湖北省孝感市重點(diǎn)高中教科研協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023年湖北省高三9月起點(diǎn)考試高三數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：孝昌一中 命題老師：柯海清 楊勝輝 審題學(xué)校：漢川一中考試時(shí)間：2023年9月5日下午15：00—17：00 試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B. C. D.2.已知集合，集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）3.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，滿足，，則的最大值為（）4.已知的所有項(xiàng)的系數(shù)和為3，則的系數(shù)為（） C. D.5.已知圓O的直徑，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡與圓O的相交弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）7.已知來自甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校的5名學(xué)生參加演講比賽，其中三個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學(xué)校的學(xué)生的演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（）8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若直線與直線平行，則或B.數(shù)據(jù)1、5、8、2、7、3的第60%分位數(shù)為5C.設(shè)隨機(jī)變量X～，則最大時(shí)，D.在中，若，則為等腰三角形10.已知函數(shù)，則（）A.點(diǎn)為的一個(gè)對(duì)稱中心B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)镈.若函數(shù)在區(qū)間上只有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則11.在邊長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M，N，P分別為AB，，的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.點(diǎn)B到平面PMN的距離為C.、DA、CM相交于一點(diǎn) D.平面PMN與正方體的截面的周長(zhǎng)為12.已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，左右焦點(diǎn)為，，直線l與雙曲線的左右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，則（）A.若，則的面積為B.存在弦PQ的中點(diǎn)為，此時(shí)直線l的方程為C.若的斜率的范圍為，則的斜率的范圍為D.直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.若向量，，且，則與的夾角為______.14.一家物流公司計(jì)劃建立倉庫儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過市場(chǎng)了解到下列信息：每月的土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與x成正比.若在距離車站10km處建立倉庫，則與分別為4萬元和16萬元.則當(dāng)兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小時(shí)______（單位：km）.15.已知直線是曲線與拋物線的公切線，則______.16.在中，，，將繞著邊BC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則三棱錐的外接球的表面積為______.四、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為Tn，求滿足條件的最大正整數(shù)n.18.（12分）已知a，b，c為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿足：（1）求角A；（2）若的外接圓半徑為，求的周長(zhǎng)的最大值.19.（12分）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，；側(cè)面ABEF為矩形，，且平面平面ABEF.（1）求證：；（2）設(shè)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使二面角的余弦值為.20.（12分）為了研究吸煙是否與患肺癌有關(guān)，某研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了100人，得到成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：吸煙肺癌合計(jì)非肺癌患者肺癌患者非吸煙者251035吸煙者155065合計(jì)4060100（1）依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)；（2）從這100人中采用分層抽樣，按照是否患肺癌抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽2人，記這2人中不患肺癌的人數(shù)為X，求X的分布列和均值；（3）某藥廠研制出一種新藥，聲稱對(duì)治療肺癌的有效率為90%.現(xiàn)隨機(jī)選擇了10名肺癌患者，經(jīng)過使用藥物治療后，治愈的人數(shù)不超過7人.請(qǐng)問你是否懷疑該藥廠的宣傳，請(qǐng)說明理由.參考公式和數(shù)據(jù)：（1），其中；且.（2）；概率低于的事件稱為小概率事件，一般認(rèn)為在一次試驗(yàn)中是幾乎不發(fā)生的.21.（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)恒成立，求a的范圍.22.（12分）已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓E上存在點(diǎn)M，使得四邊形OAMB為平行四邊形.試探究：四邊形OAMB的面積是否為定值？若是定值，求出四邊形OAMB的面積；若不是定值，請(qǐng)說明理由.2023年湖北省高三9月起點(diǎn)考試高三數(shù)學(xué)答案題號(hào)123456789101112答案CBBDACDABCACACDACD填空題：13. 15. 16.1.由于，則的虛部為，故選C。2.由于集合或，集合，從而，故元素個(gè)數(shù)為2，故選B。3.設(shè)的首項(xiàng)為，公差為d，則，又，，則，從而數(shù)列得前4項(xiàng)為正，其余項(xiàng)為負(fù)，故的最大值為，故選B。4.由已知可得：，所以則的系數(shù)為，故選D。5.明顯，圓O的半徑為2，其方程為：①可設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)由，從而有化簡(jiǎn)得：②由可得相交弦的方程為：帶入式①可求出，故相交弦長(zhǎng)為，故選A。6.令，則亦有，可求出或0或e從而有或1或，從而相應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)分別為1或3或2，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故選C。7.設(shè)這5個(gè)人分別為：ABCDE，則要求B與C和D與E的演講順序都不能相鄰。第一類：A在BC中間，此時(shí)再把D與E插空到這3人中間，此時(shí)的不同的演講順序有第二類：A不在BC中間，此時(shí)先考慮B與C和D與E，他們的順序應(yīng)相間排列，最后考慮A，此時(shí)的不同的演講順序有綜上可得：總共有48種不同的演講順序，故選D。8.對(duì)于a，由，則，故；對(duì)于b，，故；對(duì)于c，由于，則，從而可得同理，，則，從而可得所以有綜上有：故選A。9.對(duì)于A，由兩直線平行可得：或又時(shí)，兩直線重合，舍去：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故A錯(cuò)誤。對(duì)于B，這6個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排序?yàn)椋? 2 3 5 7 8，由，則這組數(shù)據(jù)第60%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)，即為5，故B正確。對(duì)于C，由，從而時(shí)最大，故C正確。對(duì)于D，由，可得，，又、，則有或，或，故為等腰三角形或直角三角形，故D不正確。10.明顯對(duì)于A明顯成立，故A正確對(duì)于B令，由則，明顯：即時(shí)遞減，故B不正確對(duì)于C由，及則，則在區(qū)間上的值域?yàn)椋蔆正確對(duì)于D由，及，則由題意可知：從而得：，故D不正確11.對(duì)于A明顯有 又平面，生平面從而平面成立，故A正確對(duì)于B由等體積法：，明顯有：的面積為，點(diǎn)P到的距離為，又在中，，，可求出的面積為，從而可得：，故B不正確對(duì)于C由于，則，CM相交于一點(diǎn)G，從而有平面ABCD，平面則可得平面平面，即所以有，DA，CM相交于一點(diǎn)G，故C正確對(duì)于D平面PMN與正方體的截面為邊長(zhǎng)為正六邊形PNMEFH，（點(diǎn)E，F(xiàn)，H分別為BC，，的中點(diǎn)）則其周長(zhǎng)為，故D正確12.在雙曲線中，，，且，，，對(duì)于A設(shè)，，由雙曲線定義得：，兩邊平方可得：①在中，由余弦定理可得：② 聯(lián)立①②可得：故的面積為，故A正確對(duì)于B由中點(diǎn)弦公式：，此時(shí)直線l的方程為帶入雙曲線的方程消去y可得：，此時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線無公共點(diǎn)，說明此時(shí)直線不存在，故B不正確對(duì)于C設(shè)，則又直線與的斜率的乘積由于從而可得：，故C正確對(duì)于D設(shè)直線帶入（說明：時(shí)（※）式表示雙曲線;時(shí)（※）式表示雙曲線的兩條漸近線）得，應(yīng)滿足：，且且明顯有：（與無關(guān)）這說明線段PQ的中點(diǎn)與線段MN的中點(diǎn)重合，故有成立，故D正確。13.由于，從而，則，又，則與的夾角的余弦值為，則與的夾角為。14.由已知可設(shè)：，，且這兩個(gè)函數(shù)分別過，，得，，從而，，故，即時(shí)等號(hào)成立。15.先考慮與相切，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，則，由相切的性質(zhì)可得：①及②由②知：帶入①可求出：，從而有再考慮與相切聯(lián)立方程，消去y，可得：（舍去）。16.如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則明顯有，由于與的外心G與F分別在AE與DE上，則三棱錐的外接球的球心O在過點(diǎn)G且與平面ABC垂直的直線上。由對(duì)稱性可知：，易求出，設(shè)，則在中，有，則，，又在中，，從而在中，，所以三棱錐的外接球的表面積.17.解：（1）由于，，即…（3分）又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列…（5分）②由（1）可知：…（6分）則，且關(guān)于n是遞增的…（8分）又，，所以滿足條件的最大正整數(shù)…（10分）18.解：（1）由已知可得：…（2分）由于，則有…（4分）又，則有，所以有…（6分）（2）由正弦定理可知：，則由…（7分）又有余弦定理可知：…（8分）由于，則有，即…（9分）又，即從而（當(dāng)?shù)忍?hào)成立）…（11分）則，故的周長(zhǎng)的最大值為6…（12分）19.（1）證明：連接AC，在矩形ABEF中，明顯有：又平面平面ABEF，平面平面從而可得：平面ABCD，又平面ABCD，從而可得：…（3分）又在菱形ABCD中且則平面ACF 又平面ACF 則…（5分）（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，且，，則，…（7分）設(shè)是平面MBC的一個(gè)法向量，由及故可取…（9分）又明顯，平面BCD的一個(gè)法向量為…（10分）由已知有…（11分）所以點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，使二面角的余弦值為…（12分）20.解：（1）零假設(shè)為：吸煙與患肺癌之間無關(guān).…（1分）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算可得：…（3分）依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為不成立，即吸煙會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)…（4分）（2）由已知可得：抽取的5人中，不患肺癌的有2人，患肺癌的有3人。明顯：X的所有可能取值為：0，1，2，…（5分）且，，故X的分布列為：X012P…（7分）X的均值為…（8分）（3）隨機(jī)選取10個(gè)病人，治愈人數(shù)不超過于7人的概率為：從而該事件稱為小概率事件，一般認(rèn)為在一次試驗(yàn)中是幾乎不發(fā)生的，所以可以懷疑該藥廠是虛假宣傳…（12分）21.（1）…（1分）當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間…（2分）當(dāng)時(shí)，考慮，明顯，且，則有一正一負(fù)兩個(gè)根，取正跟且當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間為…（4分）綜上可得：當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間為…（5分）（2）當(dāng)時(shí)，在遞減，且不符合題意…（6分）當(dāng)時(shí)，由（1）可知：只需…（7分）又由于…（8分）則只需