矩陣行列式與可逆矩陣

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矩陣行列式與可逆矩陣矩陣行列式與可逆矩陣（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）一、n階矩陣行列式下面介紹線性代數(shù)中另一個基本概念——行列式，由于內(nèi)容較多，我們主要介紹行列式的定義及其簡單的計算，行列式的性質(zhì)等內(nèi)容請大家自己學習教材.定義2.9對任一n階矩陣A=用式表示一個與A相聯(lián)系的數(shù)，稱為A的行列式，記作.規(guī)定：當n=1時，；當n=2時，；當n>2時，，其中=，稱為中元素的余子式，它是中劃去第一行、第j列后剩下的元素按原來順序組成的n–1階行列式；為中元素的代數(shù)余子式.（由定義可知，一個n階矩陣行列式表示一個數(shù)，而這個數(shù)可以由第一行的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和求出.應(yīng)該指出的是，方陣是一個數(shù)表，不能求數(shù)值的；而與它相應(yīng)的行列式則表示一個數(shù)，是可以計算數(shù)值的.）行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即.性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式的值改變符號.性質(zhì)3n階行列式等于任意一行（列）所有元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即（）其中i=1,2,…,n(j=1,2,…,n).性質(zhì)4n階行列式中任意一行（列）的元素與另一行（列）的相應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即當時，有.性質(zhì)5行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符號的外面.即性質(zhì)6若行列式的某一行（列）元素都是兩數(shù)之和：則等于下列兩個行列式之和：性質(zhì)7用常數(shù)遍乘行列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）對應(yīng)的元素上，則行列式的值不變.（下面通過例題簡單介紹行列式的計算方法）例1計算解首先按性質(zhì)5，從第一行提出公因子，再從第四行提出，即再利用性質(zhì)7把第三列的元素盡可能多的化為零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的變換，得=再利用性質(zhì)3按第3列展開，即=再作“第三列加上第一列的-1倍”的變換，并按第二行展開，即===例2計算解首先交換第一列與第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的變換，得=首先交換第二行與第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的變換，得=再作“第四行加上第三行的倍”，化成三角形行列式，其值就是對角線上的元素乘積，即==（關(guān)于矩陣行列式，有一個重要結(jié)論請大家記住.）定理2.1對于任意兩個方陣A，B，總有即方陣乘積的行列式等于行列式的乘積.（在上一講中，我們介紹了矩陣的加法、減法和乘法運算，那么矩陣是否有除法運算呢？這就是這下面要介紹內(nèi)容.）二、逆矩陣定義定義2.11對于n階矩陣A，如果有n階矩陣B，滿足AB=BA=I（2-5-1）則稱矩陣A可逆，稱B為A的逆矩陣，記作.（由定義可知：）滿足公式（2-5-1）的矩陣A,B一定是同階矩陣.例3設(shè)矩陣A=，B=驗證A是否可逆？解因為AB==BA==即A,B滿足AB=BA=I.所以矩陣A可逆，其逆矩陣=B.可以驗證：單位矩陣I是可逆矩陣；零矩陣是不可逆的.(1)單位矩陣I是可逆矩陣.證因為單位矩陣I滿足：II=I所以I是可逆矩陣，且.(2)零矩陣是不可逆的.證設(shè)O為n階零矩陣，因為對任意n階矩陣B，都有OB=BO=O所以零矩陣不是可逆矩陣.可逆矩陣具有以下性質(zhì)：(1)若A可逆，則是唯一的.證設(shè)矩陣B1,B2都是A的逆矩陣，則B1A=I，AB2=I，且B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2故是唯一的.(2)若A可逆，則也可逆，并且=A若A可逆，則也可逆，并且=A.證由公式（2-5-1）可知，A=A=I，故是A的逆矩陣，同時A是的逆矩陣，即=A.(3)若A可逆，數(shù)k0，則kA也可逆，且=若A可逆，數(shù)k0，則kA也可逆，且=證因為kA()=()()=I()kA=()()=I所以，kA可逆，且=(4)若n階方陣A和B都可逆，則AB也可逆，且證因為A和B都可逆，即和存在，且(AB)()=A(B)=AI=A=I()(AB)=B(A)=BI=B=I根據(jù)定義2.11，可知AB可逆，且.性質(zhì)(4)可以推廣到多個n階可逆矩陣相乘的情形，即當n階矩陣A1,A2,…,Am都可逆時，乘積矩陣A1A2…Am也可逆，且(A1A2…Am=特別地，當m=3時，有(A1A2A3=問題：若n階方陣A和B都可逆，那么A+B是否可逆？答：盡管n階矩陣A和B都可逆，但是A+B也不一定可逆，即使當A+B可逆，例如A=，B=都是可逆矩陣，但是A+B=是不可逆的.而A+A=2A可逆，但是===2(5)若A可逆，則也可逆，且=.若A可逆，則也可逆，且=.證因為矩陣A可逆，故存在，且======根據(jù)定義2.11，可知也是可逆的，且=.三、可逆矩陣的判定若方陣A可逆，則存在，使.于是1=（定理2.1）得.把滿足的方陣A稱為非奇異的（或非退化的），否則就稱為奇異的（或退化的）.（由此可以得到定理2.2：）定理2.2方陣A可逆的必要條件為A是非奇異的，即.（定理2.2結(jié)論是很重要的，但要注意，它是方陣A可逆的必要條件，不是充分條件.因此，大家就會想到若，方陣A是否可逆呢？要回答這個問題，需要引進伴隨矩陣的概念）定義2.12對于n階方陣A=，稱n階方陣為A的伴隨矩陣，記作，其中為行列式中元素的代數(shù)余子式.（注意：伴隨矩陣中各元素的位置秩序與常規(guī)的不一樣，是由常規(guī)秩序經(jīng)過轉(zhuǎn)置后獲得的.）（利用伴隨矩陣可以證明：）定理2.3若方陣A是非奇異的，即，則A是可逆矩陣，并且有（定理2.3的證明請看教材.該定理不僅給出了可逆矩陣的一種判別方法，即當方陣A的行列式時，A是可逆矩陣；若，則A不是可逆矩陣.而且還給出了求逆矩陣的一種方法——伴隨矩陣法，即若A可逆，那么只要求出它的伴隨矩陣，再除以它對應(yīng)的行列式的值，就能獲得逆矩陣.）例4設(shè)矩陣判別A是否可逆？解因為==1即，所以A是可逆矩陣.例5設(shè)，問：當a,b,c,d滿足什么條件時，矩陣A可逆？當A可逆時，求.解因為當時，由，（由定理2.3知道）得A可逆.又，，，（問題：2階矩陣的伴隨矩陣與原矩陣中的元素之間有什么聯(lián)系？）所以，==（把定理2.2和定理2.3合在一起，得到判別矩陣A是否可逆的充分必要條件.）定理2.4矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是，且有.第4章可逆矩陣習題習題4.1考慮空間解析幾何中平面，，的焦點問題，寫出該問題確定的線性方程組以及所對應(yīng)的系數(shù)矩陣，常數(shù)項和增廣矩陣?？紤]高三學年語文、數(shù)學、英語三門課程4次模擬高考成績，用矩陣方法建立個人成績檔案。對本節(jié)股市中數(shù)據(jù)表格問題中的矩陣，給出一組調(diào)研數(shù)據(jù)并用矩陣表示出來。用三種不同面值的硬幣分別作4、6、10次投擲實驗，用數(shù)字1表示正面，表示反面，用矩陣形式把實驗記錄下來。習題4.2對下列矩陣計算：（1）；（2）。計算矩陣乘積或方冪：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。計算矩陣多項式：（1）；（2）。證明：矩陣的乘法和加法還適合分配律，即本節(jié)（9）、（10）兩式成立。矩陣乘法的消去律不成立，即當時，即使也不一定有。試針對矩陣舉出例子。在下列各題中，求與矩陣可交換的所有矩陣：（1）；（2）；（3）；（4），其中。對任意正整數(shù)，給出的條件，并加以證明。證明：如果一個級矩陣與所有級矩陣作乘法都是可以交換的。那么這個矩陣一定是數(shù)量矩陣。證明：任何級矩陣總可以表示為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。設(shè)是對稱矩陣，證明：也對稱的充分必要條件是可交換。即設(shè)是實對稱矩陣，證明：。證明：兩個上（下）三角的乘積仍然是上（下）三角矩陣。這個性質(zhì)對于對稱（反對稱）矩陣成立嗎？試對矩陣情形討論。習題4.3計算下列各題中矩陣乘積的行列式：（1）；（2）；（3）。判定上題中矩陣的退化性。如何仿照推論2來建立上題中（3）情形的判定？習題4.4求下列矩陣的逆矩陣：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。求下列矩陣方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。證明：對于級方陣，如果那么就都是可逆的并且它們互為逆矩陣。證明：如果，那么可逆，并且證明：如果，那么、都可逆。設(shè)為可逆矩陣，證明：對稱（反對稱）對稱（反對稱）。對反對稱情形，必然為偶數(shù)，為什么？設(shè)為可逆矩陣，證明：的伴隨矩陣具有性質(zhì)（1）；（2）設(shè)為可逆矩陣，證明：上（下）三角矩陣上（下）三角矩陣。習題4.5用分塊方法計算下列矩陣的乘積：（1）；（2）；（3）。用分塊方法計算下列矩陣的逆矩陣：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。仿照例2推導(dǎo)（9）。設(shè)分別為級可逆矩陣，證明：是可逆矩陣，給出其逆矩陣計算公式。利用上題結(jié)果，計算的逆矩陣：（1）；（2）。習題4.61.按定理6，寫出矩陣與初等矩陣乘積的結(jié)果：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2．用行初等變換方法求下列矩陣的逆矩陣：（1）；（2）；（3）；（4）；3．用行初等變換方法解下列矩陣方程：（1）