第08講直線與橢圓雙曲線拋物線精講

第08講直線與橢圓、雙曲線、拋物線目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 9高頻考點一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系 9高頻考點二：根據(jù)直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系求參數(shù) 13高頻考點三：相切問題 16高頻考點四：由中點弦確定直線方程 20高頻考點五：由中點弦確定曲線方程（離心率） 25高頻考點六：弦長問題 30高頻考點七：三角形面積（周長）問題 37高頻考點八：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題 47第四部分：數(shù)學文化題 52第一部分：知識點必背知識點一：直線與橢圓的位置關系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．知識點二：直線與雙曲線的位置關系代數(shù)法：設直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若，時，，直線與雙曲線相交于兩點；時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；直線與雙曲線相交于兩點；知識點三：直線與拋物線的位置關系設直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于的方程(1)若,當時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當時,直線與拋物線相切,有一個切點;當時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.知識點四：直線與圓錐曲線的相交的弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：；第二部分：高考真題回歸1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．(1)求的方程；(2)設為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因為橢圓的方程為，所以，因為為第一象限上的動點，設，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.2．（2023·全國（甲卷文理）·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，設直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設點到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當時，的面積．3．（2023·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）設,則，兩邊同平方化簡得，故.（2）法一：設矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，同理令，且，則，設矩形周長為,由對稱性不妨設，，則.，易知則令,令，解得，當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，則，故,即.當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設在上，且，

依題意可設，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設,的斜率分別為和，由對稱性，不妨設，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設，則，令，解得，當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動個單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問題等價于矩形的周長大于.設,根據(jù)對稱性不妨設.則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當時,②當時,由于,從而,從而又,故,由此，當且僅當時等號成立，故，故矩形周長大于.

.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）若直線被圓所截的弦長不小于2，則與下列曲線一定有公共點的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑為.設直線方程為，直線到圓心的距離為，由弦長公式得，所以.由點到直線的距離公式得，，即.對于選項A，直線到該圓圓心的距離為，取，滿足條件，而，直線與圓沒有公共點，故A排除；對于選項B，當時，對于直線有，，，聯(lián)立橢圓方程得，所以必有公共點；當時，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，所以必有公共點；故B正確；對于選項C，聯(lián)立直線與拋物線方程得，若時，則，有解；若時，，取，則，方程無解，此時無公共點，故C錯誤；對于選項D，當時，對于直線有，，，聯(lián)立雙曲線方程得，取，則直線：，與雙曲線不存在公共點，故D排除.故選：B.例題2．（2023·全國·高二專題練習）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】C【詳解】聯(lián)立，消去，整理得到，該方程判別式，于是此方程無解，即直線和橢圓沒有交點，故直線和橢圓相離.故選：C例題3．（2023·高二課時練習）過點P（4，4）且與雙曲線只有一個交點的直線有（

）．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【詳解】解；雙曲線方程為：，當k不存在時，直線為x＝4，與1的圖象有且只有一個公共點，當k存在時，直線為：y＝k（x﹣4）+4，代入雙曲線的方程可得：，（1）若＝0，k時，y＝（x﹣4）+4與雙曲線的漸近線yx平行，所以與雙曲線只有1個公共點，（2）k時，，即k，此時直線y（x﹣4）+4與雙曲線相切，只有1個公共點．綜上過點P（4，4）且與該雙曲線只有一個公共點的直線4條．故選：D.例題4．（2023·全國·高三專題練習）過點作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】B【詳解】當直線的斜率不存在時，直線，代入拋物線方程可，故直線與拋物線有兩個交點．不滿足要求，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由，消得，，當時，解得，直線與拋物線有且只有一個交點，符合題意；當時，由，可得，即當時，符合題意．綜上，滿足條件的直線有2條．故選：B.練透核心考點1．（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學?？计谥校┲本€與曲線的公共點的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】當時，曲線，即，雙曲線右半部分；一條漸近線方程為：，直線與漸近線平行；當時，曲線，即，橢圓的左半部分；畫出曲線和直線的圖像，如圖所示：

根據(jù)圖像知有個公共點.故選：B2．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）已知點和雙曲線，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．無數(shù)條【答案】A【詳解】由題意可得，雙曲線的漸近線方程為，點是雙曲線的頂點.①若直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，直線與雙曲線只有一個公共點，合乎題意；②若直線的斜率存在，則當直線平行于漸近線時，直線與雙曲線只有一個公共點.若直線的斜率為，則直線的方程為，此時直線為雙曲線的一條漸近線，不合乎題意.綜上所述，過點與雙曲線只有一個公共點的直線共有條.故選：A.3．（2023春·上海虹口·高二上海市復興高級中學?？计谥校┮阎獟佄锞€方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【詳解】點在拋物線上，易知當直線斜率不存在時不滿足；當直線斜率時，易知滿足條件；當直線斜率存在且時，設直線方程為，即，，整理得到，，，解得，直線方程為.綜上所述：滿足條件的直線有2條.故選：C4．（2023·高二課時練習）拋物線的焦點為F，A為準線上一點，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能【答案】B【詳解】設，，則的中點坐標為，，所以中垂線的斜率為，所以直線的中垂線方程為，代入，可得∴，∵線段FA的中垂線與拋物線相切.故選：B高頻考點二：根據(jù)直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系求參數(shù)典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）已知實數(shù)，滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【詳解】令，則直線與有交點情況下，直線在x軸上截距最大，假設直線與橢圓相切，則，即，所以，可得，即，要使在x軸上截距最大，即.故選：B.例題2．（多選）（2023春·江蘇南通·高二期末）雙曲線的離心率為，若過點能作該雙曲線的兩條切線，則可能取值為（

）．A． B． C． D．2【答案】AC【詳解】斜率不存在時不合題意，所以直線切線斜率一定存在，設切線方程是，由得，顯然時，所得直線只有一條，不滿足題意，所以，由得，整理為，由題意此方程有兩不等實根，所以，，則為雙曲線的半焦距，，即，代入方程，得，此時，綜上，e的范圍是故選：AC

例題3．（2023春·湖北武漢·高二武漢市吳家山中學校聯(lián)考期中）已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍為.【答案】【詳解】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立：得：,當時，即時，直線與漸近線平行，有一個公共點，舍去；當時，<0，即或，無公共點.綜上所述：或.故答案為：練透核心考點1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習）若方程有解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設，，兩邊同平方得，化簡得（），則其所表示的圖形為橢圓在x軸及上方部分，則題目轉(zhuǎn)化為直線與上述圖形有交點，設橢圓的右端點為，易得其坐標為，當直線與半橢圓相切時，顯然由圖得，聯(lián)立，得，則化簡得，解得或（舍），當直線經(jīng)過點時，得，解得，則，故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習）直線與橢圓有且只有一個交點，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，，由題意知，解得，故選：C．3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的右焦點為F，點，若直線AF與C只有一個交點，則．【答案】【詳解】由題意知，雙曲線C的漸近線方程為或，因為直線AF與C只有一個交點，所以直線AF與C的漸近線平行，即或，解得．故答案為：高頻考點三：相切問題典型例題例題1．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓，離心率為，過的直線分別與相切于，兩點，則直線方程為（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【詳解】首先證明橢圓上一點處的切線方程為：，①當切線斜率存在時,設過點的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡得.②當切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點的切線方程為：.再證明若點是橢圓外一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，則切點弦的方程為．這是因為在，兩點處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點，所以得到了和，由這兩個“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；因為橢圓，離心率為，若焦點在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點弦方程為；若焦點在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點弦方程為，即；綜上可得直線方程為或.故選：A例題2．（2023·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，橢圓方程為，為橢圓上的動點，直線的方程為：，則點到直線的距離的最小值為.【答案】【詳解】令與橢圓相切，消去x整理得：，所以，可得，顯然與橢圓無交點，當，切線為，與距離為；當，切線為，與距離為；所以點P到直線的距離d的最小值為.故答案為：例題3．（2022秋·高二課時練習）若直線與單位圓和曲線均相切，則直線的方程可以是.（寫出符合條件的一個方程即可）【答案】【詳解】解：由題可知，直線的斜率存在，設直線方程為，單位圓的方程為：所以則，整理得：所以則，整理得：所以，解得則則直線的方程為：.故答案為：.練透核心考點1．（2022·全國·高三專題練習）若直線與曲線交于不同的兩點，那么的取值范圍是A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【詳解】由直線與曲線相切得由圖知,的取值范圍是（），選D.2．（2022·全國·高三專題練習）橢圓上點P(1,1)處的切線方程是．【答案】【詳解】∵橢圓，∴y>0時，，∴，∴x＝1時，，即切線斜率，∴橢圓上點P(1,1)處的切線方程是，即．故答案為：．3．（2022·高二課時練習）曲線上點到直線距離的最小值為．【答案】/【詳解】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當，此時與的距離，當，此時與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：4．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為．【答案】/【詳解】根據(jù)結(jié)論6，由題意得橢圓在點處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結(jié)論5得知，該雙曲線在點處的切線的斜率為．故答案為：.高頻考點四：由中點弦確定直線方程典型例題例題1．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）橢圓內(nèi)有一點，則以為中點的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設以點為中點的弦所在直線與橢圓相交于點，，，，斜率為．則，，兩式相減得，又，，，代入解得．故選：D．例題2．（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知為雙曲線上兩點，且線段的中點坐標為，則直線的斜率為.【答案】【詳解】設，則兩式相減得，由線段的中點坐標為，即，.故答案為：例題3．（2023秋·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線與拋物線交于兩點，且點是線段的中點，求直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由定義知，解得.所以拋物線的方程為.（2）設，，顯然點在拋物線C內(nèi)，且是線段的中點，所以,因為兩點在拋物線上，所以，由，得，所以，故所求直線的方程為，即.例題4．（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線，圓：，雙曲線：．(1)直線與圓有公共點，求的取值范圍；(2)若直線與交于，兩點，且點為的中點，若存在，求出方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由已知得，圓：，∴圓心，半徑，∵與圓有交點，則圓心到的距離，整理可得，，解得，．（2）設存在直線，由題意可知，直線斜率不存在時不成立.設、，因為是的中點，所以，．又，在雙曲線上，所以，兩式相減得，整理可得，，又，∴，∴，∴方程為，經(jīng)檢驗，該直線與雙曲線交于兩點.但不在上，∴不存在這樣的直線．練透核心考點1．（2023秋·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）若橢圓的弦AB被點AB的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則滿足，兩式作差得，即，又被點平分，故，且直線的斜率存在，所以，整理得，即，則所在直線方程為，化簡得.故選：A.2．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎獟佄锞€，直線交該拋物線于兩點．若線段的中點坐標為，則直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，則，，故，由于線段的中點坐標為，故由拋物線對稱性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直線的斜率為.故選：C3．（2023春·福建廈門·高二福建省廈門第二中學校考階段練習）過點作拋物線的弦AB，恰被點Q平分，則弦AB所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：設，，由題意可知，則，兩式相減，得，因為是弦AB的中點，所以，，所以，即，直線AB的斜率為2，所以弦AB所在直線的方程為，即，故選：C.4．（2023·高二課時練習）雙曲線的一條弦的中點為，則此弦所在的直線方程為.【答案】【詳解】由雙曲線的對稱性可得此弦所在的直線斜率存在，設弦的兩端分別為，，則有，兩式相減得，所以，又因為弦的中點為，所以，故直線斜率，則所求直線方程為，整理得，由得，，故該直線滿足題意，故答案為：5．（2023秋·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知橢圓：（）上任意一點到兩個焦點的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作直線交橢圓于，兩點，點為線段的中點，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由橢圓的定義知，，∴，又∵橢圓的離心率，∴，∴，∴橢圓的標準方程為.（2）∵為橢圓內(nèi)一點，∴直線與橢圓必交于，兩點，設，，當時，不合題意，故，∵為線段的中點，∴，∴，又∵，均在橢圓上，∴，兩式相減，得，即，∴，∴，即，∴直線的方程為，即．高頻考點五：由中點弦確定曲線方程（離心率）典型例題例題1．（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，則從而，故．由題意可得，則，從而，故橢圓C的離心率．故選：A.例題2．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，（不重合），的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為直線，所以，由題可知的垂直平分線的方程為，將與聯(lián)立可得，即的中點坐標為．設，，則，且，，兩式作差可得，即，所以，則雙曲線的離心率為．故選：D例題3．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學校校考開學考試）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標為，則此雙曲線的方程是.【答案】【詳解】設點、，由題意可得，，，直線的斜率為，則，兩式相減得，所以，由于雙曲線的一個焦點為，則，，，因此，該雙曲線的標準方程為.故答案為：.練透核心考點1．（2023春·江西宜春·高三?？奸_學考試）已知橢圓上存在兩點關于直線對稱，且線段中點的縱坐標為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】關于直線對稱，，又中點縱坐標為，中點橫坐標為；設，，則，兩式作差得：，即，；又，，，解得：，橢圓的離心率.故選：A.2．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線C：存在以點為中點的弦，請寫出一個滿足條件的拋物線方程為.【答案】（答案不唯一）【詳解】拋物線存在以點為中點的弦，則該點在拋物線開口內(nèi)，即當時，.可取，則滿足條件的拋物線方程為.故答案為：（答案不唯一）3．（2023·甘肅蘭州·?？家荒＃┤魴E圓的中心在原點，一個焦點為，直線與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1，則這個橢圓的方程為．【答案】【詳解】法一：（直接法）橢圓的中心在原點，一個焦點為，設橢圓方程為，由，消去，得，設直線與橢圓相交所得弦的端點分別為，，則由題意知，解得．所求橢圓方程為．法二：（點差法）橢圓的中心在原點，一個焦點為，設橢圓的方程為．設直線與橢圓相交所得弦的端點分別為，，則得，即，又弦的中點的縱坐標為1，故橫坐標為-2，，代入上式得，解得，故所求的橢圓方程為．故答案為：4．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，已知過原點的直線與雙曲線相交于兩點，雙曲線的右支上一點滿足，若直線的斜率為-3，則雙曲線的離心率為.【答案】/【詳解】如圖，取的中點，連接，則，所以，設直線的傾斜角為，則，所以，所以直線的斜率為.設，則.由，得到.，所以，所以，則.故答案為：高頻考點六：弦長問題典型例題例題1．（2023春·江西新余·高二統(tǒng)考期末）橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且短軸長為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，求線段的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意設橢圓的方?為，因為橢圓經(jīng)過點且短軸長為2，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由已知得直線的方程為，設，將直線代入，得，易得，所以，，所以.

例題2．（2023春·浙江杭州·高二?？茧A段練習）橢圓的方程為，短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與圓相切，且與橢圓交于，兩點，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意得：，，結(jié)合，解得：，故橢圓方程為；（2）直線l：與圓相切，故，即，聯(lián)立與得：，設，，，則，將代入上式得：解得：，因為，所以，故，則，所以直線l的方程為或.例題3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎p曲線的焦點為、，實軸長為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，且恰好為線段的中點，求直線的方程及弦的長.【答案】（1）；（2）；.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，焦點在軸上，且，，所以，雙曲線的標準方程為；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，且恰好為線段的中點，當直線斜率不存在時，直線方程為，則由雙曲線對稱性可知線段的中點在軸上，所以不滿足題意；當斜率存在時，設直線方程為，設，，則，化簡可得，因為有兩個交點，所以化簡可得恒成立，因為恰好為線段的中點，則，化簡可得，所以直線方程為，即.此時，∴．例題4．（2023秋·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上第一象限的一點到其焦點的距離為2．(1)求拋物線的方程和點坐標；(2)過點的直線交拋物線于、，若的角平分線與軸垂直，求弦的長．【答案】(1)拋物線方程為：，點坐標為（2，1）(2)4【詳解】（1）由可得：p＝2，故拋物線方程為：，當y＝1時，，又因為x＞0，所以x＝2，所以點坐標為（2，1）；（2）由題意可得直線l的斜率存在，設直線方程為，，，由，得，所以，，，因為的角平分線與y軸垂直，所以，所以，即，即，所以，，，所以.練透核心考點1．（2023春·山東青島·高二青島二中校考開學考試）若橢圓：過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點.(1)求橢圓的方程；(2)直線過點，且被橢圓截得的線段長為，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）拋物線的焦點，雙曲線，即的焦點，依題意，，所以橢圓的方程為.（2）因為點在x軸上，又橢圓的短軸長，則直線不垂直于y軸，設直線的方程為：，由消去x并整理得：，設直線被橢圓截得的線段端點為，則有，于是，即有，解得，所以直線的方程為.2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學?？奸_學考試）已知雙曲線的焦點為，且其漸近線為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過左焦點作斜率為的弦，求的周長.【答案】(1)(2)54【詳解】（1）因為雙曲線的焦點在軸上，設雙曲線方程為，由題意得，解得，所以雙曲線方程為；（2）依題意得直線的方程為，設，聯(lián)立，得，則，所以，因為，所以，所以A，B兩點都在雙曲線左支上，又，由雙曲線定義，，從而，的周長為.3．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？级＃┮阎獟佄锞€，點為其焦點，直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，．(1)求拋物線的方程；(2)過軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點和，點分別為的中點，求的最小值．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）

直線方程為，將其代入拋物線可得，由已知得，解得，故拋物線的方程為．（2）

因為，若直線分別與兩坐標軸垂直，則直線中有一條與拋物線只有一個交點，不合題意，所以直線的斜率均存在且不為0．設直線的斜率為，則直線的方程為．聯(lián)立，得，則，設，則，設，則，則，所以，同理可得，故，當且僅當且，即時等號成立，故的最小值為6．4．（2023秋·山東德州·高二德州市第一中學?？计谀┮阎獟佄锞€上一點到焦點的距離為4.(1)求實數(shù)的值；(2)若直線過的焦點，與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意可知：，解得：.（2）由（1）知拋物線，則焦點坐標為，由題意知直線斜率不為0，設直線為：，聯(lián)立直線與拋物線：，消得：，則則所以，解得，所以直線為：或高頻考點七：三角形面積（周長）問題典型例題例題1．（2023春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，，離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點，且點，當?shù)拿娣e最大時，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：由題意，可得，且，所以，則，所以橢圓的方程為.（2）解：由直線的方程為，則點到直線的距離為，聯(lián)立方程組，整理可得，由判別式，解得，設，則，可得，所以，當且僅當時，等號成立，所以所求直線的方程為或．

例題2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系中，點在軸上滑動，點在軸上滑動，、兩點間距離為．點P滿足，且點的軌跡為．(1)求的方程；(2)設，是上的不同兩點，直線斜率存在且與曲線相切，若點為，那么的周長是否有最大值．若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理由．【答案】(1)(2)有，最大值為【詳解】（1）設點坐標為，點,的坐標分別為,．由題意，得則，，又因為、兩點間距離為，則整理得點的軌跡為橢圓，其方程：．（2）因為直線的斜率存在，設，，設直線：，因為，是橢圓上的不同兩點，所以由直線與曲線相切可得，得，聯(lián)立可得，所以，，所以，∵，同理所以的周長當時，的周長當時，的周長，（法一）由設，則，，當，即時，最大值為．此時，，所以，即或，此時直線：或，所以的周長最大值為．（法二）當，即時，等號成立，則或，此時直線：或，所以的周長最大值為．例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的一條漸近線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)已知點是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點，，過點的直線交軸于點，若為坐標原點，且面積是面積的倍，求直線的方程【答案】(1)(2)或【詳解】（1）設雙曲線C：，由已知可知，雙曲線的漸近線方程為.因為C的一條漸近線方程為，所以，即．又，所以，所以，故雙曲線C的方程為．（2）設，，，則，.因為，所以，即.聯(lián)立可得，所以.則，所以．設點，則，解得，所以．當時，直線l的方程為，即；當時，直線l的方程為，即．例題4．（2023春·陜西寶雞·高三寶雞中學校考階段練習）已知拋物線的焦點為，圓，過C上一點作的切線，該切線經(jīng)過點．(1)求的方程；(2)若與相切的直線，與相交于，兩點，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，則．設該切線的斜率為k，則．由題可知，，因為該切線經(jīng)過點，所以，解得，故C的方程為．（2）設l與C相切于點，則l的方程為，即．由（1）可知，E的方程為．則圓心到l的距離．因為l與E相交，所以，整理得．．點到l的距離，的面積，當且僅當時，等號成立，故面積的最大值為．練透核心考點1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的離心率為，左?右焦點分別為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點，連接并交橢圓于另一點，若的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）聯(lián)立得，由題意得，所以.因為橢圓的離心率，所以.因為，所以，故橢圓的方程為.（2）由題意知，直線不垂直于軸.設直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理得，所以，所以因為點到直線的距離，且是線段的中點，所以點到直線的距離為，所以.由，解得或（舍去），所以，故直線的方程為，即或.2．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，過點的直線l交雙曲線于P，Q兩點（不與A，B重合），直線，分別與y軸交于M，N兩點．(1)記直線，的斜率分別為，，求；(2)記，的面積分別為，，當時，求直線l的方程．【答案】(1)見解析(2)或或【詳解】（1）由題意知，，，設直線的方程為，,,，聯(lián)立，得，，，，，直線的斜率，直線的斜率，，為定值．（2）設,則，,由于,得，設直線，可得，設直線，可得，所以，所以由得，當時，則，解得，此時直線方程為當時，則，解得，此時直線方程為故直線方程為或或3．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）在平面直角坐標系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，且，求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設動點的坐標為，由已知得，，化簡得：，故曲線的方程為.（2）如圖：

因為點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，所以當直線的斜率為0時，不適合題意；當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，由得，，，所以，由，得，因為，所以，所以，所以，解得：或（舍去），當時，直線的方程為，直線過定點，且滿足，且，所以，當且僅當，即，時取等號，故最小值為.4．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：，直線交拋物線于兩點，，，且.(1)求坐標原點到直線的距離的取值范圍；(2)設直線與軸交于點，過點作與直線垂直的直線交橢圓：于，兩點，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為.聯(lián)立，消去，整理得，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即，所以原點到直線的距離為，又，所以，所以，即，所以坐標原點到直線的距離的取值范圍為.（2）由（1）可知.由題意及（1）可知直線的方程為.設，聯(lián)立，消去，整理得，則根據(jù)根與系數(shù)的關系，得，所以，所以四邊形，設則四邊形，因為在上單調(diào)遞增，所以四邊形,所以四邊形的面積的最小值為.高頻考點八：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題典型例題例題1．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知，為橢圓的左、右頂點，為橢圓上異于，的一點，直線與直線的斜率之積為，且橢圓C過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線，分別與直線相交于，兩點，且直線與橢圓交于另一點，證明：，，三點共線．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）令，則，又，則，所以，即，，由在橢圓上，則，聯(lián)立以上兩式，可得，故橢圓C的標準方程為.（