2021-2022學(xué)年滬教版新八年級(jí)暑期數(shù)學(xué)提升-第20講 函數(shù)單元復(fù)習(xí)（教師版）

第20講函數(shù)單元復(fù)習(xí)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

正比例函數(shù)和反比例函數(shù)是八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第十八章內(nèi)容，從本章開始，我們以運(yùn)動(dòng).變化的觀點(diǎn)

為指導(dǎo)，引入變量和函數(shù)的初步的概念，學(xué)習(xí)兩種與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù).通過對(duì)這兩類函數(shù)的

解析式.定義域.它們的圖像和性質(zhì)的逐一研究，深化了函數(shù)概念的理解，并得出研究函數(shù)的一般方法.

函數(shù)的概念與性質(zhì)是初中階段的重點(diǎn).（1）理解函數(shù)的意義，掌握函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則,會(huì)求出x=a

時(shí)的函數(shù)值.（2）本章研究了兩個(gè)最簡(jiǎn)單的函數(shù)，即正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的定義.圖像和性質(zhì).這是本

章的重點(diǎn).要理解這兩個(gè)函數(shù)的概念，能借助直觀的圖像，得到它們的一些基本性質(zhì)，并知道它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)

生活中的廣泛應(yīng)用.會(huì)用這些概念和性質(zhì)，采用一定的方法，并滲透數(shù)形結(jié)合的思想，去解決一些簡(jiǎn)單的

實(shí)際問題.（3）掌握函數(shù)的三種常用表示法，即解析法.列表法和圖像法.知道各種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)，善于

把這些方法結(jié)合起來，對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析與研究，還要善于利用圖表獲取信息.處理信息去解決問題，善于

用數(shù)形結(jié)合的思想研究性質(zhì).

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.函數(shù)的意義

1.在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y,如果x在它的允許值范圍內(nèi)變化，y隨著x的變化而變化，也

就是他們之間存在著相依關(guān)系，就說變量y是變量x的函數(shù).

2.當(dāng)一個(gè)變量取一個(gè)確定值時(shí)，按照某一對(duì)應(yīng)法則，另一個(gè)變量也有確定的值與它對(duì)應(yīng)，這就反映了

兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就目前我們涉及的函數(shù)，對(duì)于自變量在它自己允許值范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，

另一個(gè)變量都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，這里的對(duì)應(yīng)法則就是函數(shù)的要素之一.

3.自變量可取值的范圍，我們稱它為定義域.每一個(gè)函數(shù)都有定義域，定義域是函數(shù)的要素之一.函數(shù)

的自變量取定義域中的所有值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的全體就稱為函數(shù)的值域，這也是函數(shù)的要素之一.

正比例函數(shù)和反比例函數(shù)

正比例函數(shù)反比例函數(shù)

k

解析式y(tǒng)=kx(kw0)y=-(k^0)

X

圖像經(jīng)過（0,0）和（1,幻兩點(diǎn)的直線雙曲線

當(dāng)々＞0時(shí)，圖像經(jīng)過第一.三象限；當(dāng)人＞0時(shí)，圖像經(jīng)過第一.三象限

性質(zhì)

當(dāng)/＜0時(shí)，圖像經(jīng)過第二.四象限當(dāng)左＜0時(shí)，圖像經(jīng)過第二.四象限

當(dāng)々>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，），的值隨著

當(dāng)4>0時(shí)，y的值隨著X的值增大而增大

增減性x的值增大而減?。划?dāng)々>0時(shí)，在每個(gè)

當(dāng)/>0時(shí)，y的值隨著x的值增大而減小

象限內(nèi)，y的值隨著x的值增大而增大.

=.函數(shù)的常用表示法

1.數(shù)學(xué)方法一“待定系數(shù)法”，待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中常用的方法；

2.數(shù)學(xué)思想一“數(shù)形結(jié)合'’的思想，在解函數(shù)題時(shí)要充分利用所給函數(shù)圖形，會(huì)正確畫圖.

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：選擇題

［例1.下列說法正確的是（).

A.2x+l不是x的函數(shù)

B.汽車的行駛速度與駕駛員的身高存在函數(shù)關(guān)系

C.凡是過原點(diǎn)的直線的解析式都是正比例函數(shù)

D.反比例函數(shù)y=2,當(dāng)xvO時(shí)，y隨x的增大而減小

x

【難度】★

【答案】D

【解析】A答案中是函數(shù)關(guān)系；B答案中兩者不存在函數(shù)關(guān)系；C答案中過原點(diǎn)的直線也可以是x軸和y軸.

【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)的概念，以及正、反比例函數(shù)的性質(zhì).

［工例2.y與x成正比例，x與z成反比例，那么y與z的關(guān)系是（

).

A.成正比例B.成反比例

C.可能成正比例也可能成反比例D.既不成正比例也不成反比例

【難度】★

【答案】B

【解析】?.?丫與*成正比例，，丫=心，：X與2成反比例，，了=%，；.丫=則.

ZZ

【總結(jié)】本題主要考查兩個(gè)變量成正比例或者成反比例的概念.

0^1例3.若函數(shù)y=（，〃+l）/,3MM是正比例函數(shù)，則m的值為（）.

A.m=-3B.m=0C.m=—=0D.m==0

【難度】★

【答案】C

【解析】m2+3m+\=l,則機(jī)=0或-3.

【總結(jié)】本題主要考查正比例函數(shù)的概念.

3

例4.函數(shù)y=3xy=-2x.y=—x的共同點(diǎn)是().

4

A.圖像經(jīng)過相同的象限B.隨著x逐漸增大，y值逐漸減小

C.圖像都經(jīng)過原點(diǎn)D.隨著x逐漸增大，y值逐漸增大

【難度】★

【答案】C

【解析】都是正比例函數(shù)，因此圖像都過原點(diǎn).

【總結(jié)】本題主要考查正比例函數(shù)圖像的性質(zhì).

5.若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1,2）,則這個(gè)函數(shù)的圖像一定經(jīng)過點(diǎn)（).

A.(2,-1)B.(—―,2)C.(1,-2)D.(―,2)

【難度】★★

【答案】C

【解析】正比例函數(shù)解析式為y=-2x,代入C中的點(diǎn)坐標(biāo)，成立.

【總結(jié)】本題主要考查正比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

k

例6.如圖，過原點(diǎn)的一條直線與反比例函數(shù)丫=2（％*0）的圖像分別交于A、B兩前.若A點(diǎn)的坐

X

標(biāo)為（°,與，則8點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.

A.(a,Z?)B.0,a)C.(—匕，—a)D.—

【難度】★★

【答案】D

【解析】正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

、1例7.已知成>0,則函數(shù)y=的圖像經(jīng)過（）.

_____Ia

A.二、三象限B.二、四象限C.一、三象限D(zhuǎn).一、四象限

【難度】★★

【答案】C

【解析】,：ah>0,：.->0.

a

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì).

k

例8.已知：點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=：（AHO）的圖像上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，

若兩平行線與坐標(biāo)軸圍成矩形的面積為2,則k的值為（）.

A.2B.-2C.±2D.4

【難度】★★

【答案】C

【解析】過反比例函數(shù)y=:匕任一點(diǎn)分別作x軸、y軸垂線，構(gòu)成的矩形的面積為網(wǎng).

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)圖像性質(zhì)中面積不變性的運(yùn)用.

任^例9.己知反比例函數(shù)、=戶在它的圖像所在的每個(gè)象限內(nèi)，y的值隨x的值增大而增大，則女的

取值范圍是（）.

A.k>0B.k<0C.k>—3D.k<—3

【難度】★★

【答案】D

【解析】丫=&（%<0）在每個(gè)象限內(nèi)y隨著x的增大而增大.

X

【總結(jié)】考查反比例函數(shù)的定義和圖像性質(zhì).

考點(diǎn)二：填空題

L的定義域是.

例1.函數(shù)y

【難度】★

【答案】x>l.

【解析】需要滿足x-1>0,則X>1.

【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，當(dāng)含有二次根式時(shí)，被開方數(shù)要非負(fù)，同時(shí)保證分母不為零.

已知/（幻=正，則/（應(yīng)）=

2-x

【難度】★

【答案】V2+1.

【解困r1f(,\/2)=—~—f==y/2+\.

2-夜

【總結(jié)】本題主要考查利用代入法求函數(shù)的值.

例3.正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過（2,1）,那么這個(gè)正比例函數(shù)的解析式是

【難度】★

【答案】y=^x.

【解析】主要考查利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式.

由例4.反比例函數(shù)y=-g-的比例系數(shù)是

【難度】★

【答案】二.

2

【解析】y=幺中k叫做比例系數(shù).

X

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)的概念.

k-2

［例5.反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-2,-3),那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是

x

【難度】★

【答案】y=~.

【解析】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

例6.反比例函數(shù)y=竺，當(dāng)m、"異號(hào)時(shí)，它的圖像位于第_______象限.

一一IX

【難度】★★

【答案】二、四.

［解析］m."異號(hào)時(shí),則mn<0.

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì).

7.若函數(shù)y=mx'"'3,當(dāng)機(jī)=時(shí)，此時(shí)函數(shù)是正比例函數(shù)，且圖像在第一、三象限,y隨x

的減小而_________

【難度】★★

【答案】2；減小.

【解析】m?—3=1,則;n=±2；.圖像在第一、三象限，則%=2.

【總結(jié)】本題主要考查正比例函數(shù)的概念以及正比例函數(shù)的圖像的性質(zhì).

、1例8.已知y和五成正比例，并且當(dāng)x=8時(shí)，y=16,那么當(dāng)x=-64時(shí);y=>當(dāng)y=-64

時(shí)，x=.

【難度】★★

【答案】-32；-512

［解析］。和表成正比例，y=崗1

:當(dāng)x=8時(shí)，y=16,16=左我，，/=8,y=8

當(dāng)x=—64時(shí)，y=8xM-64=-32;當(dāng)y=-64時(shí)，8爪=-64,則x=—512.

【總結(jié)】本題一方面考查兩個(gè)變量成正比例的概念，另一方面考查求函數(shù)值的問題.

［1J例9.要把儲(chǔ)水量為600立方米的一段河道的水抽干，現(xiàn)用每小時(shí)出水量30立方米的水泵抽水，則

河道剩水量Q(米外和水泵抽水時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系式為,t的取值范圍為.

【難度】★★

【答案】Q=600-30f；0</<20

【解析】工作總量=工作時(shí)間x工作效率.

【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)與實(shí)際問題的結(jié)合.

(例10.已知函數(shù)y=ox和y=?的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則兩個(gè)函數(shù)圖

象的交點(diǎn)坐標(biāo)是.

【難度】★★

【答案】(1,2)或(一1,一2).

4—Z7

【解析】當(dāng)x=l時(shí)，y=ax=a1y=----=4—a,則a=4—a,解得：a-2.

x

所以兩個(gè)函數(shù)的解析式為：y=2x和y=*,聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,2)或(-1,-2).

x

【總結(jié)】本題主要考查待定系數(shù)法求解析式以及利用解析式求交點(diǎn)坐標(biāo).

考點(diǎn)三：解答題

例1.已知：函數(shù)y=5x--5-x,

求：(1)自變量的取值范圍；

(2)A(4,加)在這個(gè)函數(shù)圖像上，求機(jī)的值；

(3)當(dāng)x=-ll時(shí)，函數(shù)值y等于多少？

(4)當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)值是3?

【難度】★

【答案】(1)(1)x<5：(2)19；(3)-59；(4)1.

［解析］(1)x<5；

(2)當(dāng)x=4時(shí)，^=5x4-75-4=19；

(3)當(dāng)x=Tl時(shí)，/n=5x(-ll)-75-(-ll)=-59；

(4)5x-y/5-x=3,5x-3=y/5-x,兩邊平方可得：25』-29x+4=0,則占=1,x2=—；

代入到原方程中，X=應(yīng)不滿足方程，則X=l.

【總結(jié)】本題主要考查根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)值.

例2.市出租車起步價(jià)是7元（路程小于或等于3千米），超過3千米加收1.2元，求出租車車費(fèi)y

與行程x（x>3）之間的函數(shù)關(guān)系式.

【難度】★

【答案】y=1.2x+3.4.

【解析】y=7+1.2（x-3）=1.2x+3.4.

【總結(jié)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)解析式.

［例3.近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，已知400度的近視眼鏡鏡片的焦距是

0.25米.求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

【難度】★

100

【答案】y=—

【解析】用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

［例4.現(xiàn)有100本圖書借給學(xué)生每人2本，寫出余下書數(shù)y（本）與學(xué)生數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式，并

求自變量x的取值范圍.

【難度】★

【答案】j=100-2x（0<x<50）.

【解析】考查實(shí)際問題.

。1例5.已知等腰三角形的周長(zhǎng)為24,設(shè)腰長(zhǎng)為X,底邊長(zhǎng)為y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求

出自變量x的取值范圍.

【難度】★

【答案】y=24-2%（6<x<12）.

【解析】由三角形三邊關(guān)系可得：x-xjvx+x,將y=24-2x代入不等式中，可得：

6Vxv12.

【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)關(guān)系式與實(shí)際問題之間的關(guān)系.

「Yl例6.當(dāng)人為何值時(shí)，函數(shù)y=+

（1）是正比例函數(shù)，并求出此時(shí)的函數(shù)解析式；

（2）是反比例函數(shù)，此時(shí)函數(shù)的圖像在什么象限？

【難度】★★

【答案】（1）y=-x；（2）y=—,此時(shí)函數(shù)在一、三象限.

33x

4

【解析】（1）3A-2=1,則左=1,函數(shù)解析式為y=gx；

19

（2）302=-1,則2=函數(shù)解析式為丁=二，此時(shí)函數(shù)圖像在一、三象限.

33x

【總結(jié)】本題一方面考查正、反比例函數(shù)的概念，另一方面考查反比例函數(shù)的性質(zhì).

kL

例7.已知反比例函數(shù)〉=￡（A。0）的圖像經(jīng)過直線y=3x上的點(diǎn)（百，m）.求相和女的值.

x

【難度】★★

【答案】m=3A/3,k=9.

【解析】丁點(diǎn)（百，m）在直線y=3x上，tn=373

V（x/3,3打）在反比例函數(shù)）?='上，二%=V5X3招=9.

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)與圖像的關(guān)系.

8.已知y是x的正比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=8,如果A（〃?，-2機(jī)+4）是它圖像上的一點(diǎn),

求加的值.

【難度】★★

【答案】m=M

3

【解析】??）是不的正比例函數(shù)，并且當(dāng)％=2時(shí)，y=8,，y=4x,

2

：m+4）是y=4x卜.的?點(diǎn)，-2m+4=4m,m=^

【總結(jié)】本題主要考查正比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)與圖像的關(guān)系.

例9.若雙曲線丁=絲」的圖象經(jīng)過第二、四象限，求Z的取值范圍.

x

【難度】★★

【答案】k<~.

2

【解析】由題意，可得：2攵一1<0,所以&<一.

2

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì).

_1_M7-

例10.在反比例函數(shù)y=----------的圖像上有三點(diǎn)（5，弘），（毛，%），（與，必），若大>馬>0>%，

x

比較M，y2>%的大小?

【難度】★★

【答案】

y2vM<乃?

【解析】-1-m2<0,則函數(shù)y隨著x增大而增大.

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì).

一3

例11.右&玉，%）、以為，%）、。（七，必）是函數(shù)=一圖象上的點(diǎn)，且求力、必、

x

y3＞0的大小關(guān)系.

【難度】★★

【答案】y2v兇＜0＜y3

【解析】函數(shù)y=隨著x增大而減小.

x

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì).

例12.已知反比例函數(shù)丫=竺蟲經(jīng)過點(diǎn)4（2,-加）和8（〃，2〃），

X

（1）求m和〃的值；

（2）若圖像上有兩點(diǎn)生（耳，y）和月32，%），且辦＜0＜工2，試比較y1和%的大小.

【難度】★★

【答案】（1）m=-l,n=±l；（2）必〈y2.

【解析】（1）,??反比例函數(shù)y二24二-3經(jīng)過點(diǎn)A（2,—㈤，???一機(jī)=”"2-+二3，解得：利=—1.

x2

22?

，反比例函數(shù)解析式為:y=一,＜8（〃，2〃）在y=—上，J2〃=—,〃=±1

xxn

（2）?.?王＜0＜電，/.必＜為.

【總結(jié)】本題一方面考查利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，另一方面考查反比例函數(shù)圖像的性質(zhì).

例13.已知點(diǎn)A坐標(biāo)為點(diǎn)在直線y=3x上，求AAO3的面積.

【難度】★★

【答案】9.

【解析】:?點(diǎn)在直線y=3x上，.?.8（-1,-3）

OAB

S^AOB=^Y=gx6x3=9.

【總結(jié)】本題主要考查函數(shù)在求幾何圖形面積中的應(yīng)用.

例14.已知M是反比例函數(shù)y=V（AHO）圖像上一點(diǎn)，MA_Lx軸于A,若50加=4,求這個(gè)反比例

X

函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】y=-

X

【解析】過反比例函數(shù)y=?（左二0）（左力0）圖像上一點(diǎn)作x軸的垂線（或y軸的垂線）構(gòu)成的三角形的面

X

積為-k.

2

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的面積不變性的運(yùn)用.

已知直線y=kx過點(diǎn)（-2,3）,點(diǎn)A是直線>=也上一點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)（4,0）,且S?BC=12,

求點(diǎn)A的坐標(biāo).

【難度】★★

【答案】4（4,一6）或（一4,6）.

【解析】,直線y=Ax過點(diǎn)（一2,3）,，y=

二?點(diǎn)A是直線y=~x上一點(diǎn)，，可設(shè)機(jī)）

V5^=12,Ai-OB|Av|=12,Eplx4x|-1/n|=12,則加=±4

A（4,-6）或（-4,6）.

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，注意兩種情況的討論.

例16.已知直線y=與雙曲線y=K交于A點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.若雙曲線y=上一點(diǎn)C的

2xx

縱坐標(biāo)為8,求的面積.

【難度】★★

【答案】15.

［解析】?力:A的橫坐標(biāo)為4,.?.其縱坐標(biāo)為4x1=2,A（4,2）.

???A（4,2）在y=&上，則反比例的解析式為）?=e,???C（l,8）.

XX

過點(diǎn)C、A分別作X軸的垂線，垂足分別為E、F,

則S&COE=S&AOF=4.

,?S&COE+S梯形CE必=S^COA+S^AOE

??S4COA-S梯形C￡E4

,**S梯形CEFA=~X（2+8）X3=15

??S叢COA=15.

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，要注意分析坐標(biāo)與距離的關(guān)系，另外注意利用割補(bǔ)法求面積.

I例17.正方形A8CD的邊長(zhǎng)為8厘米，現(xiàn)點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)，沿BC->8邊，設(shè)點(diǎn)P從B點(diǎn)移動(dòng)了xcm,

=>，求y關(guān)于x的解析式，并寫定義域?

【難度】★★

【答案】當(dāng)04x<8時(shí)，y=4x；當(dāng)8<x416時(shí)，y=32.

【解析】當(dāng)P在8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=gx8xx=4x；

當(dāng)P在8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=gx8x8=32.

【總結(jié)】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與三角形面積的關(guān)系，注意分類討論.

例18.如圖，正比例函數(shù)丁=依（2>0）與反比例函數(shù)y=—的圖像交于A.C兩點(diǎn)，AB_Lx軸于

x

B，C￡>_Lx軸于￡>，求S叫談"o

【難度】★★

【答案】6.

【解析】:正比例函數(shù)丁=依（4>0）

3

與反比例函數(shù)>=士的圖像交于A.C兩點(diǎn).

，A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

:.OD=OB,

,*S&OAB=SNAD1S^OCB=*^AOCD?

??33

?S^AOB=2，S&8D-，

.3

,'S四邊形ABCD=S?OB+^^AOD++^^COB=~><4=6.

【總結(jié)】本題一方面考查反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)的特征，另一方面考查反比例函數(shù)圖像的性

質(zhì).

19.已知反比例函數(shù)丫=幺（左=0）的圖像上有一點(diǎn)A,過點(diǎn)A向x軸，y軸分別作垂線，垂足分別

X

為點(diǎn)5、C,且矩形"OC的面積為15.求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式.

【難度】★★

【答案】y="或>=

XX

【解析】過反比例函數(shù)y=］上任一點(diǎn)分別作x軸、y軸垂線，構(gòu)成的矩形的面積為網(wǎng).

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的面積不變性的運(yùn)用.

20.已知正比例函數(shù)y=34*0)與反比例函數(shù)y=幺出工0)的圖像交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐

x

標(biāo)為(2,1).

(1)求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo).

【難度】★★

1O

【答案】(1)y=-x,y=—；(2)B(-2,-l)

2x

【解析】用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

21.如圖所示，在函數(shù)y的圖象上有三點(diǎn)4B.C,過這三點(diǎn)分別向x軸.y軸作垂線，過每

X

一點(diǎn)所作的兩條垂線段與X軸.y軸圍成的矩形的面積分別為5、邑、53,比較加、Sz、S3的大小.

【難度】★★

【答案1S]=S2=S3.

【解析】過反比例函數(shù)y=幺上任一點(diǎn)分別作X軸、y軸垂線，

X

構(gòu)成的矩形的面積為網(wǎng)

【總結(jié)】本題主要考查反比例函數(shù)圖像的面積不變性的運(yùn)用.

【過關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.(2020?上海八年級(jí)期中)已知正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)4(1,-3),則此函數(shù)圖像必經(jīng)過()

1313

A.B.(6,—2)C.(―,—)D.(2,6)

【答案】A

【分析】設(shè)正比例函數(shù)的解析式為了="，通過待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)的解析式，然后逐一代入驗(yàn)證即

可.

【詳解】設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=",

???正比例函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)4(1,-3),

:,—3=k,

k=—3?

???正比例函數(shù)的解析式為y=-3x,

函數(shù)圖象過點(diǎn)（一,,3）

故該選項(xiàng)正確:

22

B中，當(dāng)x=6時(shí)，y=-3x6=-18,.?.函數(shù)圖象不過點(diǎn)（6,—2）,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C中，當(dāng)x時(shí)，y=—3x；=—.?.函數(shù)圖象不過點(diǎn)（g,g）,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D中，當(dāng)x=2時(shí)，y=—3x2=-6,.?.函數(shù)圖象不過點(diǎn)（2,6）,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

2.（2020.上海普華教育信息咨詢有限公司八年級(jí)期中）打開洗衣機(jī)開關(guān)，在洗滌時(shí)（洗衣機(jī)內(nèi)無水），洗

衣機(jī)經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)過程，其中進(jìn)水、清洗、排水時(shí)洗衣機(jī)中的水量?（￡）時(shí)間

x（min）之間滿足某種函數(shù)關(guān)系，其數(shù)圖像大致為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)衣機(jī)經(jīng)歷了進(jìn)水、清洗、排水、脫水四個(gè)連續(xù)過程利用排除法進(jìn)行判斷即可

【詳解】解：因?yàn)檫M(jìn)水時(shí)水量增加，函數(shù)圖象的走勢(shì)向上，所以可以排除B、C,清洗時(shí)水量大致不變，函

數(shù)圖象與x軸平行，排水時(shí)水量減少，函數(shù)圖象的走勢(shì)向下，排除A,只有選項(xiàng)D符合.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的圖像，培養(yǎng)了學(xué)生從圖象中讀取信息的數(shù)形結(jié)合能力.

3.（2019?上海市市西初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，一只螞蟻從。點(diǎn)出發(fā)，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行

一周，當(dāng)螞蟻運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f時(shí)，螞蟻與。點(diǎn)的距離為5，則s關(guān)于，的函數(shù)圖像大致是（）

B

O

【答案】B

【分析】根據(jù)螞蟻在半徑OA、AB和半徑上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷隨著時(shí)間的變化s的變化情況，即可得出結(jié)

論.

【詳解】解：-只螞蟻從。點(diǎn)出發(fā)，沿著扇形0A8的邊緣勻速爬行，在開始時(shí)經(jīng)過半徑0A這一段，螞蟻

到。點(diǎn)的距離隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間/的增大而增大；

到這段，螞蟻到。點(diǎn)的距離S不變，圖象是與x軸平行的線段；

走另一條半徑時(shí)，S隨，的增大而減小；

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)隨著時(shí)間的變化，到這一段，螞蟻到。點(diǎn)的距離S

不變，得到圖象的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2019?上海八年級(jí)期中）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①是x的函數(shù)；②等腰三角形面積一

2

定，它的底邊和底邊上的高成正比例；③在函數(shù)曠=-一中，y隨x的增大而減?。虎芤阎?。匕＜o(jì),則直線

X

y=—經(jīng)過第二，四象限.

b

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的概念、等腰三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】由函數(shù)的定義，①正確：

1,i號(hào)姓：角后面根為S.底二Z".底邊上的高為h.rS=-cih.

2

2S

所以。=則它的底邊和底邊上的高成反比例，所以②錯(cuò)誤;

h

由反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)，攵<0,則y隨x的增大而增大，所以③錯(cuò)誤；

因?yàn)榍?lt;0,所以一0>o,則正比例函數(shù)圖像經(jīng)過一、三象限，所以④錯(cuò)誤：

b

綜上，正確的個(gè)數(shù)為1個(gè)答案，

故選：A-

【點(diǎn)睛】此題考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的概念、等腰三角形的性質(zhì)、

正比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì).

二、填空題

\-2k

5.（2019?上海八年級(jí)期末）己知反比例函數(shù)^=-----,當(dāng)x>（）時(shí)，N的值隨著x增大而減小，則實(shí)數(shù)％

x

的取值范圍.

【答案】k<-

2

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出l-2k>0,再解不等式求出k的取值范圍.

【詳解】?.?反比例函數(shù)的圖象在其每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，

/.1—2k>0,

:.k<一.

2

故答案為：k<—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：①、當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限：當(dāng)k<0時(shí),

圖象分別位于第二、四象限.②、當(dāng)k>0時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨X的增大而減?。划?dāng)kVO時(shí)，在同一

個(gè)象限，y隨x的增大而增大.

6.（2019.上海涼城第二中學(xué)八年級(jí)月考）函數(shù)：y=4巫的定義域是：.

x-3

【答案】x>-lHx^3.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)卻，分式有意義的條件：分母和，即可求出函數(shù)的定義域.

fx+l>0

【詳解】解：由題意可知：\.八

X—3H0

x>-l

解得:

X。3

故答案為：xN-l且

【點(diǎn)睛】此題考查的是求函數(shù)的定義域，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)K）,分式有意義的條件:

分母聲0,是解決此題的關(guān)鍵.

7.（2019?上海市南洋模范中學(xué)）已知點(diǎn)P（m,〃）在第四象限，則正比例函數(shù)），=-x圖像經(jīng)過第象限.

n

【答案】二、四

ni

【分析】由點(diǎn)尸（犯“）在第四象限可知，團(tuán)>0,〃<0,則一<0；再根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)即可得.

n

【詳解】由點(diǎn)尸（團(tuán),“）在第四象限得，m>0,〃<0

m

則竺<0

n

IT1

根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)得，y=-x圖象經(jīng)過第二、四象限

n

故答案為：二、四.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的性質(zhì)、正比例函數(shù)圖象的性質(zhì).對(duì)于正比例函數(shù)y=。0）有：（1）

當(dāng)人>0,函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，>隨x的增大而增大；（2）當(dāng)k<o,函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限,

y隨工的增加而減小.

3

8.（2019?青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）己知函數(shù)丫=------2x,則f（l）=.

2x-l

【答案】I

【分析】把戶I代入函數(shù)解析式，計(jì)算即可.

3

【詳解】八1）==一一2=3—2=1.

2—1

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值.掌握函數(shù)值的求法是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2020?上海八年級(jí)期中）函數(shù)y==的定義域?yàn)開_________

yJX+2

【答案】x>-2.

【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,列不等式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：x+2>0,

解得x>-2,

故答案為:x>-2.

【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取

全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被

開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

龍+2

10.（2020?上海市奉賢區(qū)弘文學(xué)校八年級(jí)期末）已知函數(shù)/（x）=——，那么/（3）=

X

【答案】-

3

【分析】把x=3直接代入計(jì)算即可.

【詳解】解：把x=3代入/（x）=9,可得：/（3）=^=|,

XJ5

故答案為：

3

【點(diǎn)睛】此題考查求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是把x=3代入進(jìn)行計(jì)算.

三、解答題

11.（2017?上海八年級(jí)期末）已知點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，反比例函數(shù)y=V的圖像經(jīng)過A（JL1）.

x

（1）求此反比例函數(shù)的解析式；

（2）將線段OA繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到線段OB,判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖像上并說明理由.

【答案】（1）y=—^（2）B點(diǎn)在此反比例函數(shù)的圖象上，理由見解析

x

【分析】（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入求解即可；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)圖像上.

【詳解】⑴將點(diǎn)A（省,1）代入y=g得1=喪，解得左=6,所以此反比例函數(shù)的解析式為"走

（2）點(diǎn)8在反比例函數(shù)圖象上.

理由：如圖，過點(diǎn)A作AC垂直于x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BD垂直于8軸于點(diǎn)D

3-

2-B

-一2-1。"口c23*

-1

由點(diǎn)A（-73,1）知OC=-\/3,AC=1,

在放AAOC中，根據(jù)勾股定理得OA=R+忖=2,

：.AC=-OA

2

，ZAOC=30°

由旋轉(zhuǎn)得NAOB=30',08=04=2

ZBOD=ZAOB+ZAOC=60°

:.NOBD=30°

在RtABOD中,。。=(08=1,根據(jù)勾股定理得BD=^OB2-OD2=g

二B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,百)，滿足反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=@

X

???3點(diǎn)在此反比例函數(shù)的圖象上.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式及其圖像，同時(shí)涉及到旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、含30度角的直角三

角形的性質(zhì)，靈活的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?上海八年級(jí)期末)已知：、=兇+%，%與%+1成正比例，與%成反比例.當(dāng)％=1時(shí)，)'=7；

當(dāng)x=3時(shí)，y=4.求y與人的函數(shù)解析式.

【答案】y=—(x+1)+—

2x

【分析】根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式計(jì)

算即可得解

【詳解】解：(1)設(shè))」=攵1(x+1)(h，0),yi=—(依￥0),

x

?\y=k\(x+1)+—.

x

?.,當(dāng)x=l時(shí)，y=7.當(dāng)x=3時(shí)，y=4,

2kl+4=7

,?'4占+殳=3’

I3

%=-

.*.<'2,

%2=6

關(guān)于x的函數(shù)解析式是：(x+1)+-；

2x

【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，熟練準(zhǔn)

確計(jì)算.

13.（2021.上海市康城學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方形放置在平面直角坐標(biāo)系中，04=2,0C=3,

E是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象過點(diǎn)E且和BC相交于點(diǎn)F.

（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

（2）求直線03和反比例函數(shù)的解析式；

（3）連接0E、OF,求四邊形QEBF1的面積.

【答案】（1）8（2,3）,42,|）；（2）y=［；（3）3

【分析】（1）根據(jù)。4=2,OC=3和第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求得B的坐標(biāo)，根據(jù)E為AB的中點(diǎn)即

可求得E點(diǎn)坐標(biāo);

（2）用待定系數(shù)法即可求得直線0B和反比例函數(shù)的解析式;

（3）根據(jù)四邊形的面枳等于矩形的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：（1）-：OA=2,OC=3,四邊形0ABC為長(zhǎng)方形,

.?.BC_Ly軸，BA”軸,AB=OC=3,

：.8(2,3)

；E是AB的中點(diǎn),

AE=-

2

???力|；

（2）設(shè)直線0B的解析式是y

3

把8點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

3

則直線0B的解析式是y=-x.

設(shè)反比例函數(shù)解析式是y=—,

X

把七點(diǎn)坐標(biāo)代入，得％2=3,

33

(3)S0EBF=SOABC—SAOAE一S40CF=2x3-5=3。

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)（一次函數(shù)）解析式和反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義的運(yùn)

用.理解反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)向X軸（y軸）作垂線，這一點(diǎn)、垂足和原點(diǎn)所圍成的三角形面積等于國(guó)

是解題關(guān)鍵.

14.（2021?上海八年級(jí)期末）如圖，已知直線OA與反比例函數(shù)y=的圖像在第一象限交于點(diǎn)A.若

X

Q4=4,直線OA與X軸的夾角為60。.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）求反比例函數(shù)的解析式；

（3）若點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，當(dāng)AAQP是直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)A(2,20)(2)>=生8(3)(2,0)或(8,0)或(0,26)或0,

尤\

【分析】(1)作AD，x軸于點(diǎn)D,根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半得出OD=：OA=2,再根據(jù)勾

2

股定理得出AD,即可得A的坐標(biāo)；

(2)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=即可得出答案；

X

(3)分點(diǎn)P在x軸上和y軸上兩種情況，再分別分NOPA=90?；騈OAP=90。兩種情況考慮即可.

【詳解】解：(1)作AD_Lx軸于點(diǎn)D,則NAZ)O=90"，

/.OD=-OA=2,

2

?*-AD=yl0^-0D2=26-

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2百);

in

(2)丁點(diǎn)A在y=—W-0)的圖像上,

x

m=2x2A/3=4-\/3，

473

反比例函數(shù)的解析式為:y=—

X

(3)點(diǎn)P在x軸上時(shí),

①NOPA=90。時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，OP=OD=2,

二點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,0)；

②/OAP=90°時(shí)，設(shè)P(x,0),

???OA2+PA2=O尸2,

/.42+(x-2)2+(2耳=f,

/.x=8,

...點(diǎn)P坐標(biāo)為(8,0)；

點(diǎn)P在y軸上時(shí)，

①/OPA=90。時(shí)，OP=AD=26，

...點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,26)，

②/OAP=90°時(shí)，設(shè)P(0,y),

Ofic+PA2=OP-

：.42+22+(y-2^)2=y2,

.873

.??點(diǎn)P坐標(biāo)為

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)圖

象上