式，即該式中“”這個條件缺失；

，這個運(yùn)算是錯誤的，

因?yàn)槿∽钚≈禃r，，不等成立，即“”無法取得；

，這個運(yùn)算是錯誤的，

因?yàn)橹挥小罢龜?shù)”才能用基本不等式，即該式中應(yīng)限制“”；

，這個運(yùn)算是正確的，

符合條件“一正，二定，三相等”．

所以，只有是正確的，

故選：．

直接根據(jù)基本不等式求最值時的前提條件“一正，二定，三相等”，對各命題作出判斷．

這道題主要考查了運(yùn)用基本不等式求最值，涉及應(yīng)用的前提條件“一正，二定，三相等”，缺一不可，屬于中檔題．

2.【答案】A;

【解析】解：由于實(shí)數(shù)，滿足，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

故選A．

根據(jù)，利用基本不等式求得的最小值．

這道題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式使用條件和等號成立條件，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】C;

【解析】

由題意列得營運(yùn)的年平均利潤，再運(yùn)用不等式可得答案.

解：由題意得，則營運(yùn)的年平均利潤為

，即

故選

4.【答案】A;

【解析】

該題考查了不等式恒成立和利用基本不等式求最小值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．

先利用基本不等求出的最小值，然后根據(jù)恒成立，可得，再求出的范圍．

解：正實(shí)數(shù)，滿足，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，

恒成立，

只需，

，，

的取值范圍為．

故選：．

5.【答案】B;

【解析】

此題主要考查新定義和利用基本不等式的求解參數(shù)問題，屬于中檔題.

根據(jù)題意與為函數(shù)的一對“類指數(shù)”，根據(jù)已知關(guān)系式求得，再對利用基本不等式進(jìn)行化簡求解，即可求得值.解：根據(jù)題意，正實(shí)數(shù)與為函數(shù)的一對“類指數(shù)”，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

故答案為：

6.【答案】A;

【解析】

此題主要考查了基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

利用已知的等式得出，代入所求的代數(shù)式進(jìn)行變形，結(jié)合基本不等式即可.

解：，且，則，

，

又

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

所以的最小值為

故選

7.【答案】D;

【解析】解：，，，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)時上式取得等號，

則的最小值是，

故選：．

由題意可得，運(yùn)用基本不等式可得最小值．

該題考查基本不等式的運(yùn)用，注意乘法和等號成立的條件，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

8.【答案】D;

【解析】

此題主要考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

變形得，利用基本不等式即可得出．

解：，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

的最小值為

故選

9.【答案】BD;

【解析】

此題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，函數(shù)解析式，基本不等式等，比較基礎(chǔ)．

，取特值可判斷，解方程組可判斷，換元，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最小值即可判斷，用分析法轉(zhuǎn)化成基本不等式求解.

解：，取，，則，但，得，則成立，故“”的充分非必要條件是“”，錯誤；

B.，將此式中的換成得，

，得，正確；

C.令，則在時遞增，

故，故錯誤；

D.，，由基本不等式可知，當(dāng)時，成立，正確.

故選

10.【答案】AB;

【解析】

此題主要考查利用基本不等式求最值，涉及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

根據(jù)已知條件，直接利用基本不等式可得的最大值從而判定；

利用，得：，可求得的最小值，從而判定；

，利用基本不等式，并注意等號是否能夠取到，從而判定；

，展開之后，利用基本不等式求最值，即可判定解：，是正數(shù)，

，

又，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

最大值為，故正確；

由不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

得：，

當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，

的最小值為，故正確；

，

，

取等號的條件是，這樣，與已知矛盾，

故上述“”中“”無法取到，

，故錯誤；

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，

最小值為，故錯誤.

故答案選：

11.【答案】ABD;

【解析】因?yàn)?，，且?/p>

所以，故A正確；

由已知得，，所以，所以，故B正確；

，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C錯誤；

，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確，

故選ABD．

12.【答案】ABD;

【解析】

此題主要考查了基本不等式以及對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算，考查了學(xué)生的分析以及計(jì)算能力，屬中檔題.

由題意根據(jù)各函數(shù)并運(yùn)用基本不等式依次判斷.

解：對于，因?yàn)?，，且，所以，所以，故正確

對于，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故正確：

對于，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，

所以，即，故錯誤：

對于，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故正確.

故選

13.【答案】ABC;

【解析】

此題主要考查利用基本不等式求最值屬于中檔題.

運(yùn)用基本不等式可以判定，，的正誤，利用換元法以及對勾函數(shù)的性質(zhì)，可以判定的正確，由此即可得到答案.

解：因?yàn)椋?，所以?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故正確.

，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，故正確；

，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號故正確；

令，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，故不正確；

故選

14.【答案】;

【解析】解：，共線

存在實(shí)數(shù)，滿足

，，即

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值為

故答案為：

利用向量加法三角形法則將表示出來，找出，的關(guān)系，進(jìn)而求出的最小值

本題主要考察了向量加法與減法三角形法則，及不等式的求解問題，屬于中檔題．

15.【答案】1900；100;

【解析】解：Ⅰ，

，當(dāng)時取最小值，

當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立，

故最大車流量為：輛小時；

Ⅱ，

，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

，

輛小時

故最大車流量比Ⅰ中的最大車流量增加輛小時．

故答案為：，

Ⅰ把帶入，分子分母同時除以，利用基本不等式求得的最大值．

Ⅱ把帶入，分子分母同時除以，利用基本不等式求得的最大值最后于Ⅰ中最大值作差即可．

這道題主要考查了基本不等式的性質(zhì)．基本不等式應(yīng)用時，注意“一正，二定，三相等”必須滿足．

16.【答案】;

【解析】由條件得直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，且.

又直線，

所以，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

∴，即周長的最大值為.

故答案為：.

17.【答案】;

【解析】

此題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，利用基本不等式求最值，需要對公式的靈活運(yùn)用，屬于一般題.

先利用正弦定理將化為，由兩角和的三角函數(shù)公式與誘導(dǎo)公式化簡可得的值，由此可得的值，代入三角形面積公式可得與得大小關(guān)系，最后利用余弦定理和基本不等式可求的最小值．

【解析】

解：，

，

方程兩邊消去得，

又，由此可得，且，

，

將代入，得，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立，

將兩邊平方得，化簡得，

的最小值為

故答案為

18.【答案】;

【解析】此題主要考查基本不等式求函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題，熟記基本不等式求最值的條件是解題關(guān)鍵．解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得“”，

故答案為

19.【答案】解：若選擇①

由正弦定理將化為：，

又，所以，

所以，

即，

，，

，

所以當(dāng)時取到等號

所以面積的最大值為

若選擇②

由正弦定理將化為：

又，所以，

所以

即，又，

，

又，，

又由余弦定理可得：

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

，

所以面積的最大值為

若選擇③

因?yàn)椋裕?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

又由余弦定理得：

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

所以面積的最大值為;

【解析】此題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，基本不等式求最值，是中檔題.

若選擇①，可求得，由三角函數(shù)有界性可求面積的最大值；

若選擇②，由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可求面積的最大值；

若選擇③，由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.

20.【答案】解：Ⅰ證明：，

，

，

，

，

，

，，

，可得，，成等差數(shù)列

Ⅱ，

，

．;

【解析】這道題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題，

Ⅰ利用正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可求，，由，可得，，成等差數(shù)列

Ⅱ由已知利用余弦定理，基本不等式即可求得．

21.【答案】解：，

由不等式的解集為，或，

，是方程的根，

可得，，

解得，，

不等式，

可得不等式的解集為；

，

任意，使得成立，

當(dāng)時，恒成立；

當(dāng)時，使得恒成立，

令，，則，

令，則，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)即即時等號成立．

可得當(dāng)時，，

則，

即的取值范圍為．;

【解析】該題考查二次不等式的解法，注意運(yùn)用二次方程的韋達(dá)定理，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法和參數(shù)分離法、換元法，結(jié)合基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

由題意可得的解集為，或，可得，是方程的根，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，，再由二次不等式的解法可得解集；

討論，不等式顯然成立；當(dāng)時，運(yùn)用參數(shù)分離可得恒成立，令，，則，運(yùn)用換元法和基本不等式可得最小值，即可得到所求范圍．

22.【答案】解：（1）∵a∈（0，+∞）