函數(shù)與極限的概念課件

第一章函數(shù)與極限函數(shù)—微積分的研究對(duì)象極限的概念無窮小量與無窮大量極限的性質(zhì)兩個(gè)重要極限函數(shù)的連續(xù)性第一章函數(shù)與極限函數(shù)—微積分的研究對(duì)象§1函數(shù)

----變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型一、函數(shù)的概念例

圓的面積依賴于圓的半徑,關(guān)系為

（映射說）設(shè)是一個(gè)數(shù)集，是一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于中的任意一個(gè)元素，通過都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為到內(nèi)的函數(shù)，稱為在處的函數(shù)值。稱為自變量；稱為因變量；稱為該函數(shù)的定義域；該函數(shù)的值域?yàn)槎x§1函數(shù)----變量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型一、幾點(diǎn)注意:1.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域2.三要素中關(guān)鍵是對(duì)應(yīng)規(guī)則是相同的函數(shù)3.自然定義域幾點(diǎn)注意:1.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域2.三要素二、特殊函數(shù):分段函數(shù)例5

（符號(hào)函數(shù)）例4

（絕對(duì)值函數(shù)）二、特殊函數(shù):分段函數(shù)例5（符號(hào)函數(shù)）例4（絕對(duì)值函三、函數(shù)的性質(zhì)1.奇偶性(1).對(duì)稱區(qū)間(2).圖形特征(3).運(yùn)算奇函數(shù)偶函數(shù)三、函數(shù)的性質(zhì)1.奇偶性(1).對(duì)稱區(qū)間(2).圖形例：(4).函數(shù)的整體性質(zhì)。例：(4).函數(shù)的整體性質(zhì)。2.單調(diào)性小的仍然小------單增小的反而大------單減(1).與區(qū)間有關(guān)同一函數(shù)在不同區(qū)間單調(diào)性未必相同(2).高等數(shù)學(xué)中將利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性2.單調(diào)性小的仍然小------單增小的反而大-----例：不減不增例：不減不增1、復(fù)合函數(shù)四復(fù)合函數(shù)已知1、復(fù)合函數(shù)四復(fù)合函數(shù)已知例如例如

已知函數(shù)的值域?qū)儆诤瘮?shù)的定義域，則函數(shù)就稱為函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)，其中稱為中間變量。定義3已知函數(shù)注意（1）中間變量作為自變量的定義域與作為因變量的值域必須相交，否則沒有意義。例如函數(shù)沒有意義。（2）復(fù)合函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的最重要的基礎(chǔ)概念。（3）一般地，。注意（1）中間變量作為自變量的定義域與作為因變量例7函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域。解：所以思考：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域。由題可知例7函數(shù)的定義域?yàn)槔?已知求和解：例8已知求函數(shù)與極限的概念課件例9已知函數(shù)，求及（變量替換法）因此令，則解：所以例9已知函數(shù)例10分解下列函數(shù)：解：或所以例10分解下列函數(shù)：解：或所以基本初等函數(shù)(五大類)：2、初等函數(shù)---微積分的主要研究對(duì)象冪函數(shù)y

x

(

R是常數(shù));指數(shù)函數(shù)y

a

x(a

0且a

1);對(duì)數(shù)函數(shù)

y

loga

x(a

0且a

1),三角函數(shù)y

sinx,y

cosx…反三角函數(shù)y

arcsinx,y

arccosx…基本初等函數(shù)(五大類)：2、初等函數(shù)---微積分的主要研究對(duì)初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算（加、減、乘、除）和/或復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)。非初等函數(shù)：分段函數(shù)、隱函數(shù)、積分上限函數(shù)。初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算（加、減、乘、除）§２極限

----高等數(shù)學(xué)的重要概念數(shù)列極限函數(shù)極限數(shù)列的定義： 按照一定順序排列的可列個(gè)數(shù)：成為數(shù)列，記做?！欤矘O限----高等數(shù)學(xué)的重要概念數(shù)列極限數(shù)一、數(shù)列極限示例例1例4例3例2一、數(shù)列極限示例例1例4例3例2數(shù)列極限的定性描述

二、數(shù)列極限的定義

給定數(shù)列,當(dāng)自變量(下標(biāo))無限增大時(shí),通項(xiàng)

無限趨近于常數(shù)則稱常數(shù)為數(shù)列的極限

,即或定義1數(shù)列極限的定性描述二、數(shù)列極限的定量描述

（數(shù)列極限）給定數(shù)列，對(duì)任意的正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有則稱常數(shù)為數(shù)列的極限,或數(shù)列收斂于即定義2數(shù)列極限的定量描述例6例5常數(shù)列的極限仍是該常數(shù)

例7當(dāng)時(shí)，有例6例5常數(shù)列的極限仍是該常數(shù)定理1

（數(shù)列極限的四則運(yùn)算）如果，則三、數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理1（數(shù)列極限的四則運(yùn)算）三、數(shù)列極限的四則運(yùn)算推論

運(yùn)算法則本質(zhì)上是加