數(shù)學人教A版選修1-2課堂探究2.2直接證明與間接證明（第1課時）

課堂探究探究一綜合法的應用綜合法是中學數(shù)學證明中常用的一種方法，它是一種從已知到未知(從題設到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導出所要求證的命題結(jié)論的真實性．簡言之，綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法．【典型例題1】已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).思路分析：根據(jù)題意進行適當配湊，再利用基本不等式進行證明即可．證明：∵a2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2a,3)，b2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2b,3)，c2＋eq\f(1,9)≥eq\f(2c,3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,9)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,9)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c2＋\f(1,9)))≥eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b＋eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(a＋b＋c)＝eq\f(2,3).∴a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).規(guī)律小結(jié)綜合法證明不等式所依賴的主要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2).③若a，b∈(0，＋∞)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，特別是eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.【典型例題2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．(1)證明：CD⊥AE；(2)證明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本題可先明確線線、線面垂直的判定及性質(zhì)定理，再用定理進行證明．證明：(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，綜上得PD⊥平面ABE.規(guī)律小結(jié)利用一些常見的結(jié)論常?？梢詫⒕€面間的垂直與平行進行轉(zhuǎn)化．比如：兩條平行線中的一條垂直于平面α，則另外一條也垂直于平面α；垂直于同一條直線的兩個平面相互平行等．探究二分析法的應用分析法是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設)的證明方法，即先假設所要證明命題的結(jié)論是正確的，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的判斷，而當這個判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時，命題得證(應強調(diào)的一點，它不是由命題的結(jié)論去證明前提)．因此，分析法是一種執(zhí)果索因的證明方法，也是數(shù)學證明常用的手段．【典型例題3】已知a＞5，求證eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a).思路分析：從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點，因此直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件．證明：要證eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需證eq\r(a－5)＋eq\r(a)＜eq\r(a－3)＋eq\r(a－2)，只需證(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2＜(eq\r(a－3)＋eq\r(a－2))2，即2a－5＋2eq\r(a2－5a)＜2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，即證eq\r(a2－5a)＜eq\r(a2－5a＋6)，只需證a2－5a＜a2－5a＋6，即證0＜6.因為0＜6恒成立，所以原不等式成立．故eq\r(a－5)－eq\r(a－3)＜eq\r(a－2)－eq\r(a).溫馨提示1．只有不等號兩端均為非負數(shù)時，才能直接平方．2．用分析法證明數(shù)學命題時，一定要恰當?shù)赜煤梅赐品枴啊被颉耙C明”、“只需證明”、“即證明”等詞語．探究三綜合法與分析法的綜合應用分析法與綜合法是兩種思路相反的推理方法，分析法是倒溯，綜合法是順推，分析法容易探路，綜合法條理清晰，宜于表述，但思路不太好想．因此對二者交互使用，相互轉(zhuǎn)換，解題時聯(lián)合運用可增加解題思路．【典型例題4】已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，且0＜x＜1，求證logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc.思路分析：解答本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)運算法則和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化成證明整式不等式．證明：要證明logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc，只需要證明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))＜logx(abc)，而已知0＜x＜1，故只需證明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc.∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)＞0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)＞0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)＞0，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞eq\r(a2b2c2)＝abc.即eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)＞abc成立．∴l(xiāng)ogxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)＜logxa＋logxb＋logxc成立．溫馨提示解題時，常用分析法思考問題，尋找解題途徑，用綜合法書寫解題過程，或者聯(lián)合運用綜合法與分析法，找到溝通已知條件與結(jié)論的途徑．探究四易錯辨析易錯點分析法與綜合法相混淆致錯【典型例題5】求證：eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6).錯解：eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)，并且eq\r(2)＋eq\r(10)和2eq\r(6)都是正數(shù)，所以(eq\r(2)＋eq\r(10))2＜(2eq\r(6))2，即12＋4eq\r(5)＜24，eq\r(5)＜3，所以5＜9.因為5＜9成立，所以不等式eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)成立．錯因分析：本題步驟出現(xiàn)錯誤，把eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)看成了條件去推，不符合分析法的步驟．正解：因為eq\r(2)＋eq\r(10)和2eq\r(6)都是正數(shù)