2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊(cè) 2-1 第2課時(shí)　充要條件 課件（35張）

p?q

q?p

充要條件p?q

基礎(chǔ)初探教材整理充要條件1．充要條件如果

，且

，那么稱p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱

，記作

.2．常見的四種條件(1)充分不必要條件，即

.(2)必要不充分條件，即

.(3)充要條件，即

.(4)既不充分也不必要條件，即

.p?q，q?p

1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可以說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立．(

)(2)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題．(

)預(yù)習(xí)自測(cè)

預(yù)習(xí)自測(cè)【答案】

(1)√

(2)√

(3)√

合作探究類型1充要條件的判斷例1(1)“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】

由－1＜2x－3＜1，得1＜x＜2，即x∈(1,2)．由x(x－3)＜0，得0＜x＜3，即x∈(0,3)．∵當(dāng)1＜x＜2時(shí)，能推出0＜x＜3；但是0＜x＜3不能推出1＜x＜2.∴p是q的充分不必要條件．【答案】

A名師指導(dǎo)

類型2充要條件的證明例2求證：“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)”的充要條件是“f(0)＝0”．【解】

必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，即sin(－x＋φ)＝－sin(x＋φ)，∴sin(－x)cosφ＋cos(－x)sinφ＝－sinxcosφ－cosxsinφ，整理得2cosxsinφ＝0，由于上式對(duì)任意x∈R都成立，所以sinφ＝0，即f(0)＝sinφ＝0.充分性：由f(0)＝0，得sinφ＝0.∴f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cosφ＋cos(－x)·sinφ＝－sinxcosφ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sinxcosφ，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)．綜上，“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)”的充要條件是“f(0)＝0”．名師指導(dǎo)1．首先分清條件和結(jié)論．本例中條件是“f(0)＝0”，結(jié)論是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函數(shù)”．“p是q的……條件”，p是條件，q是結(jié)論；“p成立的……是q”，q是條件，p是結(jié)論．2．充要條件的證明分兩步證明：證明充分性時(shí)把條件當(dāng)已知去推證結(jié)論的正確性；證明必要性時(shí)，結(jié)論當(dāng)已知去推證條件的正確性．跟蹤訓(xùn)練1．求證：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)”的充要條件是“|f(0)|＝1”．【證明】必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)得f(－x)＝f(x)，即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)，∴sin(－x)cosφ＋cos(－x)sinφ＝sinxcosφ＋cosxsinφ整理得2sinxcosφ＝0.跟蹤訓(xùn)練由于上式對(duì)任意x∈R都成立，所以cosφ＝0，即|f(0)|＝|sinφ|＝1.充分性：由|f(0)|＝1，得|sinφ|＝1，∴cosφ＝0.∵f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cosφ＋cos(－x)·sinφ＝cosxsinφ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝cosxsinφ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)，綜上，“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)”的充要條件是“|f(0)|＝1”．探究點(diǎn)充要條件探究1充要條件具有傳遞性嗎？【提示】

若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．探究3在使用充分條件和必要條件時(shí)，要注意什么？【提示】

在求解與充分條件、必要條件有關(guān)的問題時(shí)，要分清條件p和結(jié)論q.只有分清條件和結(jié)論才能正確判斷p與q的關(guān)系，才能利用p與q的關(guān)系解題．在由條件p與結(jié)論q之間的關(guān)系求字母的取值范圍時(shí)，將p與q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，是求解這一類問題的常用方法．探究4如何求一個(gè)問題的充要條件？【提示】

求一個(gè)問題的充要條件，就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，使得轉(zhuǎn)化前后的兩個(gè)命題所對(duì)應(yīng)的解集是兩個(gè)相同的集合．這就要求我們轉(zhuǎn)化的時(shí)候思維要縝密．例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件．名師指導(dǎo)本題以等比數(shù)列的判定為主線，根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用等比數(shù)列定義判定．證明充要條件的命題，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．