2022年溫州中學數(shù)學試驗班招生數(shù)學試卷及答案

AA溫州中學2022年數(shù)學班招生數(shù)學試卷一、選擇題（共5小題，每題6分，共30分.）1、已知m,n是方程x2-2003x+2004=0的兩根，貝0(m2一2002m+2003)(n2一2004n+2005)A、2BA、2B、2006C、-2022D、-22、如圖，A是半徑為1的。O外的一點，OA=2,AB是。O的切線，B是切點，弦BC//OA,連接AC，則陰影部分的面積等于A、B、C、連接AC，則陰影部分的面積等于A、B、C、D、48(3、設m,n,p是不全相等的任意實數(shù)，若x二m2-np,y二n2-mp,z=p2-mn,貝x,y,z滿足…()A、都不小于0C、至少有一個小于0B、都不大于0D、至少有一個大于04、如圖AD是ZBAC的角平分線，AD的垂直AC3平分線交BC的延長線于F，若=三，AB5CF

則=BF3A、516D、254B、59C、255、若37可以寫成k個連續(xù)的正整數(shù)之和，則k的最大值為A、65B、64C、54D、27二、填空題：（共5小題，每題6分，共30分）6、已知AABC中，BC=2,ZA=45，AC=a，若滿足上述條件的AABC有且只有一個,則a的取值范圍為,7、對于素數(shù)p,q，方程x4-px3+q=0有整數(shù)解，則p=8、如圖，在AABC中，AD，BE分別是ZA,ZB的角平分線，O是AD與BE的交點，若C,D,O,E四點共圓,DE=3，則AODE的內切圓半徑為B23-133-11993-12003-123+f33+1??…1993+f2003+110、對于i=1,2,3,…,n，都有|x|<1,且|x|10、對于i=1,2,3,…,n，都有|x|<1,且|x|+|x|i12正整數(shù)n的最小值為三、解答題（共6題，共90分）11、（本題滿分12分）對于如圖①、②、③、④所示的四個平面圖④則IX1我們規(guī)定：如圖③，它的頂點為A、B、C、D、E共5個，區(qū)域為AED、ABE、BEC、CED共4數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的數(shù)量關系。（3）若有一個平面圖滿足（2）中歸納所得的數(shù)量關系，它共有9個區(qū)域，且每一個頂點出發(fā)都有3條邊,則這個平面圖共有多少條邊?12、（本題滿分15分）已知關于x的方程ax2+bx+c二0,甲、乙兩人做游戲：他們輪流確定實數(shù)a,b,c（如甲令b二1，乙令a=-2,甲再令c=10），讓甲先確定數(shù)，如果方程至少有一個解x°，滿足-1<x°<1，那么乙得勝；反之，則甲得勝。（1）若a,b,c只能取非零實數(shù)，甲是否有必勝策略？為什么？若a,b,c可以取零，甲乙兩人中誰有必勝策略？為什么？13、(本題滿分15分)已知四邊形ABCD是矩形，M、N分別是AD、BC的中點，P是CD上一點，Q是AB上一點，CP=BQ，PM與QN的交點為R.求證：R,A,C三點共線。NBNB14、(本題滿分16分)給出如下n個平方數(shù)：12,22,,n2,規(guī)定可以在其中的每個數(shù)前任意添上“+”號或“一”號,所得的代數(shù)和記為L.(1)當n二8時，試設計一種可行方案使得ILI最小;(2)當n=2005時，試設計一種可行方案使得ILI最小.15、(本題滿分16分)已知OO］與002相交于點A,B，一條直線過A點分別與兩圓相交于Y,Z，兩圓分別在Y,Z處X的切線相交于X，設AOOB的外接圓為oO，直線XB交。O于另一點Q，若YO與ZO相1212交于點P.求證：（1）點P在。O上，且線段PQ是OO的一條直徑；（2）XQ=PQ.16、（本題滿分16分）已知有限張卡片,每張卡片上各寫有一個小于30的正數(shù)，所有卡片上數(shù)的和為1080．現(xiàn)將這些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先從這些卡片中取出第一批卡片，其數(shù)字之和為S，滿足S<120，且S要盡可能地大；然后在取出第一批卡片后，對余下的卡片按第111一批的取卡要求構成第二批卡片（其數(shù)字之和為S）；如此繼續(xù)構成第三批（其數(shù)字之和為S）；23第四批（其數(shù)字之和為S）；…直到第N批（其數(shù)字之和為S）取完所有卡片為止。4N（1）判斷S,S，…,S的大小關系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片數(shù)為多少？12N（2）當n=1,2,3,…,N—2時，求證：S<960；nn（3）對于任意滿足條件的有限張卡片，證明：N<11。

2022年溫州中學數(shù)學班招生數(shù)學試卷答題時注意:1、試卷滿分150分;考試時間：120分鐘.2、試卷共三大題，計16道題。考試結束后，將本卷及演算的草稿紙一并上交。一、選擇題(共5小題，每題6分，共30分.以下每小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項,其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號內.不填、多填或錯填均不得分)1、已知m,n是方程x2-2003x+2004=0的兩根，貝0(m2一2002m+2003)(n2一2004n+2005)(D)A、2B、2006C、-2022D、-22、如圖，A是半徑為1的OO外的一點，OA=2,AB是。O的切線，B是切點，弦BC〃OA,連接AC，則陰影部分的面積等于……（A、B、C連接AC，則陰影部分的面積等于……（A、B、C、68D、483、設m,n,p是不全相等的任意實數(shù)，若x二m2-np,y二n2-mp,z=p2-mn,貝x,y,z滿足…（D）A、都不小于0C、至少有一個小于0B、都不大于0D、至少有一個大于04、如圖AD是ZBAC的角平分線，AD的垂直AC3平分線交BC的延長線于f,若-=5CFBFC)D、1625A、B、C、925CC)5、若37可以寫成k個連續(xù)的正整數(shù)之和，則k的最大值為A、65B、64C、54D、2722二、填空題：（共5小題，每題6分，共30分）6、已知AABC中，BC二2,ZA二45。,AC=a,若滿足上述條件的AABC有且只有一個，則a的取值范圍為a二2或a>7、對于素數(shù)p,q，方程x4-px3+q=0有整數(shù)解，則p二3；q=一2?BB2323—133—11993—12003—123+f33+11993+f2003+1402016030010、對于i10、對于i=1,2,3,…,n，都有|xI<1，且|xj+打+…打—19+|x+xHFx|成立，則正12n整數(shù)n的最小值為20三、解答題（共6題，共90分）11、（本題滿分12分）對于如圖①、②、③、④所示的四個平面圖我們規(guī)定：如圖③，它的頂點為A、B我們規(guī)定：如圖③，它的頂點為A、B、C、D、個，邊為AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、圖頂點數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)①463②694③584④10156。。。。。3分（2）觀察上表,請你歸納上述平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的數(shù)量關系。E共5個，區(qū)域為AED、ABE、BEC、CED共4DA共8條。（1）按此規(guī)定將圖①、②、④的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)填入下列表格：頂點數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6頂點數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1（3）若有一個平面圖滿足（2）中歸納所得的數(shù)量關系，它共有9個區(qū)域，且每一個頂點出發(fā)都有3條邊,則這個平面圖共有多少條邊?解：設這個平面圖有n個頂點，因為每一個頂點有3條邊，所以它有條邊，根據上述規(guī)律23n3nn+9--=1,解得n=16乜=24所以這個平面圖有24條邊。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分12、(本題滿分15分)已知關于x的方程ax2+bx+c二0,甲、乙兩人做游戲：他們輪流確定實數(shù)a,b,c(如甲令b=1,乙令a=-2,甲再令c=10)，讓甲先確定數(shù)，如果方程至少有一個解x0，滿足-1<<1，那么乙得勝；反之，則甲得勝。若a,b,c只能取非零實數(shù)，甲是否有必勝策略？為什么？若a,b,c可以取零，甲乙兩人中誰有必勝策略？為什么？解：1)如果a,b,c是非零實數(shù)，那么甲有必勝策略：甲先選b二1，不論乙選a或c,甲總可以再選c或a，使得人二1-4ac<0，從而方程ax2+bx+c=0無解，即對于任意x,y豐0，所以甲必勝7分2)如果a,b,c可以取零，那么乙有必勝策略：若甲先選a或b，則乙可選c=0，這時x=0必是方程ax2+bx+c=0的一個解；。10分若甲先選c豐0，則乙可令a=-c，此時(a+b-a)(a-b-a)=-b2<0，所以方程ax2+bx+c=0必有在-1<x<1內的實根，即甲不論再選b為何值，乙總可以獲勝15分RR13、（本題滿分15分）已知四邊形ABCD是矩形，M、N分別是AD、BC的中點，P是CD上一點，Q是AB上一點，CP=BQ,PM與QN的交點為R?求證：R,A,C三點共線。證明:延長RN交DC于T，連接RC交MN于O,TOC\o"1-5"\h\z易證PN=NT,PC=CT5分MN//CD,「.MO=ON?-O是MN的中歳10分所以R，c,o三點共線，又A,O,C三點共線，所以R,A,C三點共線15分（其它證法酌情給分）NBNB14、(本題滿分16分)給出如下n個平方數(shù)：12,22,,n2,規(guī)定可以在其中的每個數(shù)前任意添上“+”號或“一”號，所得的代數(shù)和記為L?當n=8時，試設計一種可行方案使得ILI最小；當n=2005時，試設計一種可行方案使得ILI最小.解(1)當L=】2—22—32+42—5+62+72—82=0或L=—】2+22+32—42+52—62—72+82二0時，|LI最小且最小值為0；6分(2)當n=2005時，由于給定的2022個數(shù)中有1003個奇數(shù)，因而無論如何設計實施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”號，其代數(shù)和總為奇數(shù)，故所求的最終代數(shù)和大于等于1。于是我們尋求最終代數(shù)和等于1的可行方案。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分因為k2—(k+1)2—(k+2)2+(k+3)3=4,—k2+(k+1)2+(k+2)2—(k+3)3=—4，所以對于8個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分若對62,72，…，20052,根據①每連續(xù)8個一組適當添加“+”和“-”號，使每組的代數(shù)和為0,然后對12,22，…,52進而設計，但無論如何設計，均無法使它們的代數(shù)和為1?在對12,22，…,52的設計過程中，有一種方案：—12+22—32+42—52=—15，又由①知4個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為4，進而16個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)總可以使得它們的代數(shù)和為16。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分綜上.可行方案為：首先對222,232，…,20052,根據①每連續(xù)8個一組適當添加"+"和"-”號，

使每組的代數(shù)和為0,其次對62,72,…,212,根據③適當添加“+”和“-”號，使每組的代數(shù)和為16，最后對12,22,，52作—12+22-32+42-52=—15設置，便可以使得給定的2022個數(shù)的代數(shù)和為1，即為最小的非負數(shù)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分15、(本題滿分16分)已知?O與。O相交于點A,B，一條直線過A點分別與兩圓相交于Y,Z,兩圓分別在Y,Z處12的切線相交于X，設AOOB的外接圓為。O，直線XB交。O于另一點Q，若YO與ZO相1212交于點P.求證：(2)XQ二PQ.X⑴點P在。O上，且線段PQ(2)XQ二PQ.X證明(1)ZOPO=180°-ZOYA-zOZA121=180。一ZOAY-ZOAZ12=ZOAO=ZOBO1212所以點P在?O上；連接BY,B乙則ZYBZ二180。-(ZAYS+ZAZB)=180。-(丄ZAOB+1ZOAZ)2122=180°-(ZBOO+ZBOO)1221=ZOBO=ZOPO=ZYPZ1212所以Y,所以Y,Z,B,P四點共圓6分又有ZXYP二ZXZP二90。知X,Y,P,Z四點共圓，所以B,X,Y,P,Z五點共圓，從而/XBP=90。，即ZQBP=90。，G故線段PQ是?O的一條直徑；10分（2）設xb,yp相交于點e，則Of二ob二Q，（因為叫eb-aqep）11又由XY//又由XY//OQ（因為ZQOP=90。）得OE—1—OY1QEXQ'所以PQ=xp所以PQ=xp16、（本題滿分16分）已知有限張卡片,每張卡片上各寫有一個小于30的正數(shù)，所有卡片上數(shù)的和為1080．現(xiàn)將這些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先從這些卡片中取出第一批卡片，其數(shù)字之和為S，滿足S<120，且S要盡可能地大；然后在取出第一批卡片后，對余下的卡片按第111一批的取卡要求構成第二批卡片（其數(shù)字之和為S）；如此繼續(xù)構成第三批（其數(shù)字之和為S）；23第四批（其數(shù)字之和為S）；…直到第N批（其數(shù)字之和為S）取完所有卡片為止。4N（1）判斷S,S，…,S的大小關系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片數(shù)為多少？TOC\o"1-5"\h\z12N（2）當n=1,2,3,…,N—2時，求證：S<960；nn（5）對于任意滿足條件的有限張卡片，證明：N<11。（1）解：S>S>…>S,2分12N因為假設每批取出卡片不多于3張，則這3張卡片上的數(shù)之和不大于