矩陣?yán)碚撛诩?xì)分方法中的應(yīng)用

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附錄矩陣?yán)碚撛诩?xì)分方法中的應(yīng)用矩陣?yán)碚撛诩?xì)分方法中的應(yīng)用（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）線性代數(shù)理論對(duì)計(jì)算技術(shù)的提高具有非凡的指導(dǎo)意義．本章僅就幾何造型細(xì)分方法中矩陣與特征值的應(yīng)用做淺顯的介紹．設(shè)給定８?jìng)€(gè)初始控制頂點(diǎn)，將它們按序連接成如圖1（ａ）所示的初始閉凸八邊形，接下來(lái)的目的是要生成與初始閉凸八邊形形狀尺度相近的光滑閉曲線，這其中矩陣乘積起到至關(guān)重要的作用．１．細(xì)分算法將初始控制多邊形定義為第０層，即，將一定的細(xì)分規(guī)則作用于初始控制多邊形上，產(chǎn)生第１層控制頂點(diǎn)，此時(shí)的控制頂點(diǎn)數(shù)一般是第０層控制頂點(diǎn)數(shù)的２倍，按照一定的連接規(guī)則連接這些控制頂點(diǎn)形成第１層控制多邊形；如此循環(huán)下去，生成第層控制頂點(diǎn)．．．．．．直到生成光滑曲線．這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是細(xì)分規(guī)則的確立，它必須保證生成光滑的極限曲線．下面先給出Chaikin細(xì)分算法以及由它產(chǎn)生的光滑曲線效果圖．這是Chaikin于1974給出的細(xì)分方法，其極限為均勻二次B樣條曲線．其細(xì)分規(guī)則為(１)即第層的頂點(diǎn)由第層頂點(diǎn)按如下規(guī)則生成．對(duì)于圖1這個(gè)閉凸八邊形來(lái)說(shuō)，第1層頂點(diǎn)是按如下公式產(chǎn)生的，即．．．．．．，再按序連接第１層控制頂點(diǎn)．再將細(xì)分規(guī)則（１）用于第１層頂點(diǎn)進(jìn)而產(chǎn)生第２層頂點(diǎn)．．．．．．如此下去就可生成光滑曲線．實(shí)際操作時(shí)根據(jù)效果要求確定細(xì)分次數(shù)．圖１（ｂ）分別為初始凸八邊形以及它經(jīng)過(guò)Chaikin細(xì)分3次后的效果圖．圖１（ａ）初始凸八邊形，（ｂ）初始凸八邊形以及經(jīng)過(guò)Chaikin細(xì)分3圖１（ａ）初始凸八邊形，（ｂ）初始凸八邊形以及經(jīng)過(guò)Chaikin細(xì)分3次后的效果圖為了使光滑曲線能在尺度上與初始控制多邊形更加貼近，作者給出改進(jìn)的細(xì)分規(guī)則，其第i+1層控制頂點(diǎn)是由第i層控制頂點(diǎn)按照如下規(guī)則產(chǎn)生的（2）圖２是細(xì)分效果圖．(a) (a) (b)圖圖２(a)、(b)分別為初始凸八邊形經(jīng)過(guò)細(xì)分公式（２）細(xì)分1次和3次后的效果圖（w=1/16）．在細(xì)分過(guò)程中，一直使用的就是矩陣乘積．Chaikin細(xì)分公式即公式（１）本質(zhì)上是如下的運(yùn)算關(guān)系（３）公式（３）有序、不斷地作用于控制頂點(diǎn)，使新產(chǎn)生的控制頂點(diǎn)按序連接、并不斷加密，從而生成光滑曲線．同理，作者給出的細(xì)分公式（２）本質(zhì)上是如下公式．（４）即新控制頂點(diǎn)是舊控制頂點(diǎn)的線性組合，也是細(xì)分系數(shù)矩陣與舊頂點(diǎn)矩陣之積．這些公式反映了細(xì)分的本質(zhì)．２．收斂性分析從上面例子可知，細(xì)分系數(shù)矩陣是細(xì)分方法的核心，不同型的細(xì)分系數(shù)矩陣以及不同的結(jié)構(gòu)關(guān)系就導(dǎo)致不同的細(xì)分方法．那么滿足何種條件才能產(chǎn)生光滑曲線呢？下面再給出一種細(xì)分方法--立方B樣條細(xì)分方法，并以此為例進(jìn)行收斂性分析．立方B樣條細(xì)分方法控制頂點(diǎn)的定義與連接順序與前面類(lèi)似，細(xì)分規(guī)則如下(５)現(xiàn)在用矩陣表示變換關(guān)系，(６)記，對(duì)應(yīng)的特征值為，按序記為，設(shè)的線性無(wú)關(guān)的實(shí)特征向量，則，(７)其中，，，則有即，．任給長(zhǎng)度為５的向量將其寫(xiě)成特征向量的線性組合x(chóng)．如果的元素是二維點(diǎn)或三維點(diǎn)，則相應(yīng)的也是二維點(diǎn)或三維點(diǎn)．由線性性質(zhì)，有xx=x．應(yīng)用乘j次，有:x(８)注意特征值的排序?yàn)?，則收斂到的極限位置可以直接計(jì)算x．用去除(８)式的兩端，令，得xx．（９）．當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)向量占主導(dǎo)位置，即極限點(diǎn)沿著向量排列，這是曲線中心點(diǎn)的切向量．如果，則當(dāng)時(shí)，由(９)可知，極限將為、的線性組合，在中心點(diǎn)無(wú)切向量，因此導(dǎo)致切向量存在的必要條件為細(xì)分矩陣的所有特征值除外均應(yīng)小于．這樣就證明了該細(xì)分模式的收斂性．在上述分析中，本質(zhì)上通過(guò)矩陣乘冪來(lái)探討收斂性，如公式（８）給出細(xì)分第j層控制頂點(diǎn)與第０層頂點(diǎn)之間的關(guān)系．細(xì)分收斂的斷定是由細(xì)分矩陣的特征值確定的，即外其余特征值均應(yīng)小于，事實(shí)上，特征值的大小在一定程度上決定了細(xì)分的效果．事實(shí)上，矩陣?yán)碚撛诩?xì)分方法中起著本質(zhì)作用，而細(xì)分方法在三維幾何造型以及三維動(dòng)漫設(shè)計(jì)有著廣闊的拓展空間．下面是Chaikin細(xì)分方法推廣到曲面后的三維細(xì)分效果圖，從中可以看到到矩陣?yán)碚摰闹匾饔茫畧D圖３從左上至左下為初始多面體以及細(xì)分１次、３次效果圖，右下為去掉網(wǎng)格后的細(xì)分效果圖．南京理工大學(xué)碩士學(xué)位論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用姓名：張少欽申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專(zhuān)業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：黃振友20210623堡主迨奎二耋塹墮絲坌簦至箜堂坌堡壟基型墼壁望堡塑查旦摘要０－ＩＬｏ本文主要討論的是矩陣微分算子ｉ１ＩＪＩ的譜分解，其中￡是半直線上的極限點(diǎn)型的非負(fù)自伴Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．假定Ｌ只有連續(xù)譜的情況下，分別對(duì)Ｌ的譜下界大于零和等于零的兩種情況作了討論．本文將該矩陣算子酉等價(jià)于某平方可積函數(shù)空間上的乘法算子，具體構(gòu)造了這個(gè)酉等價(jià)，利用這個(gè)表示方法研究了這類(lèi)微分算子生成的酉算子群在出射入射空間的作用．關(guān)鍵詞：Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子；極限點(diǎn)型；譜表示；本性自伴．Ａｂｓｔｒａｃｔ碩士論文ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｔｒｉｘｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｐ一髓ａｔｏｒ；０．－＇／，ｗ婦￡；ｓ齜一咖ｓｅ螂。酞ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ印一ｒ鼴ｈａｌｆ－ｌｉｎｅ，ｗｉｔｈＬｈａｖｉｎｇｏｎｌｙｃｏｎｔｉｎｕｅｉｎｔｗｏｃａｓｅｓ，ｏｎｅｓｐｅｃｔｒｕｍ．ＷｅｓｔｕｄｙｔｈｅｓｐｅｃｔｒａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｉｓｔｈａｔｔｈｅｌｅａｓｔｂｏｕｎｄｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｏｆＬｉｓｚｅｒｏ，ｔｈｅｏｔｈｅｒｉｓｇｒｅａｔｅｒｔｈａｎｚｅｒｏ．ＷｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｍａｔｒｉｘｏｐｅｒａｔｏｒｔｏｂｅｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒＯｎｓｏⅡ玲ｓｑｕａｒｅｉｎｔｅｇｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｓｐａｃｅ．Ｂｙｔｈｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ，ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅａｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒｏｕｐｏｆｕｎｉｔａｒｙｏｐｅｒａｔｏｒｓｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｍａｔｒｉｘｏｐｅｒａｔｏｒｉｎｔｈｅｉｎｃｏｍｉｎｇａｎｄｏｕｔｇｏｉｎｇｓｐａｃｅｓｉｎｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅｏｐｅｒａｔｏｒ；ｌｉｍｉｔ－ｐｏｉｎｔ；ｓｐｅｃｔｒａｌｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ；ｅｓｓｅｎｔｉａｌｓｅｌｆａｄｊｏｉｎｔｎｅｓｓ．Ⅱ聲明本學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下取得的研究成果，盡我所知，在本學(xué)位論文中，除了加以標(biāo)注和致謝的部分外，不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或公布過(guò)的研究成果，也不包含我為獲得任何教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過(guò)的材料。與我一同工作的同事對(duì)本學(xué)位論文做出的貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明。研究生簽名：毯２級(jí)二。／。年鄉(xiāng)月衫日學(xué)位論文使用授權(quán)聲明南京理工大學(xué)有權(quán)保存本學(xué)位論文的電子和紙質(zhì)文檔，可以借閱或上網(wǎng)公布本學(xué)位論文的部分或全部?jī)?nèi)容，可以向有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交并授權(quán)其保存、借閱或上網(wǎng)公布本學(xué)位論文的部分或全部?jī)?nèi)容。對(duì)于保密論文，按保密的有關(guān)規(guī)定和程序處理。研究生簽名：２９／。年ｂ月眵日碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用１引言Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．討論這種類(lèi)型的算子的動(dòng)力大致來(lái)自如下兩方面．本姓要討黼是脅心：卜揀輒是半直線郴一．Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ散射在研究波動(dòng)方程的過(guò)程當(dāng)中，ＰＤ．Ｌａｘ與Ｒ．Ｓ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ發(fā)展了一套以他們名１．１字命名的散射理論【２９】，和其它散射理論［３４，３９】一樣，Ｌａｘ．ｐｈｉｌｌｉｐｓ散射理論的目的也是構(gòu)造波算子、研究散射矩陣的解析性質(zhì)等，其基礎(chǔ)是他們發(fā)展起來(lái)的出射空間和入射空間的技巧．稍微具體地講，Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ的方法是用以構(gòu)建具有下面性質(zhì)的物理系統(tǒng)的散射理論：１．彤是一個(gè)Ｈｉｌｂｅｒｔ空間，【，（『），一∞＜ｔ＜＋００是澎中的單參數(shù)強(qiáng)連續(xù)酉算子群，這個(gè)物理系統(tǒng)的演化可以由這個(gè)算子群刻畫(huà)．２．澎中存在兩個(gè)子空間Ｄ＋，Ｄ－，分別稱(chēng)為出射和入射空間，它們滿足下面的性質(zhì)：（ａ）Ｕ（ｔ）Ｄ—ｃＤ一，ｔ≤ＯｒＵ（ＤＤ＋ｃＤ＋，ｔ≥Ｏ：（ｂ）ｎｆ《ｏＵ（ｔ）Ｄ一＝｛０ｌ－－Ｎｌ＞ｏＵ（ｔ）Ｄ＋；（ｃ）Ｕ腺Ｕ（力￡Ｉ＿＝鄉(xiāng)纊＝Ｕ炬ＲＵ（ｔ）Ｄ＋．如果Ｄ＋和Ｄ一是正交的，那么Ｋ：＝澎Ｏ（Ｄ＋ｏＤ一）是算子群Ｕ（力的不變子空間，令ｚ（０＝ＰｘＵ（力Ｉｘ，這里Ｐｘ是從澎到子空間Ｋ的正交投影算子．可以證明【２７】，算子族｛ｚ（ｏＩｔ≥０）是Ｋ上的強(qiáng)連續(xù)壓縮半群，將它稱(chēng)為Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ半群．假設(shè)半群Ｚ（ｆ）的生成元是算子曰，那么算子Ｂ的譜的性質(zhì)和散射理論中的散射矩陣ｓ的解析性質(zhì)有密切的聯(lián)系，可以參看【７，２７，２９，４８，４９，５１］，以及這些文獻(xiàn)中列出的其它資料．關(guān)于Ｌａｘ．Ｐｈｉｌｌｉｐｓ散射理論的詳細(xì)內(nèi)容可以參看文獻(xiàn)［２７，２９］．１１引言碩士論文Ｌ擗Ｐｈｎ：ｌｉｐｓ散射理論是六十年代發(fā)展起來(lái)的，爾后，ＡｄａｍｙａｎＬ＝ｊＡｒｏｖ的－Ｉ－作［１，２，３】又進(jìn)一步發(fā)展了這一理論．然而，Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ【２５］指出，想要將Ｌａｘ．后，做了一系列的工作【２１，２２，２３，２４，２５］．他從算子微分方程ｔ百ｄｄ［ｔ）＝一ｖｆｆ朋）（ｆ）Ｕ＝ｌ降‘力～ｆ掰１【１，Ｊｌ，則可將上面的抽象算子微分方程（１．１）化為下面的形式：罨孑＝一Ｏ，一０Ｊ】ｕ＝ｚＱ以其中吲Ｏ，升我們有必要對(duì)算子Ｑ的譜的性質(zhì)做一些討論．目前，矩陣Ｑ中的算子Ｌ多是全空間Ｒｎ（ｎ≥３）上的Ｓｃｌｌｒ甜ｉＩｌｅｒ算子【２３，３２，４８］，文獻(xiàn)［３２】簡(jiǎn)單地討論了三維空間中的表示問(wèn)題，【４２】處理的是有阻尼的二階常微分方程，但他們實(shí)際上都沒(méi)有給出確切的譜表示．而關(guān)于Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的譜理論較ｎ維空間的Ｓｃｈｒ砌ｎｇｅｒ算子要清楚，所以受虱Ｊ［３２，４２］的啟發(fā)，本文利用近年來(lái)關(guān)于Ｓｔｕｒｒｎ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的譜和譜表示的理論來(lái)討論算子Ｑ的譜表示．利用譜表示，我們可以推導(dǎo)一些Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ）∈于出射入射空間的結(jié)論，給出有關(guān)抽象理論的一些具體應(yīng)用．碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用１．２共振問(wèn)題另一方面，在共振的研究中也涉及到了這種矩陣微分算子，共振的嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論發(fā)展的時(shí)間并不是很長(zhǎng)，但是發(fā)展很快，關(guān)于共振的詳細(xì)內(nèi)容可以參考［５，１６，３９，４０，４８，５３】，和他們列出的參考文獻(xiàn)，以下三方面的工作是本文討論算子ａ的譜分解的又一動(dòng)力：１．Ｂ．Ｓｉｍｏｎ在文章【４４】中證明了在一維情況下，具有快速下降的勢(shì)函數(shù)的ＳｃｈｒｉＳｄｉｎｇｅｒ算子（即Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子）各種共振的定義是一致的．這些定義最終都可以用某些邊值問(wèn)題來(lái)刻畫(huà)．２．Ｊ。ＳｊＯｓｔｒａｎｄ與Ｍ。Ｚｗｏｒｓｋｉ在【４８】證明了聊仍≥３）的奇數(shù)維情況下，具有緊支撐勢(shì)的Ｓｃｈｒ＆ｌｉｎｇｅｒ算子一△＋ｙ導(dǎo)出的矩陣算子（一△０＋ｙ三】得到的Ｌａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓ半群的生成元Ｂ的特征值與一△＋’，的預(yù)解式定義的共振點(diǎn)一致，這提供了一種將共振點(diǎn)和某個(gè)算子的特征值聯(lián)系起來(lái)的方法．３．ＹＳｔｒａｕｓｓ、Ｈ．Ｂａｕｍｇ缸－ｔｅｌ等人同樣希望用Ｌａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓ半群的生成元去刻畫(huà)共振【７，４９，５０，５１】，但是，一方面他們是直接利用系統(tǒng)的Ｈａｍｉｌｔｏｎ算子Ｈ而不是轉(zhuǎn)化成矩陣㈥（化成矩陣只是解決問(wèn)題的一種可能性，至于是轉(zhuǎn)化到矩陣算子還是直接用系統(tǒng)的Ｈａｍｉｌｔｏｎ量臀是需要認(rèn)真考慮的問(wèn)題），另一方面他們利用了裝備空間的理論，但值得注意的是Ｂ．Ｓｉｍｏｎ在【４３］曾經(jīng)指出裝備空間的方法對(duì)共振問(wèn)題是否有效也是存有疑問(wèn)的．在上面第２、３點(diǎn)的啟發(fā)下，為了迸一步研究一維共振問(wèn)題，我們有必要研究Ｌ是半直線的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的情況下矩陣微分算子Ｑ的譜的性質(zhì)及其表示，并２預(yù)備知識(shí)碩士論文希望在后續(xù)的工作通過(guò)研究半群的生成元而能夠得到與瞰】類(lèi)似的結(jié)論，即用邊值問(wèn)題去描述共振，這樣可以使實(shí)際應(yīng)用更為方便，這也是物理學(xué)家感興趣的［４，３１］．本文第一部分介紹文章涉及的一些基本知識(shí)，主要是稠定閉算子的性質(zhì)，以及Ｑ的本性自伴性，第二部分假定Ｌ是滿足ｏ－（Ｌ）＝％（Ｄ＝【ｏ，＋∞）和“Ｄ＝ｏｒＡＬ）＝陋，＋∞），ａ＞０的半直線上的極限點(diǎn)型Ｓｔｕｒｍ—ＬｉｏｕｖｉＵｅ算子，利用極限點(diǎn)型算子的譜表示給出了Ｑ的自伴延拓的譜表示（定理３．１，定理３．５），并且利用這個(gè)譜表示研究了算子微分方程導(dǎo)出的酉算子群在出射入射空間的作用（定理３．６，定理３．９）．２預(yù)備知識(shí)２．１自伴算子譜理論這節(jié)介紹有關(guān)對(duì)稱(chēng)算子的一些有關(guān)性質(zhì)．由于閉算子、對(duì)稱(chēng)算子、自伴算子的概念在普通的泛函分析的書(shū)中都可以找到，這里就不再給出它們的定義，而是著重給出與這些算子的性質(zhì)有關(guān)的定理．定理２．１、推論２．２見(jiàn)［１８】的１４８頁(yè)，定理２．３見(jiàn)【１８］的１５６頁(yè)，定義２．１和定理２．４見(jiàn)【１９】的１５５頁(yè)和１５８頁(yè)的注２．７．７．定理２．１．１１８１設(shè)ｒ；是＿Ｉ－ｌｉｌｂｅｒｔ空間Ｈ上的稠定算子．剛（１）Ｔ’為閉算子：Ｑ）Ｔ可閉的從要條件是９（丁’）稠，這對(duì)于＝Ｔ“；（３）若ｒ可閉．則于＝Ｔ’推論２．２．１１８１設(shè)ｆ是稠定對(duì)稱(chēng)算子，贓可閉．定理２．３．１１８１設(shè)ｒ是對(duì)稱(chēng)算子，則下面兩條等價(jià)；（１）Ｔ自伴；（２）Ｔ是閉算子，且ｋｅｒ（Ｔ’４－ｉ／）＝｛０１．４碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用定義２．１．１１９１船是閉算子，玩為勿（ｒ）的線性子空問(wèn)，若圖８（?。赏妫┰冢牵ǎ颍┲校耆浚叩膱D范數(shù)稠，則稱(chēng)‰為Ｔ的核．定理２．４．１１９１圣２丁是稠定閉算子，那么９（丁‘丁）包含丁的一個(gè)核下面的定理和推論是關(guān)于對(duì)稱(chēng)算子的譜的刻畫(huà)．定理２５．ｆ１８１設(shè)Ｔ為閉對(duì)稱(chēng)算子，ｔｒ（Ｔ）表昶的譜集合，那么ｏｒ（Ｔ）只有下列情況：（１）閉的上半平面；（２）閉的下半平面（３）全平面（４）實(shí)數(shù)軸陵上的一個(gè)閉集．推論２．６．１１８１設(shè)丁為閉對(duì)稱(chēng)算子，貝歸自伴的充要條件是礦（?。┰冢疑希玻渤Ｎ⒎炙阕幼V理論在這里就本文涉及到的常微分算子的理論作介紹，所考慮的只是和本文相關(guān)的最簡(jiǎn)單的內(nèi)容．２．２．１極限點(diǎn)型Ｓｔｕｒｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子考慮如下Ｓｔｕｒｍ－ＬｉｏｕｖｉＵｃ方程－ｙ７（．力＋ｑ（ｘ）ｙ（曲＝０，工≥０，（２．１）Ｈ．Ｗｅｙｌ［１２】證明了此類(lèi)方程可以分為極限點(diǎn)和極限圓兩類(lèi)，本文只涉及該方程的極限點(diǎn)的情況．定義２．２．方程Ｑ．Ｊ）有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)序９Ｌ２［０，＋∞）解，則稱(chēng)其在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為極限圓型的，否則稱(chēng)其在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為極限點(diǎn)型．５２預(yù)備知識(shí)碩士論文邊界條件對(duì)方程理論是極為重要的，而微分算子的自伴性可以通過(guò)邊條件刻畫(huà)，為了描述微分算子的自伴性，還需要一些其他的概念．令Ｍ＝＿Ｄ２＋ｑ，即坳＝－），，７＋穢．定義２．３．１３０ＩＭ；：ＥＬ２［Ｏ，＋ｏｏ）上生成的最大的算子?。欤_定義如下：ｆｃ勿（乃（加）＝杪ＩＬ２［Ｏ，＋∞），廣∈Ａ％（［ｏ，＋ｏｏ）），一廣７＋∥∈弘［ｏ，＋∞）｝ＴＩ（肘），＝Ｍｆ，ｆ∈９（?。保樱罚桑酉拗圃冢恰保ǎǎ?，＋ｏｏ））得到的算子的最小閉延拓成為肘在乎假＋）上生成的最小算子，記為Ｔｏ（Ｍ）．對(duì)于極限點(diǎn)型Ｓｔｏｒｍ．ＬｉｏｕｖｉＵｅ算子，它的自伴邊界條件有如下刻畫(huà)：定理２．７．１３０１設(shè)Ｍ在無(wú)窮遠(yuǎn)為極限點(diǎn)型的，Ｔ是ｒ文ｍ的ａ伴延拓，則９（Ｔ）＝｛ｆ∈９（ｒｌ（蚴）Ｉｓｉｎ吖（ｏ）一ｃｏｓ∥（ｏ）＝０｝．２．２．２自伴的極限點(diǎn)蠶Ｏ＿Ｓｔｕｒｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的譜表示下面給出極限點(diǎn)型自伴Ｓｔｕｌ孤．Ｌｉｏｕｖｍｅ算子的譜表示和特征展開(kāi)定理．假設(shè)Ｏ（ｘ，∞是初始問(wèn)題瞄２１），，（ｏ，抑＝ｓｉｎｏｔ的解．首先給出空間的表示定理．定理２．８．？３０１存在Ｒ上的非降函黃劬，稱(chēng)為譜函數(shù)，使得對(duì)任意盼∈Ｌ２［Ｏ，＋∞），存在，∈ｇ（＿ｏｏ，＋ｏｏ），使得＾ｌｉ．ｍ。Ｊ一。ａｏｌ穴∞一ｆ：Ａｏｆ（ｘ）Ｏ（ｘ，，ｔ）ｄｘ［２和ｃ抑＝。，穴加ｒ”八曲‰抑出即（在，∈Ｅ（一ｏｏ，＋∞）意義下）碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用（稱(chēng)ｆ為ｆ韻廣義Ｆｏｕ沌ｒ變換）并且有Ｉｌｆｌｌ２＝惻仨．，呻∞，咔∞（局哦ｚ坶縱玎等式ｆｌ廠（工）１２姒∞）．Ｊ０Ｉｆ（ｘ）１２ｄｘ＝ｆＪ一”定理２．９．１３０ｌ（特征展開(kāi)定理）若ｆ∈Ｌ２［０，＋∞１．則ｐ粵佃ｆ卜一ｒ衲吲㈣卜。，即在口【ｏ，＋∞）的意義＾，葉∞八力＝Ｊ穴抑伙工，ａ）ｄｐ（ａ）．■，一∞有了前面這兩個(gè)定理，可以定義如下的等距變換定義２．４．／３０ｌ對(duì)任意盼∈Ｌ２［Ｏ，＋ｏｏ），定義ｕｆ＝，，那么ｕ是等距算子．可以證明ｕ還是ｒ【ｏ，＋∞）到砰（一∞，＋００）的酉算子，即下面的定理定理２．１０．［３０１設(shè)ｇ∈硨?zhuān)ㄒ弧蓿蓿?，則存在丁∈Ｌ２［Ｏ，＋ｏｏ），使得ｐ．，粵佃Ｊ『忙ｆｒｐｇ（ａ）Ｏ（ｘ，ａ）刪卜。目艦Ｃｂ—ｆｏｆ（Ｘ）Ｏ（ｘ，／１）出１２刪－ｏ，即在醇（一００，＋∞）的意義下，刪＝廠”刪厭蹦）出：穴ｎＪ０下面給出關(guān)于極限點(diǎn)型自伴算子的譜的表示定理和相關(guān)推論．定理２．１１．鄺ｏ／謝是Ｔｏ（Ｍ）的自伴延拓，勿（丁）＝｛ｆ∈９（孔（膨））Ｉｓｉｎ，ｚｆ（Ｏ）一ＣＯＳａ，７（Ｏ）＝０）．２預(yù)備知識(shí)貝ｇ碩士論文（Ｊ）ｖｆ∈９（ｒ），稅∥Ｅｇｃ－ｏｏ，＋ｏｏ）且（聊（∞＝航允）；Ｑ）ｆ∈９（ｒ）§Ｚ∥∈弓ｃ－ｏｏ，＋∞）．推論２．１２．［３０１ＩＩＴ／１１２＝ｅｌ航棚１２和（抑，ｆＥ勿（丁）．推論２．１３．，３０ｌ（譜分解的乘法算子形式）宦時(shí)是Ｔｏ（Ｍ）的自伴延拓，則Ｕ：ｆ∈Ｌ２［Ｏ，＋ｏｏ）一鬈（一∞，＋∞），Ｕｆ＝ｆ＝Ｃ４ｆ（ｘ）Ｏ（ｘｍｘＪ０是酉算子，而？與鬈（一００，＋ｏｏ）上的乘法算子Ａ９（Ａ）＝｛ｇ∈ｇｃ－ｏｏ，＋∞）Ｉ砑∈ｇｃ－ｏｏ，＋∞）｝，Ａｇ＝砧，ｇ∈勿（Ａ）酉等價(jià)．２．３矩陣微分算子的本性自伴性設(shè)澆夕是Ｈｉｌｂｅｒｔ空間，其上的內(nèi)積記為（?，．）第．我們考慮抽象算子微分方程”玎＝一Ｌ“，“∈。多纊，其中￡是彤上的非負(fù)自伴算子，定義域?yàn)槲穑ǎ?，那么Ｌ的譜滿足ｏ－（Ｌ）￡【０，＋∞），如果假設(shè)Ｏ岳％∞），那么在其上可以定義范數(shù)ＩＩＵ屹２一ｍ（Ｌｕ，Ｍ）澎；Ｙｕ∈勿（Ｄ．８碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用記勿（Ｄ在范數(shù)”ｌＩ毛下的完備化記為ｚ）￡．定義新的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間ｌＩ（：］ｌＬ＝ｃ￡“，掰，。彩＋ｃＶ，Ｖ，，“∈９㈣，Ｖ∈ａ纊．將算子微分方程化為如下形式：筆芋＝一０，一０，】ｕ＝ｚＱｕ其中㈣（蘭小料纜．設(shè)Ｑ的定義域勿（Ｑ）＝９（Ｄｏ叨∞），直和中的第一個(gè)９旺）應(yīng)當(dāng)理解為ＤＬ的子空間，下面是關(guān)于Ｑ的本性自伴性的結(jié)論．定理２．１４．Ｑ是茲中的本性自伴算子，記吼＝西砜先證明Ｑ是稅中的可閉對(duì)稱(chēng)算子．對(duì)任意的㈠啷縱㈦咧②，（Ｑ（：：］，（：］Ｌ＝（（：］，（：］Ｌ＝一ｚｃ￡ｖ，力勞＋ｚｕ么，ｇ，彤，ｃｎ，力∥＋ｚｃ厶，ｇ，澎，１１＝一ｉ（（：】，Ｑ（，ｇ即證得Ｑ是對(duì)稱(chēng)算子．因?yàn)槲穑ǎ眩┰邛F中稠密，于是Ｑ是可閉算子．（Ｑ（：：】，（：）Ｌ＝“：】，Ｑ（：】］。規(guī)２預(yù)備知識(shí)碩士論文下面證明Ｑ己是自伴的．令例一ｚ（：二小一（Ｌ＋１）－１。囂１）！＝ｌ－】，ｚ－Ｉ－ｉｌｌＩ＝（；ＬＨ：。“］，Ｖ“∈９ｃ。，ｕ而當(dāng)比取遍了９（Ｌ）時(shí)，犯＋１沁取遍澎，［圍ｌｌｔＲａｎ（Ａ）≥（０）ｏ澎．于是（—芝“】∈尺口ｎ似，，Ｖ“∈９ｃ。，ｉ（ｏＩ＝Ｉ－ｉｕ］，Ｖ“∈勿ｃ。，（二：：］一（二二］＝（＿，］∈忍研ｃＡ，，Ｖ“∈９㈣ｚ－Ｉ－ｉｚ－Ｉ－，ｌｌｌ＝－ｉｕ－ｉｖＩ，Ｖ“，Ｖ∈勿ｃ。．ｖ而Ｒａｎ（Ａ）２（０）ｏ形，因此Ｌ０＋；“１∈脅㈣而一ｉｕ＋ｉＬｖ∈９（Ｄ，可見(jiàn)４的值域的第一變?cè)荒苁俏穑ǎ蹋┲械脑?，于是Ｒａｎ（Ａ）＝９（Ｄｏ澎．因?yàn)椋眩淌牵训拈]延拓，所以ｌＯ碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用且［ＪＲａｎ（Ｑｚ一訂）在旎中稠密，于是對(duì)（Ｑ：＋ｉｌ）ｕ＝０，０＝（（Ｑ：＋ｉｌ）ｕ，ｙ）＝（“，（ＱＬ—ｉｌ）ｖ），１，取遍勿（ＱＬ），則（纜一田’，取遍砌，ｌ（纜一∞，于是“＝０，ｋｅｒ（Ｑ［＋ｉｌ）＝１０１，同樣的，可以證明ｋｅｒ（Ｑ：＋ｉｌ）＝１０｝，由定理２．３，ＱＬ自伴．口３３．１主要結(jié)果當(dāng)Ｌ＝一Ｄ２＋鳥(niǎo)時(shí)，ＱＬ的譜表示預(yù)備知識(shí)中已經(jīng)給出了ＱＬ自伴性的討論，從本節(jié)開(kāi)始，我們討論Ｌ為特殊的Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子的情形，即澎＝Ｌ２［０，＋∞），算子Ｌ＝一薩＋ｇ為驢［Ｏ，＋∞）上的Ｓｔｕｒｍ－ＬｉｏｕｖｉＵｅ算子，勢(shì)函數(shù)留使得Ｌ是極限點(diǎn)型的，它的邊條件具有下面的形式｛ｆ∈９（Ｔｌ（加）ｌ這里ｆ（Ｏ）ｓｉｎｎｒ一廠（Ｏ）ｃｏｓ口＝０），９（Ｔｌ（加）＝｛ｆＩ，∈ＬＺ［ｏ，＋ｏｏ），廠∈ＡＧ加（【ｏ，＋∞）），丫７＋盯∈鏟【ｏ，＋ｏｏ）），并且勢(shì)函數(shù)和邊條件要使得Ｌ的譜為礦（Ｄ＝ｏ－ｃ（Ｌ）＝【ａ，＋∞），ａ≥０，這樣的勢(shì)函數(shù)和邊條件是存在的并且有具體的例子，例女【Ｉ［３１】０，０≤工＜口；目（勸＝１，ａ≤石≤易；０，ｂ≤ｘ＜ｏｏ．并附以ＤｉｒｉｃｈｌｅｔＪ藝／條件，這咖＝Ｏ；當(dāng)ｇ（力＝１，工≥０，附以Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ邊條件時(shí)，ａ＞０，更多的例子可以參見(jiàn)【３０】．我們先假ｉ受ｏ－（Ｌ）＝Ｏ＂ｃ∞）＝【ｏ，＋∞），這時(shí)ＩＩ．此和詎的圖范數(shù)是不同的，而ａ＞０時(shí)，ｌＩ．此與詎的圖范數(shù)等價(jià)【１７】．琨＝ＤＬｏ驢限＋，∽，ＤＬ的定義如前．下面的定理給出算子吼的譜的情況，在證明中利用了極限點(diǎn)型算子的譜表示定理．１１３主要結(jié)果碩士論文９（Ａ）＝掃∈霹（一ｏｏ，＋∞）Ｉ船∈Ｌ２ｒ（－Ｏｏ，＋ｏｏ）），｛委爰ＦｆＩ＝｝＝Ｃ。ｆ∽ｅ∽ｄｘＪ０勿（Ａ）＝｛ｇ∈鬈（一∞，＋∞）Ｉ砑∈鬈（一ｏｏ，＋∞）｝，碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用協(xié)｛至ｐ（ｏａ）蘭于是對(duì)任意的（：］∈勿ｃ。?？谙蓿倍x編＝似Ｌｅ（Ｒ，蚓（認(rèn)∽叫訓(xùn)）礦∈Ｌ２（Ｒ，∽，＿０（０９－４（－ｏｒ）∈Ｌ２（Ｒ川）．ｍ牡礦＊＊ｕ（ｘ）Ｏ（ｘ，ｏ。２）ｄｘ－ｉｒ”…諏婦咄＠１，記州＝…卜Ｖ”…期，則妒（力一似一們：缸ｆ”“（曲瞰，ｏ二）ｄｘ，Ｊ０而Ｍ∈９（Ｄ，所以（妒（力一≯（－ｃｒ））ｃｒ∈Ｌ２（Ｒ，辦（礦）），將Ｌ２（Ｒ，ｄｒ（ｃＯ）ｌ－：的范數(shù)記為ＩＩ．１Ｉ，那么№Ｉ｜２＝Ｃｌ礦ｊ『。刪伙五。上）ａｘ—ｆｒＶ（批。上）ｄｘｌ２㈨≤２（ｒｒ㈣馳，ｏ上）ｄｘｌ２ｄ“力＋［Ｉｒ。ｙ（曲吣，ｃｒ２）ａｘｌ２抓力）０ｒ２Ｉ＝２廠”ｃｒ２Ｉｒ”“（工）吠五礦）ｄｘｌ２ａｐ（ｏ－）＋２ｒ”Ｉ［咔。１，∽伙五礦）ｄｘｌ２和（力Ｊ０Ｊ０Ｊ０Ｊ０即≯∈Ｌ２（Ｒ，州們）．１３３主要結(jié)果碩士論文另一方面，階］ＩＩ：Ｉ卜ｆｒｏ＝ｕ（ｘ）Ｏ（ｘ，：）ｄｘ－ｉｆｒｏｖ（ｘ）Ｏ（ｘ，ｏ上）ｄｘＩｌ２＝批ｊ『”㈣眠抽一ｚｊ『。Ｖｃ批，舶１１２＋！＇ｆｌ：ｏｏ俐∥脅ｚｒ”Ｖｃ批，嘞１１２＝忙ｆｒｏｕ（ｘ）Ｏ（ｘ，恤１１２＋Ｉ曠Ｖｃ榔，批１１２～聃“惦㈦ｋ因此ｕ是勿（Ｄｏ口（Ｒ＋）到編的等距映射，下面證明它是滿射．設(shè)驢∈編，那么妒（們＝至半＋至壘半，Ｖ礦∈Ｒ．ｖ（曲“（曲（３．２）令ｒ絲２－掣鯉口（工，ａｒ２）和（礦），ｒ，’∞∞絲掣吠五，）和（礦）．２礦∥Ｖ、ｎ’’Ｖ，‘‘，。、Ｖ，＇（３．３）（３．４）ｖ、一””¨?！保谱C扣又，’“ＩＩＶ、ｌ由編的定義比∈形礦∈形ｒ”ｌ絲與筍旦１２，擬ｃｒ２）＝ｊ『。腳（力一卅回馴２啾ａｒ２）＜佃．于是Ｕ∈９（Ｄ．從而∥驢鉍因此Ｕ是勿（Ｄ１４ｏ口限＋）到編的等距同構(gòu)．碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用ｏ注意到勿（ＤＦ∽）在瑰中稠，下面只要證明編在ｐ偎，?！啊蓿┲谐?，則ｕ可延拓為纜到弘（酞，ｄ“礦））的等距同構(gòu)．在證明之前，我們先簡(jiǎn)述一下證明的想法．由（３．３）和（３．４）式，需要將驢∈褊分解成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和，即分解為（３．２）式，相應(yīng)地，瘍也分解成奇函數(shù)空間和偶函數(shù)空間的直和粥￡，ｏ鶿￡，．同樣，我們也將平方可積函數(shù)空間ｒ限，∽分解為奇函數(shù)構(gòu)成的空間砰偎，ｄ，）和偶函數(shù)空間黿皿，ｄｒ）Ｉ拘直和．若磁￡，在日限，ｄｒ）中稠且鶿（，在黿假，ｄ，．）中稠，則韶在口＠，ｄｒ）中稠．下面是編在口限，ｄｒ（礦））中稠的證明．由確的定義，妒的奇函數(shù)部分塑型｛墨型滿足下面的結(jié)論：卻｜ｂｏ頇Ｘ（３．５）令迎裂跚砌佩們蛾∽甕一。哆認(rèn)抑＝．咝亟二鍪二亟！，Ａ＞ｏ，Ｖ／ｔ因?yàn)椋盀檫B續(xù)譜，所以ｐ（｛Ｏ））＝０，所以沙在０點(diǎn)的取值不影響范數(shù)，那么（３．５）就變?yōu)樯场剩蹋裁ィ洌穑?，壢多（∞∈弘（Ｒ＋，ｄｐ），于是由定理２．１１司得Ｈ螂，＝警加咖∈編卜慟ｃ訓(xùn)，｛（妒（們一≯（一一）Ｉ刪ｌ驢∈編）ａｔ（ａ）∈釅（Ｒ＋，ｄｐ）．由定理２．４，、億（９（Ｄ）在弘【ｏ，＋∞）中稠密，于是，，（、敏９（Ｄ））在Ｅ［ｏ，＋ｏｏ）中稠密，因此３主要結(jié)果碩士論文在霹（０，＋∞）中稠密，注意到認(rèn)力一烈一∞的對(duì)稱(chēng)性，則可知粥ｕ＝｛≯（力一妒（一力¨編）在礙（一∞，＋ｏｏ）的全體奇函數(shù)空間寫(xiě)皿，ｄｒ）中稠密．另一方面，確中全體偶函數(shù)空間鶿ｕ限制在Ｒ＋上構(gòu)成的集合為｛（≯（們＋妒（一礦））１００Ｉ妒∈搦）由（３．１）式和推論２．１３可得｛（≯（力＋妒（一力）Ｉ。－＞ｏｌ≯∈鄉(xiāng)昂）３Ｆ（Ｌ２［０，＋ｏｏ））于是鶿ｕ中全體函數(shù)限制在Ｒ＋上構(gòu)成的集合在鮮（ｏ，＋∞）中稠密，粥ｕ中的偶函數(shù)在黿（Ｒ，ｄ州拘偶函數(shù)構(gòu)成的集合中稠密，因此，編在口但，ｄｒ（力）中稠．下面計(jì)算ＱＬ的表示，Ｈ船＝㈩＝＝】］（力＝一打ｌ＝ｆｖ（ｘ）Ｏ（ｘ，礦）出一ｉＩ（ｉＬｕ）（ｘ）Ｏ（ｘ，，）出ｖ（ｘ）Ｏ（ｘ，ｏ－２）ｄｘ（ｈ）（力鞏五。上）ｄｘ—ｋｒｆ＝礦（ｊ『。礦Ｈ∽吠五。上）ｄｘ—ｔｒ。Ｖ∞眠滬，＿州講可見(jiàn)吼表示為Ｌ２皿，ｄｒ（ｏ））的乘法算子．注意到函數(shù)，．在Ｒ上是連續(xù)增長(zhǎng)的，因此口限，ｄｒ（ｏ））上的乘法算子的譜都是連續(xù)譜且為Ｒ所以吼的譜都是連續(xù)譜且為Ｒ．口知道Ｑ的本性自伴性，利用吼的譜表示給出算子ＱＬ的定義域的刻畫(huà)．１６碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用推論３．３．勿（純）＝留ｏ９（倆，其中劈＝ｋ仇卜ｊ『”妒ｃ鋤等㈣棚奇函數(shù)，妒∈參）’參：＝ｐ∈鷺（一ｏｏ，＋ｏｏ）Ｉ叫∈鷺（－ｏｏ，＋ｏｏ）｝，這里積分收斂的是翻Ｉ．ＩＩＬ的意義下的，記為．Ｃｏ”妒（壢等和（拋－１１．ＩＩｒ口．＋燭佃ｒ妒（怕等和（∞，ｗ∈勿．注３．４．事實(shí)上．若將ＱＬ表示為ｐ（）ｋｄｎ上的乘法算子，則囝是這個(gè)乘法算子的定義域證明．由定理３．１，９（ＱＬ）可以表示為參，于是并且型掣∈印一）壢型掣∈ｒ［ｏ’刪Ｍ∈勿從而，令則ｖ∈９（廁．反之，對(duì)任意的ｖ∈９（怕，令妒（力＝一ｉ則西∈勿．Ｖ舭ｊ『。華眠礦礎(chǔ)晚ｆ心口瓴礦）出，下面刻畫(huà)勿（ＱＬ）的第一變?cè)啥ɡ恚常钡淖C明，９（吼）的第一變?cè)獞?yīng)該變?yōu)椋怪械钠婧瘮?shù)，因此設(shè)矽是勿中的奇函數(shù)，定義９０＝什∈礙【ｏ’刪，痂（力∈巧【０＇刪）．注意到似礦）∈勿兮認(rèn)Ａ）：＝≯（怕∈玩，Ａ＝，３主要結(jié)果碩士論文于是，討論【，．１在奇函數(shù)上的作用（見(jiàn)（３．４）式）就是對(duì)下式賦以新的收斂意義㈣＝ｄ廣ｏ”則）等㈣妒嘞、，Ａ（３．６）注意到掣未必屬于Ｅ【ｏ，＋ｏｏ），由定理２．９，上面的積分交換式（３．６）的定義就成問(wèn)題了，對(duì)上面的變換式賦以新的意義，可以將酉變換Ｕ表達(dá)得更清楚．先考慮滿足下面條件的函數(shù)沙：沙∈玩，ｓｕｐｐ沙ｃ［口，糾，０＜ａ＜ｂ＜＋ｃｏ．那么沙共伺ｆ、ＩＩＩＩ陰任廁：去∈鬈【０＇＋ｏｏ）；砂∈鬈【ｏ，＋∞）；飯沙∈鬈【ｏ，＋ｏｏ）．于是時(shí)＝ｒ”則）等㈣咧Ｌ）且㈥Ｍ‰㈧勞－（等，等一崛從而ａ．般。＋ｌＩｒ以抑等和ｃ∞旺＝＂鼯。＋ｒＩ妖刪２擬棚＝。，Ｖ沙∈玩，¨＋驄＋。崢ｃ力等刊卜＋恐＋。小馴２刪－ｏ，Ｖ沙慨于是，由Ｃａｕｃｈｙ收斂原理，¨ｏ‰ｒ㈣等㈣在仇中收斂，記為ｒ”則等㈣＝ｌｌ－ｌｌ￡－一ｌｉｒａ洶。ｒ㈣等㈣Ｍ吼口１８碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用定理３．５．設(shè)互是滿足畎均＝Ｏ－ｃ（∞＝陋，＋ｏｏ），ａ＞０的極限點(diǎn)型的自稿＃Ｓｔｕｒｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子，那么存在ＲＪ＝的非降函數(shù)ｒ使得ＱＬ與砰（一∞，＋∞）的乘法算子Ａ勿（Ａ）＝｛ｇ∈Ｌ２，（－ｏｏ，＋∞）Ｉ船∈霹（一００，＋∞）｝，Ａｇ＝拋，ｇ∈９（Ａ）酉等價(jià)，從而ＩＱＬ的譜集為（一００，一口】Ｕ［ａ，＋∞）并且都是連續(xù)譜證明．因?yàn)榈V（Ｄ＝【口，＋ｏｏ），４＞０，所以（ｈ，“）彤＝（佤，佤）彩≥ａｌｌｕｌｌ≥．于是仇＝９（面，說(shuō)＝９（詞。澎，這時(shí)候（３．１）式就可以在旄上定義了：ｍ胂＝礦＊＊ｕ（ｘ）Ｏ（ｘ，ｃｒ２）ｄｘ－ｉ卜批，恤…Ｒ＠７，另外，在Ａ≤口上譜函郯（抑取零，于是相應(yīng)的函數(shù)ｒ定義如下：ｒ（力＝，下ｏ（ｏ－２），礦＞詬一牮，礦＜一垢，ｒ＇ｌ證明的其余部分和定理３．１是一樣的．３．２對(duì)出射入射空間的應(yīng)用由于【２６】中主要涉及譜下界是零的情況，因此本節(jié)只利用定理３．１得到的譜表示研究吼生成的酉算子群在出射和入射空間上的作用，下面的幾個(gè)命題的結(jié)論可以在參考文獻(xiàn)【２６】中找到，那里需要知道算子半群的技巧、方法，這里由于有定理３．１，為了得到下面的結(jié)論只需要做積分變換和一些簡(jiǎn)單的運(yùn)算．３．２．１勢(shì)為零的情況考慮下面的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ邊值問(wèn)題｛荊－ｙ＇＝．。，ｏ－２ｙ１９３主要結(jié)果碩士論文凇郵～－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ鼾訥嗥撇Ｑ一【三升勰場(chǎng)觚｛委曼伙ｘ，口工）＝—ｓｉｎ（ｏ—＇ｘ），工∈Ｒ●，礦∈Ｒ，可以算得譜函數(shù)為［３０】和（礦）＝２萬(wàn)ｃｒ２ｄｏ－．記饑生成的酉算子群為?。闹粒ǎ模x恥㈦ｌｕ?。ǎ埽ɡ恚澄澹。ィ恪＃鄱?，】］ｃ力＝（一仍Ｔｔｕ∥］ｃ曲，ｒ＞。，“∈９ｃ一磷，（ｕ肌瑤ｃ力（二］ｃ曲］ｃ一＝（ｕ肌ｔ：ａ（ｔ）Ｕ－１Ｕ（ｕ。，】ｃ曲］ｃ力＝汐ｐｒ?！埃銊竦润某鲆唬簦颉薄埃闱住?，呻∞ｆｏ．ｔ－００＝沙Ｊ√Ｏ“（功ｓｉｎ（ｔｒｘ）ｄｘ一據(jù)折ｆ√Ｏ—ｇｏ＝Ｉ“（工）ｓｉｎ（ｏ－（ｘ＋ｔ））ｄｘ—ｉＪ鼴ｕ（ｘ）ｃｏｓ（（ｒｘ）ｄｘ“（．妁ｃｏｓ（ｏ＇（ｘ＋ｔ））ｄｘ＝廣”鯽（曲墅塵幽出一ｆ。廣”（一以力）墅掣出Ｊｏ．３ｔ盯４０．ａ曠＿－廣∞、）ｑ（一以工一力）坐螋出ｏ扎㈣Ｔｔｕ，肛２０碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用于是嘩川ｃ功能Ｚｔｕ∥卜口注３０．從推論３．３可以看到，對(duì)ＤＬ中元素的刻畫(huà)不是直接的．這在１２６．Ｐ２１９，Ｔｈ４．２１也是如此，因此在參考文獻(xiàn)１２６１中得到的結(jié)論．雖然比定理３．６全面。但是顯得很抽象，而在后面豹結(jié)論中定理３．６中的情況已經(jīng)足夠７．雨我們可以通過(guò)對(duì)算子ＱＬ的譜表示的研究，通過(guò)積分變換，在常微分算子理論下得到定理３．６的結(jié)論卻不是很困難推論３．８．ｎｆ＞０Ｗ＿０２０（ｔ）Ｄ＋＝Ｉｏ］，Ｗｒ－％（ｆ）Ｄ＋ｃＤ＋，ｔ＞０證明．這是定理３．６的直接推論，只需注意到肌瑤（力是光上的酉算子，于是于是證得肌％（力Ｄ＋ｃＤ＋，ｔ＞０，第一個(gè)式子的證明只要注意到瓦把函數(shù)的支撐平移至ｔＪ［ｔ，＋ｏｏ），詳細(xì)的證明可以參看［２６】．入射空間為口吲ｒ一＝習(xí)一，院＝一，伍－ｙ＇伽＋ｑｙ＝。而３．２．２具有緊支撐勢(shì)的情況下面考慮ｓｕｐｐｑｃ【ｏ，１】的情況，以Ｌ記由下面的邊值問(wèn)題２１３主要結(jié)果碩士論文導(dǎo)的Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ算子．求解初值問(wèn)題Ｉ－ｙ７＋ｑＹ＝而，滬＞０｛），（ｏ，ｏ－２）＝ＣＯＳＯ＇Ｉｙ（ｏ，礦）＝ｓｉｎｏ：可得Ｘ＞ｌ時(shí)的解ＹｇＯ（ｘ，礦）＝Ｃｌ已蟣＋ｃ２已一柵，其中ｃｌ＝Ｔ＋■ｉＦ，Ｔ一■ｉＦ，吠１，一）．礦（１，ｃｒ２）伙１，礦）ｃ２２礦（１，礦）并且可以計(jì)算出【３０】和（０ｒ２）＝曇而麗‰妣礦∈Ｒ．㈦～，㈧Ｖ㈨隊(duì)記Ｑ￡導(dǎo)出的酉算子群為ｗＬＯ），可以證明［２６】是相應(yīng)的出射空間，令理＝Ｗ－戊Ｌ（１），則有下面的結(jié)論一Ａ卜㈨匕脅（一囂卜地一碥，證明．記那／Ｚ、ｓｕｐｐ“ｃ【１，十ｏｏ）．按照定理３．１的證明，只要在譜表示下計(jì)算上面算子的作用，并將得到的函數(shù)對(duì)其偶函數(shù)部分和奇函數(shù)部分做逆表示既可以得到我們要的結(jié)論．因此，只要做下面的計(jì)算，過(guò)程和定理３．６相似．卜Ｕｌｍ南＝ｅ研＝Ｐ泖礦曠ｆ”“－∽毗，礦）出一ｆｊ－”（Ｉ嵋Ｍ吠五，）＿ｒ。㈣眠ｏ。２）ｄｘ＋礦ｒ”姒曲（ｃｌｅｉｏ＇ｘ＿ｃ２ｅ－ｉＯ＇Ｘ）ｄｘ）２２碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用－２沙（礦ｊ。聊∽ｑ㈤Ｐ鋼叫＝２礦ｆ“１（力ｃｌ（一ｅ一坼＋Ｏｄｘ＝礦廠”ｕｌ（ｘ）Ｏ（１，ｉｏ．（ｘ＋ｔ）ｄｘＵｌ＝礦ｆ√１，，啼∞ｏ－２）ｅｉＯ＇（Ｘ＋Ｏｄｘ＋廣。Ｕｌ（妨攀ｇｉ嘶ｆ）出＋ｆ（妨掣ｇ齜卅出“ｌ（砂礦（１，，）ｓｉｎ（ｃｒ（ｘ－Ｉ－ｔ））ｄｘＪｌ，’＋∞Ｊ１，呻∞，葉∞＝礦ｆ＋ｆＪ１Ｕｌ（曲吠１，礦）ｃｏｓ（ｃｒ（ｘ＋ｔ））ｄｘ＋ｆＪｌ廣＋∞ｆＩＴＵｌ（勸厭１，ｏ上）ｓｉｎ（ｃｒ（ｘ＋ｔ））ｄｘ—ｉｆＵｌ（工）礦（１，，）ｃｏｓ（ｏ－（ｘ＋Ｏ）ｄｘ一，ｌ廠。一“；∽（畎１，０ｒ２）ｃｏｓ（似茗＋Ｄ）＋亟生壘ｓｉＩｌ（礦＠＋Ｄ））出一ｆｒ。叫…１，咖ｏｓ（嘶卅華ｓｉＩｌ（嘶伽出＝（ｕ（一。Ｔ乃ｔＵ功ｌ；］］ｃ們，Ｖ礦∈Ｒ，卜娜㈨ｍ（一圳ｃ力＝吲叫二卜扎婦倒嘞注３．１０．這是文獻(xiàn)１２６，１）２３８，Ｔｈ５．ＩＩＣＰ的結(jié)論．那里使用算子半群的理論。在泛函分析的理論下證叨雖簡(jiǎn)潔但抽象，也看不出勢(shì)函數(shù)支撐的直接影響，而在上面的證明當(dāng)中只需要將問(wèn)題換到譜的表示空間上作計(jì)算就可以７．并且可以明顯看到一咣生成的半群ｗ一蚪、）在Ｄ＋上作用之后可將函數(shù)都平移到勢(shì)函數(shù)的支撐外?。@樣當(dāng)矸，Ｌ（Ｄ傲用到跳上去的時(shí)候，譜表示的積分就可以從勢(shì)函數(shù)的支撐外開(kāi)始．即在定理３．９的證明中積分都是Ｃ“．ｄｘ，１就是勢(shì)函數(shù)支撐的右端點(diǎn)．記珥＝阢瑤（１）ｚ）＋，注意到忙卜㈦ｂ‰辨勘３主要結(jié)果碩士論文其中Ｕｌ的定義見(jiàn)定理３．９的證明，那么可以得到與推論３．８類(lèi)似的結(jié)論推論３．１１．ｎ舢ｗＺ（ｆ）Ｄ：＝ｆｏ），ＷＬＣｔ）Ｄ１＋ＣＤ：，ｔ＞ｏ．證明和出射空間的情況就不再這里重復(fù)了，詳細(xì)的結(jié)論和過(guò)程可以參考［２６】．碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用致謝謹(jǐn)在此對(duì)我的導(dǎo)師黃振友副教授致以崇高的敬意和衷心的感謝，從論文選題到論文撰寫(xiě)都得到黃振友老師的悉心指導(dǎo)，特別重要的是在南京理工大學(xué)求學(xué)的這幾年，在業(yè)務(wù)方面受到黃老師無(wú)私的悉心指導(dǎo)，且在為人處事方面也多受他的影響，在此一并表示感謝！楊傳富老師和金國(guó)海師兄的指導(dǎo)和幫助，對(duì)于我深入了解我所從事的專(zhuān)業(yè)發(fā)揮了很大的作用，此外，微分算子討論班的全體老師和同學(xué)的討論與報(bào)告使我能更廣泛地了解這個(gè)專(zhuān)業(yè)，在此對(duì)他們表示衷心的感謝！完成論文的過(guò)程當(dāng)中，我還得到了許多其他人的幫助，感謝旌德才在使用Ｌａｔｅｘ軟件上無(wú)私的幫助．感謝郭東巖和他教研室的全體同學(xué)，我的論文主要是在那里錄入的，在那里受到了友好的待遇．感謝陳培鑫老師和王浩新室友，他們的算子代數(shù)討論班使我對(duì)算子理論有了更深入的了解．參考文獻(xiàn)碩士論文參考文獻(xiàn)【１】ＶＭ．Ａｄａｍｙａｎ，Ｄ．Ｚ．Ａｒｏｖ，Ｏｎｏｎｅｃｌａｓｓｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄｃｈａｒａｃｔｅｒ－ｉｓｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎｓ，Ｄｏｋｌ．Ａｋａｄ．Ｎａｕｋ．ＳＳＳＲ，１６０，１（１９６５），９．１２．【２】ＶＭ．Ａｄａｍｙａｎ，Ｄ．Ｚ．Ａｒｏｖ，ＵｎｉｔａｒｙＭａｔ．Ｉｓｓｌｅｄ．，１，１（１９６６），２－６４．【３］ＶＭ．Ａｄａｍｙａｎ，Ｄ．Ｚ．Ａｒｏｖ，Ｏｎｏｆｅｖｅｎｃｏｕｐｌｉｎｇｓｏｆｓｅｍｉｕｎｉｔａｒｙｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙｆｏｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｓｐａｃｅｓｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，Ｆｕｎｋｔｓ．Ａｎａｌ．Ｐｒｉｌｏｚｈｅｎ．，８，Ｎｏ．４，５—２２（１９７４）．【４】Ｊ．Ｊ．Ａｌｖａｒｅｚ，Ｍ．Ｇａｄｅｌｌａ，ＥＪ．Ｈ．Ｈｅｒａｓ，Ｌ．Ｍ．Ｎｉｅｔｏ，Ａｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｍｏｄｅｌｏｆｒｅｓｏｎａｎｃｅｓｗｉｔｈ４０２２－４０２７ａｄｅｌｔａｂａｒｒｉｅｒａｎｄｍａｓｓｊｕｍｐ，Ｐｈｙｓ．Ｌｅｔｔ．Ａ．，３７３，４４（２００９），【５】Ｉ．Ｅ．Ａｎｔｏｎｉｏｕ，Ｍ．Ｇａｄｅｌｌａ，Ｉｒｒｅｖｅｒｓｉｂｉｌｉｔｙ，ＲｅｓｏｎａｎｃｅｓａｎｄＳｐａｃｅｓ，Ｌｅｅｒ．ＮｏｔｅｓＲｉｇｇｅｄＨｉｌｂｅｒｔＰｈｙｓ．，６２２（２００３），２４５—３０２．Ｌａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ，Ｊ．Ｏｐｅｒａｔｏｒ【６】Ｈ．Ｂａｕｍｇａｒｔｅｌ，Ｏｎ２４５—３０２．Ｔｈｅｏｒｙ，５８，１（２００７），【７】Ｈ．Ｂａｕｍｇ￡ｉｒｔｅｌ，Ｇａｍｏｗｖｅｃｔｏｒｓｆｏｒｒｅｓｏｎａｎｃｅｓ：Ａｌａｘ—ｐｈｉｌｌｉｐｓｐｏｉｎｔｏｆｖｉｅｗ，Ｉｎｔｅｒｎａｔ．Ｊ．Ｔｈｅｏｒ．Ｐｈｙｓ．，４６，８（２００５），１９５９?１９８５．【８】ＹＭ．Ｂｅｒｅｚａｎｓｋｙ，Ｚ．Ｇ．Ｓｈｅｆｔｅｌ，Ｇ．Ｅｌａｇ，１９９６．Ｕｓ，ＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＡｎａｌｙｓｉｓ，ＢｉｒｋｈａｕｓｅｒＶｅｒ－【９】Ｊ．Ｍ．Ｂｅｒｅｚａｎｓｋｉｉ，Ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓｉｎｅｒａｔｏｒｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＥｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆＳｅｌｆａｄｊｏｉｎｔＯｐ—１７，Ｔｒａｎｓ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｏｇｒ．，１９６８．【１０】Ｈ．Ｂｒｅｚｉｓ，泛函分析一理論和應(yīng)用，清華大學(xué)出版社，２００９．【１１】Ｓ．Ｊ．Ｌ．ｖａｎＥｉｊｎｄｈｏｖｅｎ，Ｊ．ｄｅＧｒａａｆ，ＴｒａｊｅｃｔｏｒｙＳｐａｃｅｓ，ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＵｎｂｏｕｎｄｅｄＯｐｅｒａｔｏｒｓ，Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９８５．碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用ａｎｄｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆＳｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅｔｈｅｏｒｙｉｎｔｈｅ【１２】Ｗ：Ｅｖｅｒｉｔｔ，ＣｈａｒｌｅｓＳｔｕｒｍｙｅａｒ１９００ｔｏ１９５０．Ｉｎ“Ｓｔｕｒｍ－ＬｉｏｕｖｉｌｌｅＴｈｅｏｒｙ，ＰａｓｔａｎｄＰｒｅｓｅｎｔ”ｅｄｉｔｅｄｂｙＷ：Ａｍｒｅｉｎ，Ａ．Ｈｉｎｚ，Ｄ．Ｐｅａｒｓｏｎ．Ｂｉｒｋｈｉｉｕｓｅｒ，２００４．【１３】Ｍ．Ｇａｄｅｌｌａ，ＥＧｏｍｅｚ，ＥｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｅｘｐａｎｓｉｏｎｓＡｃｔａ．Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．，１０９，３（２０１０），７２１—７４２【１４】Ｉ．Ｍ．Ｇｅｌｆａｎｄ，Ｇ．Ｅ．Ｓｈｉｌｏｖ，ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＮＩ，ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９６４．ａｎｄＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙ，【１５】Ｉ．Ｍ．Ｇｅｌｆａｎｄ，Ｎ．ＹＰｒｅｓｓ，１９６４．Ｖｉｌｅｎｋｉｎ，ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＩＶ，Ａｃａｄｅｍｉｃ【１６】Ｃ．Ｇ６ｒａｒｄ，Ｎ－ｂｏｄｙｑｕａｎｔｕｍｓｃａｔｔｅｒｉｎｇａｎｄｑｕａｎｔｕｍｒｅｓｏｎａｎｃｅｓ：ａｎｏｖｅｒｖｉｅｗ，Ｉｎ“ＳｐｅｃｔｒａｌＴｈｅｏｒｙａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ：ＡＦｅｓｔｓｃｈｒｉｆｔｉｎＨｏｎｏｒｏｆＢａｒｒｙＳｉｍｏｎ’Ｓ６０ｔｈＢｉｒｔｈｄａｙ．＂ＰａｒｔＩ，ＥｄｉｔｅｄｂｙＥＧｅｓｚｔｅｓｙ，ＰＤｅｉｆｔ，Ｃ．Ｇａｌｖｅｚ，ＰＰｅｒｒｙａｎｄＷ：Ｓｃｈｌａｇ．ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２００６．【１７】Ｊ．Ａ．Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ，ＳｅｍｉｇｒｏｕｐｓｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９８５．ｏｆｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，ＯｘｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒ－【１８】黃振友，楊建新，華踏紅，劉景麟，泛函分析，科學(xué)出版社，２００３．【１９】Ｒ．ＶＫａｄｉｓｏｎ，Ｊ．Ｒ．Ｒｉｎｇｒｏｓｅ，Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｏｐｅｒａｔｏｒａｌｇｅｂｒａｓ，ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９８３．【２０】Ａ．Ｋｌｅｉｎ，Ａ．Ｋｏｉｎｅｓ，Ｍ．Ｓｅｉｆｅｒｔ，Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆｏｒｗａｖｅｓｉｎｉｎｈｏ－ｍｏｇｅｎｅｏｕｓｍｅｄｉａ，Ｊ．Ｆｕｎｃｔ．Ａｎａｌ．，１９０，１（２００２），２５５—２９１【２１】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｔｈｅａｂｓｔｒａｃｔｓｃｈｅｍｅｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｆｏｒｏｎｅｃｌａｓｓｏｆｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｆｕｎｋｔｓ．Ａｎａｌ．Ｐｒｉｌｏｚｈ．，３０，１（１９９６），５４—５７．【２２】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓｏｆ１６２９．Ｌａｘ－ＰｈｉｌｌｉｐｓｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｓｃｈｅｍｅｆｏｒＰ－ａｎａｂｓｔｒａｃｔｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎ，Ｕ皿Ｍａｔ．Ｚｈ．，５０，１２（１９９８），１６１５—【２３】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｉｎｃｏｍｉｎｇａｎｄｏｕｔｇｏｉｎｇｓｕｂｓｐａｃｅｓｆｏｒａｗａｖｅｉｎ礎(chǔ)，ＩＪｌｍＭａｔ．Ｚｈ．，５１，５（１９９９），７８７－７９２．２７參考文獻(xiàn)碩士論文ｏｆｆｒｅｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎｉｎＬａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ【２４】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ６８，６（２０００），８５４—８６１．【２５】Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，Ｏｎｓｃｈｅｍｅｓｃｈｅｍｅｆｏｒｏｐｅｒａｔｏｒ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒ，Ｍａｔ．Ｚａｍｅｔｌｄ．，ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅＬａｘ－Ｐｈｉｌｌｉｐｓｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｏｔｈｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎｏｆａｌｌａｂｓｔｒａｃｔｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎ，ＵｈＭａｔ．Ｚｈ．，５５，５（２００３），７４９—７６０．【２６】Ａ．ＶＫｕｚｈｅｌ，Ｓ．Ａ．Ｋｕｚｈｅｌ，ＲｅｇｕｌａｒＥｘｔｅｎｓｉｏｎｓｏｆＨｅｒｍｉｔｉａｎＯｐｅｒａｔｏｒｓ，ＶＳＰ，Ｕｔｒｅｃｈｔ（１９９８）．【２７】ＥＤ．Ｌａｘ，ＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＡｎａｌｙｓｉｓ（影印版），高等教育出版社，２００７．【２８］ＰＤ．Ｌａｘ，Ｒ。Ｓ。ＰｈｉＵｉｐ，Ｓｃａ仕ｅｄｎｇＴｈｅｏｒｙ（Ｒｅｖｉｓｅｄｅｄｉｔｉｏｎ），ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９８９．【２９】ＰＤ．Ｌａｘ，Ｒ．Ｓ．ＰｈｉＵｉｐ，ＳｃａＲｅｄｎｇｔｈｅｏｒｙｆｏｒａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９７６．【３０】劉景麟，常微分算子譜論，科學(xué)出版社，２００８．【３ｌ】Ｒ．ｄｅｌａＭａｄｒｉｄ，ＱｕａｎｔｕｍｍｅｃｈａｎｉｃｓｏｆｒｉｇｇｅｄＨｉｌｂｅｒｔｓｐａｃｅ，ＰｈＤｐａｐｅｒａｐｐｒｏａｃｈｉｎｔｅｒｍｓｏｆｓｔａｔｉｏｎ－【３２】Ａ．Ｋ．Ｍｏｔｏｖｉｌｏｖ，ＲｅｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＬａｘ—Ｐｈｉｌｌｉｐｓａｒｙｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ１６７．１８０．ｔｈｅｏｒｙ，ＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ，９８，Ｎｏ．２（１９９４），【３３】Ａ．ＢｄｅＭｏｎｖｅｌ，ＰＳｔｏＵｍａｎｎ，ＥｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｅｘｐａｎｓｉｏｎｓｆｏｒｇｅｎｅｒａｔｏｒｓｏｆＤｉｒｉｃｈｌｅｔｆｏｒｍｓ，Ｊ．Ｒｅｉｎｅ．Ａｎｇｅｗ．Ｍａｔｈ．，２００３，５６１（２００３），１３１—１４４．Ｙｏｒｋ，【３４】Ｒ．Ｇ．Ｎｅｗｔｏｎ，Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｗａｖｅｓａｎｄｐａｒｔｉｃｌｅｓ，ＭｃＧｒａｗ—Ｈｉｌｌ，Ｎｅｗ１９６６．【３５】Ｔ．Ｐｏｅｒｓｃｈｋｅ，Ｇ．Ｓｔｏｌｚ，Ｏｎｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｅｘｐａｎｓｉｏｎｓａｎｄｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｈｅｏｒｙ，Ｍａｔｈ．Ｚ．，２１２，１（１９９３），３３７－３５７．【３６】Ｔ．Ｐｏｃｒｓｃｈｋｅ，Ｇ．Ｓｔｏｌｚ，Ｊ．Ｗｅｉｄｍａｎｎ，ＥｘｐａｎｓｉｏｎｓｉｎＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＥｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆＳｅｌｆａｄｊｏｉｎｔＯｐｅｒａｔｏｒｓ，Ｍａｔｈ．Ｚ．，２０２，３（１９８９），３９７－４０８．２８碩士論文一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用ｏｆｍｏｄｅｒｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｖｏｌｕｍｅｓ【３７】Ｍ．Ｒｅｅｄ，Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，Ｍｅｔｈｏｄ圖書(shū)出版公司，２００３．Ｉ，世界【３８】Ｍ．Ｒｅｅｄ，Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，Ｍｅｔｈｏｄ圖書(shū)出版公司，２００３．ｏｆｍｏｄｅｍｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｖｏｌｕｍｅｓ１１，世界【３９】Ｍ．Ｒｅｅｄ，Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，Ｍｅｔｈｏｄ圖書(shū)出版公司，２００３．ｏｆｍｏｄｅｍｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＩＩＩ，世界［４０】Ｍ．Ｒｅｅｄ，Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，Ｍｅｔｈｏｄｏｆｍｏｄｅｍｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ，ｖｏｌｕｍｅｓＩＶ，世界圖書(shū)出版公司，２００３．【４ｌ】ＥＲｉｅｓｚ，Ｂ．Ｓｚ．Ｎａｇｙ，泛函分析講義，第二卷，科學(xué)出版社，１９８０．【４２】Ｍ．Ａ．Ｓｈｕｂｏｖ，Ｓｐｅｃｔｒａｌｏｐｅｒａｔｏｒｓｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｄａｍｐｅｄｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｉｎｔｅｇｒ．ｅｑｕ．ｏｐｅｒ．ｔｈｅｏｒｙ，２８，３（１９９７），３５８—３７２．［４３】Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，ＲｅｓｏｎａｎｃｅｓａｎｄｃｏｍｐｌｅｘＣｈｅｍ．，１４，４（１９７８），５２９－５４２．［４４】Ｂ．Ｓｉｍｏｎ，ＲｅｓｏｎａｎｃｅｓｉｎＯｎｅＤｉｍｅｎｓｉｏｎｓｃａｌｉｎｇ：Ａｒｉｇｏｒｏｕｓｏｖｅｒｖｉｅｗ，Ｉｎｔｌ．Ｊ．Ｑｕａｎｔ．ａｎｄＦｒｅｄｈｏｌｍＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ，Ｊ．Ｆｕｎｃｔ．Ａｎａｌ．，１７８，２（２０００），３９６－４２０．［４５】Ｊ．Ｓｊ６ｓｔｒａｎｄ，Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，Ｃｏｍｐｌｅｘｓｃａｌｉｎｇａｎｄｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｏｌｅｓ，Ｊ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，４，４（１９９４），７２９—７６９．【４６】Ｊ．Ｓｊ６ｓｔｒａｎｄ，Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｌｏｅｓｎｅａｒｒｅａｌａｘｉｓ，Ｃｏｍｍ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，１７，５（１９９２），１０２１－１０３５．［４７】Ｊ．Ｓｊ６ｓｔｒａｎｄ，Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，ＬｏｗｅｒｂｏｕｎｄｓＣｏｍｍ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｏｎｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｏｌｅｓ，Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１８，５（１９９３），８４７－８５８．ｏｎ［４８】Ｊ．Ｓｊ６ｓｔｒａｎｄ，Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，Ｌｏｗｅｒｂｏｕｎｄｓｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｏｌｅｓ，ＩＩ，Ｊ．Ｆｕｎｃｔ．Ａｎａｌ．，１２３，２（１９９４），３３６—３６７．［４９】ＹＳｔｒａｕｓｓ，ＲｅｓｏｎａｎｃｅｓｉｎｔｈｅＲｉｇｇｅｄＨｉｌｂｅｒｔＳｐａｃｅｓａｎｄＬａｘ—ＰｈｉｌｌｉｐｓＳｃａｔｔｅｒｉｎｇＴｈｅｏｒｙ，Ｉｎｔｅｍａｔ．Ｊ．Ｔｈｅｏｒ．Ｐｈｙｓ．，４２，１０（２００３），２２８５－２３１４．【５０１Ｙ．Ｓｔｒａｕｓｓ，Ｓｚ．－Ｎａｇｙ－ＦｏｉａｓＴｈｅｏｒｙａｎｄＬａｘ－ＰｈｉｌｌｉｐｓＴｙｐｅＳｅｍｉｇｒｏｕｐｓｉｎｔｈｅＤｅ—ｓｃｆｉｐｆｉｏｎｏｆＱｕａｎｔｕｍＭｅｃｈａｎｉｃａｌＲｅｓｏｎａｎｃｅｓ，Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓ．，４６，０３２１０４（２００５）．【５１】ＹＳｔｒａｕｓｓ，Ｌ．ＥＨｏｒｗｉｔｚ，Ｅ．Ｅｉｓｅｎｂｅｒｇ，ＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｑｕａｎｔｕｍｍｅｃｈａｎｉｃａｌｉｎＬａｘ—ＰｈｉｌｌｉｐｓｉｎＨｉｌｂｅｒｔｒｅｓｏｎａｎｃｅｓｓｐａｃｅ，Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓ．，４１，８０５０（２０００）．【５２】張恭慶，本征展開(kāi)的一般理論，數(shù)學(xué)進(jìn)展，７，２（１９６３），１７２．２０５．【５３】Ｍ．Ｚｗｏｒｓｋｉ，Ｒｅｓｏｎａｎｃｅｓ４６，３（１９９９），３１９—３２８．ｉｎｐｈｙｓｉｃｓａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｙ，Ｎｏｔｉｃｅｓ．Ａｍｅｒ．Ｍａｈｔ．Ｓｏｃ．，一類(lèi)矩陣微分算子的譜分解及其對(duì)散射理論的應(yīng)用學(xué)位授予單位：張少欽南京理工大學(xué)授權(quán)使用：無(wú)錫市圖書(shū)館(wxstsg)，授權(quán)號(hào)：5c782f8b-ba58-4b7f-a069-9e6100a1c97d下載時(shí)間：2021年1月4日第33卷第11期1999年11月上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)JOURNALOFSHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITYVol.33No.11Nov.1999文章編號(hào):100622467(1999)1121458204線性矩陣不等式在控制理論中的應(yīng)用及發(fā)展胡中驥,施頌椒,翁正新(上海交通大學(xué)自動(dòng)化系,上海200030)∞摘要:,非線性控制、H控制等,(利用最近發(fā)展起來(lái)的內(nèi)點(diǎn)算法,ILMI問(wèn)題,并用圖示的方法說(shuō)明了LMI,即其與已有的一些重要的控制原理,.然后,列舉了一些具有代表性的用LMI求解控制問(wèn),特殊非線性系統(tǒng)的H∞綜合,線性參數(shù)時(shí)變系統(tǒng)的增益調(diào)度.,對(duì)LMI技術(shù)作了展望,如用于時(shí)滯系統(tǒng)、隨機(jī)系統(tǒng)的分析和綜合問(wèn)題的研究等.關(guān)鍵詞:線性矩陣不等式;凸優(yōu)化;魯棒控制;動(dòng)態(tài)耗散系統(tǒng)理論中圖分類(lèi)號(hào):TP202.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:AApplicationandDevelopmentofLinearMatrixInequalityinControlTheoryHUZhong2ji,SHISong2jiao,WENGZheng2xinDept.ofAutomation,ShanghaiJiaotongUniv.,Shanghai200030,ChinaAbstract:Theaimofthispaperistoshowthataverywidevarietyofanalysisandsynthesisproblemsin∞controltheoriessuchasrobustcontrol,nonlinearcontrol,HcontrolandsoforthcanbereducedtothreestandardLinearMatrixInequality(LMI)problemswhichcanbesolvednumericallyandefficientlyusing.ThethreebasicLMIproblemswerepresented.Andthetherecentlydevelopedinterior2pointmethodsreasonwhyitcanbeusedinsuchawidevarietyofcontrolproblemswasilluminatedwithafigure,whichshowstherelationofLMIwithsomebasiccontrolprinciplessuchassmallgaintheoremandpositiverealtheorem.AlistofnewresultsofsomerepresentativecontrolproblemswhichappealtoLMIforsolution∞wasgiven,includingthemultiobjectivesynthesisofLTI(LinearTimeInvariant)systems,theHrobustcontroldesignforsomespecialnonlinearsystemsandthegainschedulingofLPV(LinearParameter.SomepromisingcontrolproblemswhichcanbesolvedwithLMItechniquewereVarying)systems.presentedsuchastherobustcontrollerdesignforsometimedelaysystemsandstochasticsystemsKeywords:linearmatrixinequality(LMI);convexoptimization;robustcontrol;dissipativedynamicsystemtheory1LMI應(yīng)用的基本問(wèn)題與控制理論相關(guān)的LMI問(wèn)題的研究已有相當(dāng)收稿日期:1998211226第11期胡中驥,等:線性矩陣不等式在控制理論中的應(yīng)用及發(fā)展1459制問(wèn)題變得實(shí)用有效.基本的LMI問(wèn)題分三類(lèi)[2]:①?lài)?yán)格LMI可解性問(wèn)題(LMIP);②特征值問(wèn)題(EVP);③廣義特征值問(wèn)題(GEVP).控制理論中的一些性能指標(biāo)、穩(wěn)定性判據(jù)等量化條件之所以可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題,是由于一方面LMI能表示范圍廣泛的不同類(lèi)凸約束,另一方面Lyapunov方法可以很方便地引出凸或擬凸問(wèn)題.除此之外,圖1對(duì)常用的魯棒控制方∞法,如小增益定理、H的綜合方法等與LMI技術(shù)的較為深層的關(guān)系進(jìn)行了說(shuō)明.其中,正實(shí)有界實(shí)定陣擴(kuò)展技術(shù),即求構(gòu)造一個(gè)部分項(xiàng)已知的矩陣,并使它滿足一定的性質(zhì),主要有矩陣完成引理.(2)LFT(LinearFractionTransformation)和多胞(polytopy)表示方法.系統(tǒng)不確定塊的LFT表示[8,9],是把系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的反饋互聯(lián)看成是雙端口網(wǎng)絡(luò)的互聯(lián),從而在使用LMI技術(shù)對(duì)系統(tǒng)變換進(jìn)行描述時(shí),更為直觀,器結(jié)構(gòu).,由于多胞是凸,在求解控制器時(shí),如,,.因而能大大減少計(jì).理[3]作為橋梁,起來(lái),而且,它與LMI]清晰的闡述,I3LMI在控制理論中的應(yīng)用舉例(1)用于LTI系統(tǒng)的魯棒多目標(biāo)分析和綜圖1LMI與一些控制原理的關(guān)系Fig.1RelationbetweenLMIandsomecontrolprinciplesLMI標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題的數(shù)值解法有多種,Beck在文獻(xiàn)[6]中綜述了這些方法.它們的共同思路都是把.主要的LMI求解LMI問(wèn)題看作凸優(yōu)化問(wèn)題處理算法有替代凸投影算法、橢球算法及內(nèi)點(diǎn)法.內(nèi)點(diǎn)法又分中心點(diǎn)法、投影法、原始2對(duì)偶法.Nestorov等[1]對(duì)不同內(nèi)點(diǎn)算法的計(jì)算復(fù)雜性界限給出了理論分析.從實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[1]上看,目前最好的內(nèi)點(diǎn)法是[7].投影算法跟其他方法Nemiroskii等的投影算法合[2].基于Lyapunov方法和LMI技術(shù)可以統(tǒng)一處理LTI系統(tǒng)穩(wěn)定、魯棒性和性能指標(biāo)問(wèn)題,且得到的一些判據(jù)可為充要條件.統(tǒng)一處理這些魯棒性能問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)是,一旦需要進(jìn)行多目標(biāo)綜合,就可先把各性能指標(biāo)與其相應(yīng)的LMI可解條件一一對(duì)應(yīng),然后利用LMI的線性特性,把與各目標(biāo)相對(duì)應(yīng)的.基于這一LMI像搭積木一樣搭成統(tǒng)一的約束框架思路,目前已有一些重要的結(jié)果,如LTI系統(tǒng)用∞LMI表示的H、H2性能指標(biāo)及極點(diǎn)配置的充要條件等[10].(2)用于處理增益調(diào)度問(wèn)題,主要是LPV系統(tǒng)的魯棒性能問(wèn)題[8].經(jīng)典的增益調(diào)度方法采用逐點(diǎn)內(nèi)插和啟發(fā)式切換策略,但這些技術(shù)忽略了控制對(duì)象時(shí)變的特性,而且理論上缺乏保證系統(tǒng)性能指標(biāo)的系統(tǒng)方法,因而有一定危險(xiǎn)性.采用LMI技術(shù)可以彌補(bǔ)這一不足.另外,增益調(diào)度需要對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)知識(shí)進(jìn)行顯式利用,因而LMI技術(shù)可以滿足其實(shí)時(shí)信息處理的快速性.而且,用LMI技術(shù)對(duì)LPV系統(tǒng)進(jìn)行分析綜合,可以看作是對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行處理的一個(gè)自然擴(kuò)展,它們有相類(lèi)似的工程上的解釋,易于理解,所以LMI技術(shù)處理LPV的魯棒性能問(wèn)題有一定的優(yōu)越性.(3)用于非線性系統(tǒng).LMI技術(shù)在線性系統(tǒng)中的成功應(yīng)用使得許多學(xué)者開(kāi)始嘗試把它用于分析非線性系統(tǒng).最先考慮的是非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,H∞性能指標(biāo)等問(wèn)題.線性系統(tǒng)H∞控制已有成熟的狀態(tài)空間法[11],依照其基本思路,Hall等[12]利用算子理論,VanderSchaft[13]利用微分幾何方法,Isidori等利用微分對(duì)策論[14],Hill等[10]利用Willems[15]的耗散性理論,Lu等[16]利用非線性矩陣不等式相比,有如下優(yōu)點(diǎn):①不需要給出迭代的初始可行解,即不另需獨(dú)立的算法對(duì)初始可行解進(jìn)行求解;②它能夠擴(kuò)展到求解擬凸問(wèn)題,即LMI約束下廣義特征值問(wèn)題;③它能夠充分利用有塊對(duì)角結(jié)構(gòu)的LMI問(wèn)題的結(jié)構(gòu)信息,減少保守性;④整個(gè)過(guò)程可以給以清晰的幾何圖示進(jìn)行說(shuō)明,易于理解.目前基于MATLAB環(huán)境的LMI求解軟件包采用的就是這種方法.2LMI用于控制問(wèn)題常用的技術(shù)[2,8](1)矩陣操作技術(shù).用于把各種判據(jù)最終化為.①矩陣不等式的等價(jià)變換,主要有Schur補(bǔ)引LMI理;②有約束條件矩陣不等式轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件矩陣不等式,主要有S2Procedure引理;③矩陣變量消去技術(shù),主要有雙邊投影引理和Finsler引理;④矩1460上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)第33卷(NonLinearMatrixInequalities)來(lái)處理這些問(wèn)題.一類(lèi)特殊非線性是Lur’e和積分二次型非線性.文獻(xiàn)[13,20]研究一般非線性系統(tǒng)的H∞控制問(wèn)題,得到的結(jié)果都需歸結(jié)到HJI和HJE的求解.但對(duì)一般的偏微分矩陣方程和不等式,數(shù)學(xué)上并無(wú)有效的求解算法.郭雷等[15]發(fā)現(xiàn)Lur’e非線性系統(tǒng),本文作者發(fā)現(xiàn)具有積分二次型非線性環(huán)節(jié)的非線性系統(tǒng),其H∞其中與LMI相關(guān)的主要是后兩種方法.動(dòng)態(tài)耗散理論中的耗散性(dissipativity)[15]概念是無(wú)源性(passivity)概念的推廣.利用供應(yīng)率(supplyrate)和儲(chǔ)存函數(shù)(storagefunction)這兩個(gè)概念可以統(tǒng)一定義無(wú)源性和正實(shí)性以及得出小增益定理和正實(shí)定理的相互關(guān)系.由動(dòng)態(tài)耗散理論方法得出的一些特殊非線性系統(tǒng)的魯棒性能問(wèn)題易于化為L(zhǎng)MI標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解.用這一方法的關(guān)鍵是針對(duì)不同的系統(tǒng)尋找與之相適應(yīng)的不同的儲(chǔ)存函數(shù)[14,17]LMI計(jì)算工..DifferentialInclusion)的非線性.某些非線性系統(tǒng)全局線性化后,屬于相應(yīng)特定的線性微分包含.由于線性微分包含的線性特性,處理其魯棒穩(wěn)定問(wèn)題較為方便,因而通過(guò)處理作為父集的線性微分包含來(lái)研究作為子集的一些非線性系統(tǒng)的分析和綜合問(wèn)題,不失為一種行之有效的方法.文獻(xiàn)[21]已有這方面的相關(guān)結(jié)果.本文作者曾對(duì)屬于某一多胞型線性微分包含的一類(lèi)非線性系統(tǒng),通過(guò)擴(kuò)展雙邊投影引理和Finsler引理和進(jìn)行矩陣變換,基于LMI解決了此類(lèi)系統(tǒng)基于觀測(cè)器的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題.其相應(yīng)魯棒H∞設(shè)計(jì)問(wèn)題還需繼續(xù)研究.用于動(dòng)態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)的研究.在時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性分析和綜合問(wèn)題的一些新結(jié)果中,要么較少考慮系統(tǒng)同時(shí)具有狀態(tài)和輸入時(shí)滯[22],要么所用方法比較特殊.其次,得到的判別條件往往與時(shí)滯無(wú)關(guān),這樣可能導(dǎo)致較大保守性.再次,由于時(shí)滯系統(tǒng)是無(wú)限維系統(tǒng),其特征方程是超越的,而非代數(shù)的,故原有的對(duì)線性非時(shí)滯系統(tǒng)而發(fā)展起來(lái)的一整套H∞.一旦儲(chǔ)存函數(shù)找到,可以它[]Lyapunov函數(shù),此時(shí),證性能兩方面的要求.統(tǒng)的H控制問(wèn)題化為L(zhǎng)MI.對(duì)一般的非線性系統(tǒng),則可化為多線性矩陣不等式(MLMI).對(duì)另一些特殊的非線性系統(tǒng),可化為帶參數(shù)的LMIs來(lái)求解.非線性矩陣不等式(NonLinearMatrixInequalities)方法由Lu等[16]∞提出.在文獻(xiàn)[19,20]中,設(shè)計(jì)的非線性輸出反饋H∞控制器都具有分離結(jié)構(gòu).NLMI方法可以得到不具分離結(jié)構(gòu)的控制器.其解空間也是凸的,故它的求解仍具有凸優(yōu)化求解的便利.另外,在加入一些附加條件后,NLMI可以化為以狀態(tài)變量為自變量的逐點(diǎn)的LMIs,Lu等已證明,如對(duì)狀態(tài)區(qū)域里的任意狀態(tài)值,其LMI存在解,則函數(shù)LMI存在全局光滑解,因而原有的∞.但對(duì)H非線性問(wèn)題可以化為逐點(diǎn)求解LMIs問(wèn)題空間如何搜索并逐點(diǎn)求解;有沒(méi)有一個(gè)最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn),使得這一搜索最優(yōu);求得了采樣點(diǎn)處的LMIs解,又如何合成一個(gè)光滑的矩陣函數(shù),仍有待于進(jìn)一步研究.[16]頻域設(shè)計(jì)方法不一定能直接套用于線性時(shí)滯系統(tǒng)的分析.但基于動(dòng)態(tài)耗散理論和微分對(duì)策原理,可用狀態(tài)空間法處理時(shí)具有狀態(tài)和輸入時(shí)滯的線性定常系統(tǒng)的H∞4LMI用于控制系統(tǒng)分析和綜合問(wèn)鎮(zhèn)定問(wèn)題,其狀態(tài)反饋和基于觀測(cè)器題的展望LMI技術(shù)進(jìn)一步用于處理控制系統(tǒng)的分析和綜合問(wèn)題存在兩方面的推力:即對(duì)控制本身與各種控制策略的深入理解和工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)控制的實(shí)時(shí)要求.LMI技術(shù)至少在以下一些方向可進(jìn)一步研究:①線性系統(tǒng)的仿射集上的最優(yōu)化問(wèn)題;②具有LTI和LPV擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)的分析;③內(nèi)插問(wèn)題;④最優(yōu)控制的逆問(wèn)題;⑤基于行為方法的系統(tǒng)建模和辨識(shí)問(wèn)題;⑥多判據(jù)LQG問(wèn)題;⑦非凸多判據(jù)二次問(wèn)題.下面結(jié)合作者自己的一些研究工作,簡(jiǎn)述時(shí)滯系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)LMI技術(shù)在特殊非線性系統(tǒng)、穩(wěn)定性和魯棒性中的應(yīng)用和展望.的輸出反饋設(shè)計(jì)都可得到與時(shí)滯參數(shù)相關(guān)的判別條件,而且部分結(jié)果可以化為Riccati方程和LMI來(lái)求解.用于處理隨機(jī)系統(tǒng).隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問(wèn)題變?yōu)榫椒€(wěn)定和均方鎮(zhèn)定問(wèn)題.因而它的分析和綜合方法有其特殊性.文獻(xiàn)[2]對(duì)具有乘型噪聲的線性隨機(jī)系統(tǒng),給出了它的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)方法.得到的充分條件可以用標(biāo)準(zhǔn)的LMI表示.進(jìn)一步研究可以發(fā)現(xiàn),Lur’e系統(tǒng)和多胞型線性系統(tǒng)也能擴(kuò)展到隨機(jī)系統(tǒng).另外,如何處理加型噪聲,是否存在加型乘型噪聲的用LMI表示的輸出反饋控制器及魯棒穩(wěn)定界,還可進(jìn)一步研究.第11期胡中驥,等:線性矩陣不等式在控制理論中的應(yīng)用及發(fā)展[10]HillD,MoylanP.14615結(jié)論本文綜述的各類(lèi)線性和非線性系統(tǒng)的LMI分析和綜合方法,其共性在于,處理控制問(wèn)題的許多方法,如Lyapunov方法、正實(shí)有界實(shí)定理、動(dòng)態(tài)耗散理論都涉及到矩陣等式和