空間向量的數(shù)量積運算導學案高二數(shù)學系列（人教A版2019選擇性）

第一章空間向量與立體幾何

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算（導學案）學習目標掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質、運算律，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數(shù)學運算的核心素養(yǎng).重點難點重點：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向量滿足線性運算(加法、減法和數(shù)乘），懂得運算律。難點：空間向量的線性在簡單空間幾何體中的計算和應用。課前預習自主梳理要點一研究空間向量數(shù)量積運算類比平面向量的數(shù)量積運算完成表格.平面空間（學生填空）夾角對非零向量,作,則叫做與的夾角,記作,.特例:當時,則.數(shù)量積兩個非零向量,則的數(shù)量積,記作,即數(shù)量積.特例:.參考答案：平面空間（學生填空）夾角對非零向量,作,則叫做與的夾角,記作,.已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作．特例:當時,則.如果，那么向量，互相垂直，記作．數(shù)量積兩個非零向量,則的數(shù)量積,記作,即數(shù)量積.已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積(innerproduct)，記作．即．特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0．特例:.由向量的數(shù)量積定義，可以得到：；．也記作．要點二投影向向量投影得到的投影向量c的表示：;2.類似于向量向向量投影，如何定義并畫出空間向量向直線投影；3.定義并畫出向量向平面投影，并說說與前面兩種向量投影的畫法有什么不同之處.要點三空間向量的數(shù)量積滿的運算律1.1.2.3.參考答案：，；(交換律)；(分配律)．自主檢測、、是空間向量，則以下說法中錯誤的是（

）A．、一定共面 B．、、一定不共面C． D．【答案】B【分析】利用共面向量的定義可判斷AB選項；利用空間向量數(shù)量積的運算性質可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，任意兩個空間向量都共面，A對；對于B選項，、、可能共面，也可能不共面，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，，D對.故選：B.2.棱長為的正四面體中，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空間向量數(shù)量積的運算性質可求得的值.【詳解】.故選：A.3.在空間四邊形中，分別是的中點，為線段上一點，且，設，，，則下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于A，由計算即可；對于B，根據(jù)題意可得，再由計算即可；對于C，由計算即可；對于D，由計算即可.【詳解】解：對于A，由題意可知：，故正確；對于B，由題意可得，又因為，所以，所以，故正確；對于C，由題意可得，故錯誤；對于D，由題意可得，故正確.故選：C.新課導學學習探究（一）新知導入環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境引入課題(回顧舊知，類比得到空間向量數(shù)量積的概念)問題1:類比平面向量的數(shù)量積，你能得出空間向量的數(shù)量積相關知識？想一想，在學習平面向量的數(shù)量積時，我們都學習了哪些內容，是怎么學習的.請同學們類比平面向量的數(shù)量積運算研究空間向量數(shù)量積運算，小組合作完成表格.平面空間（學生填空）夾角對非零向量,作,則叫做與的夾角,記作,.特例:當時,則.數(shù)量積兩個非零向量,則的數(shù)量積,記作,即數(shù)量積.．特例:.環(huán)節(jié)二觀察分析感知概念借助幾何直觀，揭示空間向量投影概念的本質問題2：根據(jù)平面向量數(shù)量積的學習經驗，為了研究數(shù)量積的運算律，需要先定義向量的投影.想一想空間向量的投影有哪些情況.提示：向量向向量投影；空間向量向直線投影；向量向平面投影問題3：下面我們分情況展開空間向量投影的研究.如圖1(1),如何定義并畫出空間向量向向量投影？如圖1.111(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(圖1.111(2))．追問:你能用向量,向量表示出投影向量嗎?追問：類似于向量向向量投影，你能定義并畫出空間向量向直線投影嗎？師生活動：學生獨立完成后在課堂上展示、交流，最后教師總結.追問：請嘗試定義并畫出向量向平面投影，并說說與前面兩種向量投影的畫法有什么不同之處.如圖1.111(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到向量，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．空間向量的數(shù)量積滿足如下的運算律：，；(交換律)；(分配律)．環(huán)節(jié)三抽象概括形成概念推廣運算律，理解向量運算律與數(shù)的運算律的差異問題4：定義了運算就要研究它的運算律.類比平面向量數(shù)量積的運算律，你能說出空間向量的數(shù)量積運算具有哪些運算律嗎？，；(交換律)；(分配律)．追問：你能證明這些運算律嗎？問題5：我們知道，數(shù)及其運算是一切運算的基礎，空間向量的數(shù)量積運算在形式上是兩個向量相乘，由此，自然會想到將它與數(shù)的乘法作類比.向量的數(shù)量積是否具有一些與數(shù)的乘法類似的性質呢？它們之間有什么共性和差異嗎？追問：對三個不為0的數(shù),有,也就是說，數(shù)的運算滿足結合律.對于向量的數(shù)量積運算，有“結合律嗎？追問：對于三個均不為0的數(shù)，若，則．對于向量，，，由，你能得到嗎？如果不能，請舉出反例．追問：對于三個均不為0的數(shù)，若，則(或)．對于向量，，若，能不能寫成（或）的形式？環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例2．如圖1.112，在平行六面體中，，，，，．求：(1)；(2)的長(精確到0.1)．解：（1）；（2），所以．環(huán)節(jié)五概念應用鞏固內化例3如圖1.113，，是平面內的兩條相交直線，如果，，求證：．圖3圖3分析：要證明，就是要證明垂直于內的任意一條直線（直線與平面垂直的定義）．如果我們能在和，之間建立某種聯(lián)系，并由，，得到，那么就能解決此問題．證明：在平面內作任意一條直線，分別在直線，，，上取非零向量，，，．因為直線與相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序實數(shù)對，使．將上式兩邊分別與向量作數(shù)量積運算，得．因為，（為什么?），所以．所以．這就證明了直線垂直于平面內的任意一條直線，所以．思考：例3即為直線與平面垂直的判定定理的證明過程.嘗試用綜合幾何方法證明這個定理，并比較兩種方法，你能從中體會到向量方法的優(yōu)越性嗎？環(huán)節(jié)六歸納總結反思提升問題7請同學們回顧本節(jié)課所學內容，并回答下列問題：(1)空間向量數(shù)量積的定義、運算律是什么？與平面向量的數(shù)量積運算有什么聯(lián)系與區(qū)別？(2)空間向量投影的意義是什么？與平面向量的投影有什么聯(lián)系與區(qū)別？如何畫出空間向量向另一個向量、一條直線和一個平面的投影？(3)在用空間向量的數(shù)量積運算解決一些簡單的立體幾何問題的過程中，向量及其運算起了什么作用？課堂小結空間向量的夾角兩向量的夾角是唯一確定的夾角范圍特殊夾角及對應兩向量的位置關系空間向量的數(shù)量積的定義與幾何意義空間向量數(shù)量積的性質：證明向量垂直的方法；計算向量長度的方法?？臻g向量數(shù)量積的運算律。環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置作業(yè)布置：教科書習題第4,7題.備用練習1.已知正四面體的棱長為為棱的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基底表示出，利用數(shù)量積的定義可求答案.【詳解】因為M是棱CD的中點，所以所以.故選：D.備用練習2.已知平行六面體如圖所示，其中，，，線段AC，BD交于點O，點E是線段上靠近的三等分點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由向量的線性運算和數(shù)量積的定義，化簡求值.【詳解】依題意，，，，，故A正確；，故B錯誤；，則，故C錯誤；，故D正確；故選：AD.平面空間（學生填空）夾角對非零向