河北省某中學(xué)2021屆高三上學(xué)期二調(diào)數(shù)學(xué)試題

河北省衡水中學(xué)2021屆上學(xué)期高三年級二調(diào)考試數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.2.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向上平移個單位 D.向下平移個單位3.已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則b的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知等差數(shù)列的前項和為，，與的等差中項為2，則的值為（）A.6 B.-2 C.-2或6 D.2或65.已知，則（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則的解析式可能是（）A. B.C. D.7.已知表示實數(shù)m，n中的較小數(shù)，若函數(shù)，當時，有，則的值為（）A.6 B.8 C.9 D.168.設(shè)為數(shù)列的前n項和，，則（）A. B.C D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.（多選題）等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選擇項正確的是（）A. B.C.當時最小 D.時的最小值為10.設(shè)函數(shù)和，若兩函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”，已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實數(shù)a的可能取值是（）A. B. C.0 D.11.已知函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線，函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法錯誤的是（）A.直線是圖象的一條對稱軸 B.的最小正周期為C.點是圖象的一個對稱中心 D.的最大值為12.已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個不同的滿足，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，點和直線分別為圖象的一個對稱中心和一條對稱軸，則下列命題中正確的是（）A.在區(qū)間上的單調(diào)性無法判斷B.圖象的一個對稱中心為C.在區(qū)間上的最大值與最小值的和為D.將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位得到的圖象，則三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等比數(shù)列的前n項和，且成等差數(shù)列，則的值為___________.14.已知函數(shù)的最大值為2.若函數(shù)在區(qū)間上至少取得兩次最大值，則的最小整數(shù)值為___________.15.記函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，若方程在區(qū)間上有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為___________.16.在中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則=__________；的取值范圍為___________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，在圓內(nèi)接中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足.（1）求B；（2）若點D是劣弧AC上一點，AB=2，BC=3，AD=1，求四邊形ABCD的面積18.已知數(shù)列的前項和為,其中為常數(shù).(1)證明:；(2)是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等比數(shù)列,若存在,求出;若不存在,說明理由.19.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并進行求解.問題：在中，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，，，點，是邊上的兩個三等分點，，____________，求的長和外接圓半徑.注：如果選擇多個條件分別進行解答，按第一個解答進行計分.20.設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得最大值，求a的取值范圍.21.甲?乙兩名同學(xué)在復(fù)習(xí)時發(fā)現(xiàn)他們曾經(jīng)做過的一道數(shù)列題目因紙張被破壞導(dǎo)致一個條件看不清，具體如下等比數(shù)列的前n項和為，已知____________，（1）判斷的關(guān)系并給出證明.（2）若，設(shè)，的前n項和為，證明.甲同學(xué)記得缺少的條件是首項的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問的答案是成等差數(shù)列.如果甲?乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的，請通過推理把條件補充完整并解答此題.22.定義可導(dǎo)函數(shù)在x處的彈性函數(shù)為，其中為的導(dǎo)函數(shù)．在區(qū)間D上，若函數(shù)的彈性函數(shù)值大于1，則稱在區(qū)間D上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)間D也稱作的彈性區(qū)間．（1）若，求的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點；（2）對于函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（?。┊敃r，求的彈性區(qū)間D；（ⅱ）若在（i）中的區(qū)間D上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

河北省衡水中學(xué)2021屆上學(xué)期高三年級二調(diào)考試數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∵集合∴∴∵集合∴故選B.2.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向上平移個單位 D.向下平移個單位【答案】A【解析】【分析】先變形：，再根據(jù)左加右減原理即可得解.【詳解】因為，所以由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象，根據(jù)左加右減，只需向左平移個單位故選：A.3.已知函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則b的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由為偶函數(shù)，所以的對稱軸為，再結(jié)合，即可求得的值.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以的對稱軸為.又因為，所以的頂點坐標為.由，得，解得，故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項和為，，與的等差中項為2，則的值為（）A.6 B.-2 C.-2或6 D.2或6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中已知條件及等差數(shù)列的性質(zhì)求得首項a1和公差d，再利用等差數(shù)列前n項和公式，求得的值.【詳解】設(shè)公差為，則由得，解得或，時，，時，．故選：C．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式基本量的計算以及等差數(shù)列前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】換元，可得出，利用誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】換元，可得，且，所以，.故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先通過函數(shù)的定義域排除選項A，再通過函數(shù)的奇偶性排除選項D,再通過函數(shù)的單調(diào)性排除選出B，確定答案.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的定義域為R，而函數(shù)的定義域不是R,所以選項A不符合題意；由圖象可知函數(shù)是一個奇函數(shù)，選項D中，存在實數(shù)，使得，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以選項D不符合題意；由圖象可知函數(shù)是增函數(shù)，選項B，，所以函數(shù)是一個非單調(diào)函數(shù)，所以選項C不符合題意；由圖象可知函數(shù)是增函數(shù)，選項C，，所以函數(shù)是增函數(shù)，所以選項C符合題意.故選：C【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7.已知表示實數(shù)m，n中的較小數(shù)，若函數(shù)，當時，有，則的值為（）A.6 B.8 C.9 D.16【答案】B【解析】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，由圖象確定當有時，即，再根據(jù)對數(shù)運算公式化簡求值.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖中實線所示，由可知，，所以，即，所以.

故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題一道數(shù)形結(jié)合分析問題的典型題型，關(guān)鍵是理解，并畫出函數(shù)的圖象，屬于中檔題型.8.設(shè)為數(shù)列的前n項和，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由遞推式求出數(shù)列的首項,當時分為偶數(shù)和奇數(shù)求出,代入后分組,然后利用等比數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】由，當時，，得；當時，，即.當n為偶數(shù)時，，所以（為正奇數(shù)），當n為奇數(shù)時，，所以（為正偶數(shù)），所以，所以，所以，所以.因為.故選：A【點晴】方法點睛：本題考查已知數(shù)列與的關(guān)系式，求通項公式，分組求和，一般數(shù)列求和包含：1、公式法，利用等差和等比數(shù)列的前項和公式求解；2、錯位相減法求和，適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的數(shù)列求和；3、裂項相消法求和，適用于能變形為；4、分組轉(zhuǎn)化法求和，適用于；5、倒序相加法求和，適用于倒序相加后，對應(yīng)的兩項的和是常數(shù)的數(shù)列.二?多選題：本題共4小題，每小題5分共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.（多選題）等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿足，前項和為，下列選擇項正確的是（）A. B.C.當時最小 D.時的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由題設(shè)可得基本量關(guān)系，再把看成關(guān)于的二次函數(shù).【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，又由等差數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，則，故正確；因為，由可知，當或時最小，故錯誤，令，解得或，即時最小值為，故正確.故選：ABD【點睛】數(shù)列的函數(shù)觀，通項是關(guān)于的一次函數(shù)；前項和是關(guān)于的二次函數(shù).10.設(shè)函數(shù)和，若兩函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”，已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實數(shù)a的可能取值是（）A. B. C.0 D.【答案】AB【解析】【分析】首先求函數(shù)，根據(jù)兩個函數(shù)同為增函數(shù)或同為減函數(shù)，確定絕對值里面的正負，根據(jù)恒成立求的取值范圍.【詳解】由題意得與在區(qū)間上同增或同減.若同增，則在區(qū)間上恒成立，即所以.若同減，則在區(qū)間上恒成立，即無解，所以A，B選項符合題意.故選：AB【點睛】思路點睛：本題考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是讀懂“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，同時討論函數(shù)同為增函數(shù)或同為減函數(shù)，去絕對值后轉(zhuǎn)化為恒成立問題.11.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的說法錯誤的是（）A.直線是圖象的一條對稱軸 B.的最小正周期為C.點是圖象的一個對稱中心 D.的最大值為【答案】AC【解析】【分析】由為的一條對稱軸，結(jié)合的取值范圍，即可求出的值，從而求出的解析式，再利用輔助角公式化簡，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：由為的一條對稱軸，得，即.又因為，所以，所以，其中.易知，且，故A，C錯誤，B，D正確.故選：AC12.已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個不同的滿足，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，點和直線分別為圖象的一個對稱中心和一條對稱軸，則下列命題中正確的是（）A.在區(qū)間上的單調(diào)性無法判斷B.圖象的一個對稱中心為C.在區(qū)間上的最大值與最小值的和為D.將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位得到的圖象，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件求出，然后利用正弦型函數(shù)的圖象及其性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由題意得，即，又在區(qū)間上至少存在兩個最大值或最小值，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，所以，所以所以只有時滿足，此時，即，因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A錯誤；由，所以為圖象的一個對稱中心，故B正確；因為，所以，所以最大值與最小值之和為，故C正確；將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，再向左平移個單位，得到的圖象，即，故D錯誤.綜上，BC正確故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，細心計算即可得解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等比數(shù)列的前n項和，且成等差數(shù)列，則的值為___________.【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項和，利用，求得，然后再成等差數(shù)列求解.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和，當時；；當時，，所以①，.又成等差數(shù)列，所以，即②.由①②解得，所以.故答案為：-214.已知函數(shù)的最大值為2.若函數(shù)在區(qū)間上至少取得兩次最大值，則的最小整數(shù)值為___________.【答案】2【解析】【分析】先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的最大值為2，由求得a，然后根據(jù)在區(qū)間上至少取得兩次最大值確定的范圍即可.【詳解】因為，所以的最大值為，解得或(舍去)，所以，當時，函數(shù)取得最大值，當時，取得前兩個最大值時，k分別為0和1，當時，由，得，所以，所以的最小整數(shù)值為2.【點睛】方法點睛：解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法：先將y＝f(x)化為y＝asinx＋bcosx的形式，然后用輔助角公式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)(如周期性、對稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．15.記函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，若方程在區(qū)間上有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】在同一直角坐標系內(nèi)，畫出，的圖像，結(jié)合圖形，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】在同一直角坐標系內(nèi)，作出函數(shù)，的圖象，如圖所示，由圖像可得，函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)有個交點，即方程在區(qū)間上有個實根，故方程在區(qū)間上有個不同實根，即只需與在區(qū)間內(nèi)有個交點，當直線經(jīng)過點時，，經(jīng)過點時，.若在區(qū)間上有4個根，則.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.16.在中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則=__________；的取值范圍為___________.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】由余弦定理可轉(zhuǎn)化條件，再由正弦定理及三角恒等變換即可得；再由正弦定理可得，換元后結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】由余弦定理得，即，所以，即，由正弦定理得，即，所以即，因為，所以或(舍去)，所以，即；因為，所以，所以，令，則，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以.故答案為：2；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用正弦、余弦定理對條件合理變形，再利用換元、導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的取值范圍.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.如圖，在圓內(nèi)接中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足.（1）求B；（2）若點D是劣弧AC上一點，AB=2，BC=3，AD=1，求四邊形ABCD的面積【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡即可．（2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面積，可得四邊形的面積．【詳解】解：（1）由正弦定理得，得.因為，所以，即.（2）在中AB=2，BC=3，，，解得.在中，，A，B，C，D在圓上，因為，所以，所以，解得或（舍去），所以四邊形ABCD的面積.【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.18.已知數(shù)列的前項和為,其中為常數(shù).(1)證明:；(2)是否存在實數(shù),使得數(shù)列為等比數(shù)列,若存在,求出;若不存在,說明理由.【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析：（1），，∴，整理后即得結(jié)果；（2）由（1）可得，檢驗n=1也適合即可.詳解：（1），，，，，；，（2），，相減得：，從第二項起成等比數(shù)列，即，得，若使是等比數(shù)列則，，（舍）或經(jīng)檢驗得符合題意．點睛：已知求的一般步驟：（1）當時，由求的值；（2）當時，由，求得的表達式；（3）檢驗的值是否滿足（2）中的表達式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達式.19.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并進行求解.問題：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，點，是邊上的兩個三等分點，，____________，求的長和外接圓半徑.注：如果選擇多個條件分別進行解答，按第一個解答進行計分.【答案】答案見解析【解析】【分析】若選擇條件①，，用余弦定理，求得，再用余弦定理求得，，最后由正弦定理可得外接圓半徑；若選擇條件②，由三角形面積求得，得，然后用余弦定理求得，，利用正弦定理求得外接圓半徑；若選擇條件③，設(shè)，用余弦定理表示出后解得，然后同樣由余弦定理求得，用正弦定理求得外接圓半徑．【詳解】若選擇條件①因為，所以，設(shè)，所以；又，，所以在中，，即，即：，所以或-4（舍去）.在中，，所以，同樣，所以，由正弦定理可得：，所以外接圓半徑為.若選擇條件②因為點，是邊上的三等分點，且，所以，因為，所以，所以，所以.在中，，所以，同樣，所以，由正弦定理可得：，所以外接圓半徑為.若選擇條件③設(shè)，則，在中，，同樣在中，，因為，所以，所以，在中，，所以，同樣，所以，由正弦定理可得：，所以外接圓半徑為.【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理，掌握兩個定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．屬于中檔題．20.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得最大值，求a的取值范圍.【答案】（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）先對求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)分和兩種情況討論即可.（2）因為函數(shù)在處取得最大值，所以，利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，求函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1），當時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意得.因為函數(shù)在處取得最大值，所以，即，當時，顯然成立.當時，得，即.令，則，恒成立，所以是增函數(shù)，，所以，即，所以a的取值范圍為.【點睛】思路點睛：對含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分類討論是解決這類題的一般方法；已知函數(shù)的最大值求參數(shù)的取值范圍，往往轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，如果能分離參數(shù)的話，分離參數(shù)是解決這類題的常用方法，然后再求函數(shù)的最值即可.21.甲?乙兩名同學(xué)在復(fù)習(xí)時發(fā)現(xiàn)他們曾經(jīng)做過的一道數(shù)列題目因紙張被破壞導(dǎo)致一個條件看不清，具體如下等比數(shù)列的前n項和為，已知____________，（1）判斷的關(guān)系并給出證明.（2）若，設(shè)，的前n項和為，證明.甲同學(xué)記得缺少的條件是首項的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問的答案是成等差數(shù)列.如果甲?乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的，請通過推理把條件補充完整并解答此題.【答案】補充條件見解析；（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）可補充公比的值，由等比數(shù)列的通項公式和等差中項的性質(zhì)，計算即可得所求得結(jié)論；（2）由等比數(shù)列的通項公式求得，再利用乘公比錯位相減求和結(jié)合等比數(shù)列求和公式，不等式的性質(zhì)即可得證.【詳解】（1）補充的條件為，的關(guān)系為成等差數(shù)列.證明如下：若則