2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第二冊 　 第一章　1-1　數(shù)列的概念 課件（33張）

激趣誘思古語云:“勤學(xué)如春起之苗,不見其增,日有所長;輟學(xué)如磨刀之石,不見其損,日有所虧.”如果對“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個數(shù)列.同樣,對“磨刀之石”用精密儀器度量,則每日的質(zhì)量按日期排在一起,也可以組成一個數(shù)列.那么什么叫數(shù)列呢?知識梳理一、數(shù)列及其有關(guān)概念

1.按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號有關(guān),各項(xiàng)依次叫作這個數(shù)列的第1項(xiàng),第2項(xiàng),…,第n項(xiàng),…,其中數(shù)列的第1項(xiàng)也叫數(shù)列的首項(xiàng),第n項(xiàng)也叫數(shù)列的通項(xiàng).2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,或簡記為數(shù)列{an}.具有順序性,與集合中的元素性質(zhì)不同

名師點(diǎn)析(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3與3,2,1就是不同的數(shù)列.(2)符號{an}和an是不同的概念,{an}表示一個數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項(xiàng).微思考數(shù)列與集合之間有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系?提示

(1)集合中的元素具有確定性、無序性、互異性,而數(shù)列中的項(xiàng)具有確定性、有序性、可重復(fù)性;(2)集合中的元素可以是數(shù),也可以是點(diǎn)、方程以及其他事物等,但數(shù)列中的每一項(xiàng)必須是數(shù);(3)數(shù)列{an}不是集合,它是數(shù)列的一個整體符號,{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,而an表示數(shù)列的第n項(xiàng).微判斷(1)1,1,1,1是一個數(shù)列.(

)(2)數(shù)列0,1,3與數(shù)列3,1,0是同一個數(shù)列.(

)(3)數(shù)列1,3,5,7,…的首項(xiàng)是1.(

)√×√二、數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列微練習(xí)下列正確說法的序號是

.

①{0,1,2,3,4,5}是有窮數(shù)列;②按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個無窮數(shù)列;③-2,-1,1,3,-2,4,3是一個項(xiàng)數(shù)為5的數(shù)列;④數(shù)列1,2,3,4,…,2n是無窮數(shù)列.答案

②解析

緊扣數(shù)列的有關(guān)概念,驗(yàn)證每一個說法是否正確.{0,1,2,3,4,5}是集合,而不是數(shù)列,故①錯誤;按從小到大排列的所有自然數(shù)構(gòu)成一個無窮數(shù)列,故②正確;同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn),故此數(shù)列共有7項(xiàng),故③錯誤;數(shù)列1,2,3,4,…,2n,共有2n項(xiàng),是有窮數(shù)列,故④錯誤三、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成

an=f(n),那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)

名師點(diǎn)析(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個以正整數(shù)集N+(或其子集){1,2,…,n}為定義域的函數(shù)表達(dá)式.(2)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.(3)同一數(shù)列的通項(xiàng)公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.微練習(xí)1若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-1,則該數(shù)列的第10項(xiàng)a10=

,224是該數(shù)列的第

項(xiàng).

答案

99

15解析

a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數(shù)列的第15項(xiàng).微練習(xí)2根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出下面各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式.(1)-2,-2,-2,-2,…;課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一數(shù)列的分類例1下列數(shù)列中,是無窮數(shù)列的序號為

.

答案

(1)(2)(3)解析

根據(jù)有窮數(shù)列和無窮數(shù)列的分類標(biāo)準(zhǔn)可知,(1)(2)(3)的項(xiàng)數(shù)是無限的,因此(1)(2)(3)均是無窮數(shù)列;而(4)項(xiàng)數(shù)有限,為有窮數(shù)列.反思感悟判斷數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列,就是根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的有限性或無限性.變式訓(xùn)練1下列數(shù)列是有窮數(shù)列的序號為

.

(1)2010,2012,2014,2016,2018;(4)9,9,9,9,9,9.答案

(1)(4)解析

(1)(4)項(xiàng)數(shù)有限,是有窮數(shù)列.探究二由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式例2寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(3)數(shù)列中的每一項(xiàng)均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項(xiàng)公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項(xiàng)公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個自然數(shù),其通項(xiàng)公式為n,綜合得原數(shù)列的一個反思感悟要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式,只需觀察分析數(shù)列中項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律,看哪些部分不隨序號的變化而變化,哪些部分隨序號的變化而變化,確定變化部分隨序號變化的規(guī)律,繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系.變式訓(xùn)練2寫出下面數(shù)列的一個通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)7,77,777,7777,….探究三數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用反思感悟數(shù)列中項(xiàng)的判定方法判斷給定的項(xiàng)是不是數(shù)列中的項(xiàng),實(shí)質(zhì)就是一個解方程的過程.若解得的n是正整數(shù),則該項(xiàng)是此數(shù)列中的項(xiàng);否則,就不是該數(shù)列中的項(xiàng).素養(yǎng)形成思想方法——用歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式典例觀察圖中5個圖形的相應(yīng)小圓圈的個數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個圖中有

小圓圈.

分析

仔細(xì)觀察每個圖形中圓圈的個數(shù)與對應(yīng)順序之間的關(guān)系,從而歸納出第n個圖形中小圓圈的個數(shù).答案

n2-n+1解析

觀察圖中5個圖形小圓圈的個數(shù)分別為1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n個圖中小圓圈的個數(shù)為(n-1)·n+1=n2-n+1.反思感悟歸納是邏輯推理的一類,可以發(fā)現(xiàn)新命題.本例完美詮釋了“觀察現(xiàn)象,歸納規(guī)律,大膽猜想,小心求證”這一認(rèn)識發(fā)展規(guī)律.當(dāng)堂檢測1.下列各項(xiàng)表示數(shù)列的是(

)A.△,○,☆,□B.2008,2009,2010,…,2017C.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形D.a+b,a-b,ab,λa答案

B解析

數(shù)列是指按照一定次序排列的一列數(shù),而不能是圖形、文字、向量等,只有B項(xiàng)符合.2.數(shù)列2,3,4,5,…