云南省保山曙光學(xué)校高二數(shù)學(xué)《數(shù)列的遞推公式》教學(xué)設(shè)計

云南省保山曙光學(xué)校高二數(shù)學(xué)《數(shù)列的遞推公式》教學(xué)設(shè)計（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）

2.1.2數(shù)列的遞推公式云南省保山曙光學(xué)校高二數(shù)學(xué)《數(shù)列的遞推公式》教學(xué)設(shè)計（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）一、內(nèi)容及其解析（一）內(nèi)容：數(shù)列的遞推公式（二）解析：這節(jié)課通過對數(shù)列通項公式的正確理解，讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；通過經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程，作好探究性教學(xué).發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高學(xué)生的分析問題以及解決問題的能力.教學(xué)重點根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.教學(xué)難點理解遞推公式與通項公式的關(guān)系.二、目標(biāo)及其解析1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；2.會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.1.經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程;2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實驗;3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.三、問題診斷分析四、教學(xué)過程問題與題例問題：前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項公式的意義等內(nèi)容，哪位同學(xué)能談一談什么叫數(shù)列的通項公式？如果數(shù)列{an}的第n項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.問題：你能舉例說明嗎？如數(shù)列0，1，2，3，…的通項公式為an=n-1(n∈N*);1,1,1的通項公式為an=1(n∈N*,1≤n≤3);1,,,,…的通項公式為an=(n∈N*).問題：通項公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學(xué)們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項數(shù)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項an為縱坐標(biāo)，即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(以前面提到的數(shù)列1,,,,…為例，作出一個數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點都在y軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢.-----------------遞推公式法知識都來源于實踐，同時還要應(yīng)用于生活，用其來解決一些實際問題.下面同學(xué)們來看右下圖：鋼管堆放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學(xué)模型.模型一：自上而下第1層鋼管數(shù)為4,即14＝1+3;第2層鋼管數(shù)為5,即25＝2+3;第3層鋼管數(shù)為6,即36＝3+3;第4層鋼管數(shù)為7,即47＝4+3;第5層鋼管數(shù)為8,即58＝5+3;第6層鋼管數(shù)為9,即69＝6+3;第7層鋼管數(shù)為10,即710＝7+3.若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an=n+3(1≤n≤7).問題：同學(xué)們運用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便.讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律)模型二：上下層之間的關(guān)系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.依此類推：an=an-1+1(2≤n≤7).問題：對于上述所求關(guān)系，同學(xué)們有什么樣的理解?若知其第1項，就可以求出第二項，以此類推，即可求出其他項.看來，這一關(guān)系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式.[概念形成]1.遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an-1(或前n項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89.遞推公式為：a1=3,a2=5,an=an-1+an-2(3≤n≤8).2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、圖象法、解析式法.相對于數(shù)列來說也有相應(yīng)的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析式法.［例題］【例1】設(shè)數(shù)列{an}滿足.寫出這個數(shù)列的前五項.分析：題中已給出{an}的第1項即a1=1，題目要求寫出這個數(shù)列的前五項，因而只要再求出二到五項即可.這個遞推公式：an=1+我們將如何應(yīng)用呢?這要將n的值2和a1=1代入這個遞推公式計算就可求出第二項，然后依次這樣進(jìn)行就可以了.請大家計算一下!解：據(jù)題意可知：a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=設(shè)計意圖：掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點就是其中的遞推關(guān)系，同學(xué)們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中的前項與后項，或前后幾項之間的關(guān)系.【例2】已知a1=2，an+1=2an，寫出前5項，并猜想an.分析：由例1的經(jīng)驗我們先求前5項.前5項分別為2，4，8，16，32.下面來猜想第n項.由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23觀察可得，猜想an=2n.問題：本題若改為求an是否還可這樣去解呢?由an+1=2an變形可得an=2an-1，即，依次向下寫，一直到第一項，然后將它們乘起來，就有…×，所以an=a1·2n-1=2n.這種方法通常叫迭乘法，這種方法在已知遞推公式求數(shù)列通項的問題中是比較常用的方法，對應(yīng)的還有迭加法.變式：已知a1=2，an+1=an-4,求an.分析：此題與前例2比較，遞推式中的運算改為了減法，同學(xué)們想一想如何去求解呢?寫出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，…觀察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).解：由an+1-an=-4依次向下寫，一直到第一項，然后將它們加起來,an-an-1=-4an-1-an-2=-4an-2-an-3=-4……∴an=2-4(n-1).［小結(jié)］(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的.例如，由數(shù)列{an}中的遞推公式an+1=2an+1無法寫出數(shù)列{an}中的任何一項，若又知a1=1，則可以依次地寫出a2=3,a3=7,a4=15,….(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項公式，也可能求不出通項公式.五、目標(biāo)檢測1、根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式.(投影片)(1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)；(2)a1＝1，an+1＝(n∈N)；(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N).(讓學(xué)生思考一定時間后，請三位學(xué)生分別作答)解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1)2.(2)a1＝1，a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝=，∴an＝.(3)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32，a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3n-1.注：不要求學(xué)生進(jìn)行證明歸納出通項公式.2、一只猴子爬一個8級的梯子，每次可爬一級或上躍二級，最多能上躍起三級，從地面上到最上一級，你知道這只猴子一共可以有多少種不同的爬躍方式嗎？析：這題是一道應(yīng)用題，這里難在爬梯子有多種形式，到底是爬一級還是上躍二級等情況要分類考慮周到.爬一級梯子的方法只有一種.爬一個二級梯子有兩種,即一級一級爬是一種，還有一次爬二級，所以共有兩種.若設(shè)爬一個n級梯子的不同爬法有an種,則an=an-1+an-2+an-3(n≥4),則得到a1=1,a2=2,a3=4及an=an-1+an-2+an-3(n≥4)，就可以求得a8=81.六、課堂小結(jié)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，要注意理解它與通項公式的區(qū)別，誰能說說？通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系.對于通項公式，只要將公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相應(yīng)的項.而遞推公式則要已知首項(或前n項)，才可求得其他的項.(讓學(xué)生自己來總結(jié)，將所學(xué)的知識，結(jié)合獲取知識的過程與方法，進(jìn)行回顧與反思，從而達(dá)到三維目標(biāo)的整合.培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語言表達(dá)能力)七、配餐練習(xí)《優(yōu)化設(shè)計》《優(yōu)化作業(yè)》由數(shù)列的遞推公式求通項公式一準(zhǔn)備知識所謂數(shù)列，簡單地說就是有規(guī)律的（有限或無限多個）數(shù)構(gòu)成的一列數(shù)，常記作{an}，an的公式叫做數(shù)列的通項公式．常用的數(shù)列有等差數(shù)列和等比數(shù)列．等差數(shù)列等比數(shù)列定義數(shù)列{an}的后一項與前一項的差an－an－1為常數(shù)d數(shù)列{an}的后一項與前一項的比為常數(shù)q（q≠0）專有名詞d為公差q為公比通項公式an=a1+（n－1）dan=a1·qn－1前n項和Sn=Sn=數(shù)列的前n項和Sn與通項公式an的關(guān)系是：an=Sn－Sn－1（n≥2）．有些數(shù)列不是用通項公式給出，而是用an與其前一項或前幾項的關(guān)系來給出的，例如：an＋1=2an+3，這樣的公式稱為數(shù)列的遞推公式．由數(shù)列的遞推公式我們可以求出其通項公式．?dāng)?shù)列問題中一個很重要的思想是把數(shù)列的通項公式或遞推公式變形，然后將它看成新數(shù)列（通常是等差或等比數(shù)列）的通項公式或遞推公式，最后用新數(shù)列的性質(zhì)解決問題．二例題精講例1．（裂項求和）求Sn=．解：因為an==所以Sn==1－例2．（倒數(shù)法）已知數(shù)列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通項公式．解：∴是以為首項，公差為2的等差數(shù)列，即+2（n－1）=∴an=練習(xí)1．已知數(shù)列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通項公式．解：∴是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．∴an=Sn－Sn－1==∴an=例3．（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn=，求{an}的通項公式．解：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1∴是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）∴an=－．例4．（疊加法）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通項公式．解：先考慮偶數(shù)項有：S2n－S2n－2=－3·S2n－2－S2n－4=－3·……S4－S2=－3·將以上各式疊加得S2n－S2=－3×，所以S2n=－2+．再考慮奇數(shù)項有：S2n＋1－S2n－1=3·S2n－1－S2n－3=3·……S3－S1=3·將以上各式疊加得S2n＋1=2－．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．綜上所述an=，即an=（－1）n－1·．例5．（an+1=pan+r類型數(shù)列）在數(shù)列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通項公式．解：∵an+1－3=2（an－3）∴{an－3}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列．∴an－3=2n∴an=2n+3．練習(xí)2．在數(shù)列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通項公式．解：an+12=an2+∴an+12－1=（an2－1）∴{an+12－1}是以3為首項，公比為的等差數(shù)列．∴an+12－1=3×，即an=例6（an+1=pan+f（n）類型）已知數(shù)列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通項公式．解：（待定系數(shù)法）設(shè)an+p·3n=an－1+p·3n－1則an=an－1－2p·3n－1，與an=an－1+3n－1比較可知p=－．所以是常數(shù)列，且a1－=－．所以=－，即an=．練習(xí)3．已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n項和，求{an}的通項公式．解：∵an=Sn－Sn－1∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1∴2Sn=Sn－1+2n+1（待定系數(shù)法）設(shè)2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q化簡得：－pn－p－q=2n+1，所以，即∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=，S1－2+1=∴{Sn－2n+1}是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．∴Sn－2n+1=，即Sn=+2n－1，an=2n+1－Sn=2－．例7．（an+1=panr型）（2005年江西高考題）已知數(shù)列{an}各項為正數(shù)，且滿足a1=1，an+1=．（1）求證：an<an+1<2；（2）求{an}的通項公式．解：（1）略．（2）an+1=－（an－2）2+2∴an+1－2=－（an－2）2∴2－an+1=（2－an）2∴由（1）知2－an>0，所以log2（2－an+1）=log2（2－an）2=2·log2（2－an）－1∴l(xiāng)og2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］即{log2（2－an）－1}是以―1為首項，公比為2的等比數(shù)列∴l(xiāng)og2（2－an）－1=－1×2n－1化簡得an=2－．練習(xí)4．（2006年廣州二模）已知函數(shù)（）．在數(shù)列中，，（），求數(shù)列的通項公式．解：，從而有，由此及知：數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故有（）。例8．（三角代換類型）已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=，求{an}的通項公式．解：令an－1=tan，則an+1==tan∴an=tan．【題組三：由遞推公式求通項公式】8.（1）求；（2）求；（3）；求；（4）已知（），求.9.已知數(shù)列滿足，，則=________10.設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，則它的通項公式_11.已知數(shù)列的前項和滿足，（1）寫出求數(shù)列{an}的前3項a1,a2,a3；（2）求數(shù)列{an}的通項公式.化歸思想在遞推數(shù)列通項公式中的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)中，解決數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，尤其是運用化歸思想將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來研究，是解答數(shù)列問題的最基本的思維方向。本文就教學(xué)中積累的運用化歸思想求解遞推數(shù)列通項公式做一總結(jié)，供參考。運用化歸思想求解遞推數(shù)列的通項公式，其思路是通過恰當(dāng)變換遞推關(guān)系，將非等差非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列而求得其通項公式?；瘹w與轉(zhuǎn)化的原則是：將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的或已經(jīng)解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的、直觀的問題；將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的、特殊的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題便于解決。轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型主要有：已知與未知的轉(zhuǎn)化；部分與整體的轉(zhuǎn)化；具體與抽象的轉(zhuǎn)化；特殊與一般的轉(zhuǎn)化；不等與相等的轉(zhuǎn)化；運動與靜止的轉(zhuǎn)化；分散與集中的轉(zhuǎn)化；幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)化；陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化；高次與低次的轉(zhuǎn)化；復(fù)雜與簡單的轉(zhuǎn)化；綜合與基本的轉(zhuǎn)化；順向與逆向的轉(zhuǎn)化；常規(guī)與技巧的轉(zhuǎn)化；高維與低維的轉(zhuǎn)化；正面與反面的轉(zhuǎn)化解題方法：運用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的依據(jù)或步驟主要是要明確三個問題：（1）明確化歸對象，即對什么問題轉(zhuǎn)化，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的根基；（2）認(rèn)清化歸目標(biāo)，即化歸到何處去，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的目標(biāo)；（3）把握化歸方法，即如何進(jìn)行化歸，這是化歸與轉(zhuǎn)化思想的關(guān)鍵。運用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的主要轉(zhuǎn)化方法有：待定系數(shù)法、作差法、倒數(shù)法、取對數(shù)法、換元法、配湊法等。一、一階線性遞推公式此類數(shù)列解決的思路是，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是分離常數(shù)法或作差法。例1、在數(shù)列的通項公式？解法1：設(shè)比較，得，所以有為首項，為公比的等比數(shù)列解法2：兩式相減得：是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，由累加法得點評：本例運用化歸與轉(zhuǎn)化思想，化一般為特殊，以化歸為特殊數(shù)列為目標(biāo)，通過分離常數(shù)法、作差法手段實現(xiàn)了化歸目標(biāo)。二、一階分式遞推公式此類數(shù)列解決的思路是，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是取倒數(shù)法。例2、已知在各項不為零的數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式？解：，兩邊取倒數(shù)得，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，則，例3、已知數(shù)列滿足，求的通項公式？解：兩邊取倒數(shù)得：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。點評：上述兩例運用化歸與轉(zhuǎn)化思想，以化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列為目標(biāo)，通過取倒數(shù)手段實現(xiàn)了化歸目標(biāo)。三、一階遞推公式（1）若，此類數(shù)列解決的思路是，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是兩邊同除以得：，令，，則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式。例4、已知數(shù)列滿足，，求解：由已知得設(shè)，故有是以為公比，為首項的等比數(shù)列點評：本例中運用化歸轉(zhuǎn)化思想，通過換元法手段將一階遞推公式轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式求解。四、二階線性遞推公式此類數(shù)列解決的思路是，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解，具體轉(zhuǎn)化途徑是運用待定系數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例5、數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式？解：設(shè)比較得：或或是以為首項，為公比的等比數(shù)列或數(shù)列是以為首項，1為公比的等比數(shù)列或易得：，由適合所以遞推數(shù)列通項求解方法舉隅類型一：（）思路1（遞推法）：………。思路2（構(gòu)造法）：設(shè)，即得，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。例1已知數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項公式。解：方法1（遞推法）：………。方法2（構(gòu)造法）：設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。類型二：思路1（遞推法）：…。思路2（疊加法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊加并整理得，即。例2已知，，求。解：方法1（遞推法）：………。方法2（疊加法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊加并整理得，。類型三：思路1（遞推法）：……。思路2（疊乘法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊乘并整理得…，即…。例3已知，，求。解：方法1（遞推法）：…。方法2（疊乘法）：，依次類推有：、、…、、，將各式疊乘并整理得…，即…。類型四：思路（特征根法）：為了方便，我們先假定、。遞推式對應(yīng)的特征方程為，當(dāng)特征方程有兩個相等實根時，(、為待定系數(shù)，可利用、求得)；當(dāng)特征方程有兩個不等實根時、時，(、為待定系數(shù)，可利用、求得)；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列的通項與上同理，此處暫不作討論。例4已知、,,求。解：遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。設(shè)，而、，即，解得，即。類型五：（）思路（構(gòu)造法）：，設(shè)，則，從而解得。那么是以為首項，為公比的等比數(shù)列。例5已知，，求。解：設(shè)，則，解得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，。類型六：（且）思路（轉(zhuǎn)化法）：，遞推式兩邊同時除以得，我們令，那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型二進(jìn)行求解了。例6已知，，求。解：，式子兩邊同時除以得，令，則，依此類推有、、…、，各式疊加得，即。類型七：（）思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取對數(shù)得，我們令，這樣一來，問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進(jìn)行求解了。例7已知，，求。解：對遞推式左右兩邊分別取對數(shù)得，令，則，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。類型八：（）思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取倒數(shù)得，那么，令，這樣，問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進(jìn)行求解了。例8已知，，求。解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得即，令則。設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即，。類型九：（、）思路（特征根法）：遞推式對應(yīng)的特征方程為即。當(dāng)特征方程有兩個相等實根時，數(shù)列即為等差數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用、求得）；當(dāng)特征方程有兩個不等實根、時，數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用已知其值的項間接求得）；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列通項的討論方法與上同理，此處暫不作討論。例9已知，（），求。解：當(dāng)時，遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，設(shè)，由得則，，即，從而，。寒假專題——常見遞推數(shù)列通項公式的求法重、難點：1.重點：遞推關(guān)系的幾種形式。2.難點：靈活應(yīng)用求通項公式的方法解題?！镜湫屠}】[例1]型。（1）時，是等差數(shù)列，（2）時，設(shè)∴比較系數(shù)：∴∴是等比數(shù)列，公比為，首項為∴∴[例2]型。（1）時，，若可求和，則可用累加消項的方法。例：已知滿足，求的通項公式。解：∵∴……對這（）個式子求和得：∴（2）時，當(dāng)則可設(shè)∴∴解得：，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列 ∴∴將A、B代入即可（3）（0，1）等式兩邊同時除以得令則∴可歸為型[例3]型。（1）若是常數(shù)時，可歸為等比數(shù)列。（2）若可求積，可用累積約項的方法化簡求通項。例：已知：，（）求數(shù)列的通項。解：∴[例4]型。考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有∴令則可歸為型。練習(xí)：1.已知滿足，求通項公式。解：設(shè)∴∴是以4為首項，2為公比為等比數(shù)列∴∴2.已知的首項，（）求通項公式。解：……∴3.已知中，且求數(shù)列通項公式。解：∴∴4.數(shù)列中，，，求的通項。解：∴設(shè)∴∴∴……

∴∴5.已知：，時，，求的通項公式。解：設(shè)∴解得：∴∴是以3為首項，為公比的等比數(shù)列∴∴【模擬試題】1.已知中，，，求。2.已知中，，（）求。3.已知中，，（）求。4.已知中，，（）求。5.已知中，，其前項和與滿足（）（1）求證：為等差數(shù)列（2）求的通項公式6.已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足（1）求證：是等差數(shù)列（2）若求的前n項和的最小值

1.解：由，得∴……∴∴2.解：由得：∴即是等比數(shù)列∴3.解：由得∴成等差數(shù)列，∴4.解：∴（）∴（）設(shè)即∴是等差數(shù)列∴5.解：（1）∴∴是首項為1，公差為2的等差數(shù)列∴（2）∴又∵∴6.解：（1）∴時，整理得：∵是正整數(shù)數(shù)列∴∴∴是首項為2，公差為4的等差數(shù)列∴（2）∴為等差數(shù)列∴∴當(dāng)時，的最小值為利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值，下面介紹一下利用構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項公式的方法和策略.一、構(gòu)造等差數(shù)列法例1.在數(shù)列{an}中，，求通項公式an。解：對原遞推式兩邊同除以可得：①令②則①即為，則數(shù)列{bn}為首項是，公差是的等差數(shù)列，因而，代入②式中得。故所求的通項公式是二、構(gòu)造等比數(shù)列法1.定義構(gòu)造法利用等比數(shù)列的定義，通過變換，構(gòu)造等比數(shù)列的方法。例2.設(shè)在數(shù)列{an}中，，求{an}的通項公式。解：將原遞推式變形為①②①/②得：，即③設(shè)④③式可化為，則數(shù)列{bn}是以b1＝為首項，公比為2的等比數(shù)列，于是，代入④式得：＝，解得為所求。2.（A、B為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例3.已知數(shù)列，其中，求通項公式。解：原遞推式可化為：，則數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，于是，故。3.（A、B、C為常數(shù)，下同）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例4.已知數(shù)列，其中，且，求通項公式an。解：將原遞推變形為，設(shè)bn＝。①得②設(shè)②式可化為，比較得于是有數(shù)列是一個以為首項，公比是－3的等比數(shù)列。所以，即，代入①式中得：為所求。4.型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例5.在數(shù)列中，，求通項公式。解：原遞推式可化為，比較系數(shù)可得：，，上式即為是一個等比數(shù)列，首項，公比為。所以。即，故為所求。三、函數(shù)構(gòu)造法對于某些比較復(fù)雜的遞推式，通過分析結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到與該遞推式結(jié)構(gòu)相同或相近的公式、函數(shù)，再構(gòu)造“橋函數(shù)”來求出所給的遞推數(shù)列的通項公式的方法。例6.在數(shù)列中，，求通項公式an。分析：首先考慮所給遞推式與公式的聯(lián)系。解：設(shè)，則同理，，…。即，猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明（證明略）。由于即，解得，于是為所求。求an=pan－1+q型數(shù)列通項公式的方法武進(jìn)橫山橋高級中學(xué)許光健關(guān)鍵詞：等差數(shù)列等比數(shù)列遞推公式通項公式化歸待定系數(shù)法摘要：上篇解決了幾種如何由an=pan－１+q型遞推公式求數(shù)列{an}的通項公式的方法．按p，q的不同取值情況分別給出了討論．還給出了由與之類似的幾種遞推公式求通項公式的方法．這里主要是通過化歸的思想，待定系數(shù)等方法來解決．本篇再來探討由an=an+f(n)，an=f(n)an，an=pan+f(n)型的遞推公式求通項公式的方法．正文：上篇給出了由an=pan－１+q型遞推公式求數(shù)列{an}的通項公式的方法，下面再研究幾種類似的題型：1．a(chǎn)n=an－１+f（n）對于形如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加即可得到通項公式。這種類型是由an=an－１+q型將其中的q換為f（n）而引申得到的，這種類型可以采用求等差數(shù)列通項公式的疊加法得到：a2=a1+f（2），a3=a2+f（3），a4=a3+f（4），……an=an－１+f（n）將式子疊加得：an=a1+f（n）．這里將問題轉(zhuǎn)化為求f（n），特別地，若f（n）是表示等差或等比數(shù)列時，即求數(shù)列的前n項和．例如1：若在數(shù)列中，，，求通項。解析：由得，所以，，…，，將以上各式相加得：，又所以=2．a(chǎn)n=f（n）an－１對于形如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相乘即可得到通項公式。這種類型是由an=pan－１型將其中的p換為f（n）而引申得到的，這種類型可以采用求等比數(shù)列通項公式的思想得到：a2=f（2）a1a3=f（3）a2a4=f（4）a3……an=f（n）an－１將式子疊乘得：an=a1f（n）．這里將問題轉(zhuǎn)化為求f（n）．例如2.在數(shù)列中，，（），求通項。解析：由已知，，，…，，又，所以=…=…=3．a(chǎn)n=pan－１+f（n）其中p≠1這種類型是由an=pan－１+q，p≠1將其中的q換成f（n）得到的．這里我們可以在兩邊同除以pn得：，記：bn＝，則轉(zhuǎn)化為類型1來求解．最后，an=f（n）an－１+q型和an=f（n）an－１＋g（n）型的通項公式還未發(fā)現(xiàn)初等的一般解法，也在這里提一下，希望讀者給予解決．參考文獻(xiàn):《初等數(shù)學(xué)研究教程》葛軍涂榮豹編著《數(shù)學(xué)》(必修)人民教育出版利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值，下面介紹一下利用構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項公式的方法和策略.一、構(gòu)造等差數(shù)列法例1.在數(shù)列{an}中，，求通項公式an。解：對原遞推式兩邊同除以可得：①令②則①即為，則數(shù)列{bn}為首項是，公差是的等差數(shù)列，因而，代入②式中得。故所求的通項公式是二、構(gòu)造等比數(shù)列法1.定義構(gòu)造法利用等比數(shù)列的定義，通過變換，構(gòu)造等比數(shù)列的方法。例2.設(shè)在數(shù)列{an}中，，求{an}的通項公式。解：將原遞推式變形為①②①/②得：，即③設(shè)④③式可化為，則數(shù)列{bn}是以b1＝為首項，公比為2的等比數(shù)列，于是，代入④式得：＝，解得為所求。2.（A、B為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例3.已知數(shù)列，其中，求通項公式。解：原遞推式可化為：，則數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，于是，故。3.（A、B、C為常數(shù)，下同）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例4.已知數(shù)列，其中，且，求通項公式an。解：將原遞推變形為，設(shè)bn＝。①得②設(shè)②式可化為，比較得于是有數(shù)列是一個以為首項，公比是－3的等比數(shù)列。所以，即，代入①式中得：為所求。4.型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例5.在數(shù)列中，，求通項公式。解：原遞推式可化為，比較系數(shù)可得：，，上式即為是一個等比數(shù)列，首項，公比為。所以。即，故為所求。三、函數(shù)構(gòu)造法對于某些比較復(fù)雜的遞推式，通過分析結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到與該遞推式結(jié)構(gòu)相同或相近的公式、函數(shù)，再構(gòu)造“橋函數(shù)”來求出所給的遞推數(shù)列的通項公式的方法。例6.在數(shù)列中，，求通項公式an。分析：首先考慮所給遞推式與公式的聯(lián)系。解：設(shè)，則同理，，…。即，猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明（證明略）。由于即，解得，于是為所求。遞推數(shù)列通項求解方法舉隅類型一：（）思路1（遞推法）：………。思路2（構(gòu)造法）：設(shè)，即得，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。例1已知數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項公式。解：方法1（遞推法）：………。方法2（構(gòu)造法）：設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。類型二：思路1（遞推法）：…。思路2（疊加法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊加并整理得，即。例2已知，，求。解：方法1（遞推法）：………。方法2（疊加法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊加并整理得，。類型三：思路1（遞推法）：……。思路2（疊乘法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊乘并整理得…，即…。例3已知，，求。解：方法1（遞推法）：…。方法2（疊乘法）：，依次類推有：、、…、、，將各式疊乘并整理得…，即…。類型四：思路（特征根法）：為了方便，我們先假定、。遞推式對應(yīng)的特征方程為，當(dāng)特征方程有兩個相等實根時，(、為待定系數(shù)，可利用、求得)；當(dāng)特征方程有兩個不等實根時、時，(、為待定系數(shù)，可利用、求得)；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列的通項與上同理，此處暫不作討論。例4已知、,,求。解：遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。設(shè)，而、，即，解得，即。類型五：（）思路（構(gòu)造法）：，設(shè)，則，從而解得。那么是以為首項，為公比的等比數(shù)列。例5已知，，求。解：設(shè)，則，解得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，。類型六：（且）思路（轉(zhuǎn)化法）：，遞推式兩邊同時除以得，我們令，那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型二進(jìn)行求解了。例6已知，，求。解：，式子兩邊同時除以得，令，則，依此類推有、、…、，各式疊加得，即。類型七：（）思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取對數(shù)得，我們令，這樣一來，問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進(jìn)行求解了。例7已知，，求。解：對遞推式左右兩邊分別取對數(shù)得，令，則，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。類型八：（）思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取倒數(shù)得，那么，令，這樣，問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進(jìn)行求解了。例8已知，，求。解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得即，令則。設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即，。類型九：（、）思路（特征根法）：遞推式對應(yīng)的特征方程為即。當(dāng)特征方程有兩個相等實根時，數(shù)列即為等差數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用、求得）；當(dāng)特征方程有兩個不等實根、時，數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用已知其值的項間接求得）；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列通項的討論方法與上同理，此處暫不作討論。例9已知，（），求。解：當(dāng)時，遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，設(shè)，由得則，，即，從而，。寒假專題——常見遞推數(shù)列通項公式的求法重、難點：1.重點：遞推關(guān)系的幾種形式。2.難點：靈活應(yīng)用求通項公式的方法解題?！镜湫屠}】[例1]型。（1）時，是等差數(shù)列，（2）時，設(shè)∴比較系數(shù)：∴∴是等比數(shù)列，公比為，首項為∴∴[例2]型。（1）時，，若可求和，則可用累加消項的方法。例：已知滿足，求的通項公式。解：∵∴……對這（）個式子求和得：∴（2）時，當(dāng)則可設(shè)∴∴解得：，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列 ∴∴將A、B代入即可（3）（0，1）等式兩邊同時除以得令則∴可歸為型[例3]型。（1）若是常數(shù)時，可歸為等比數(shù)列。（2）若可求積，可用累積約項的方法化簡求通項。例：已知：，（）求數(shù)列的通項。解：∴[例4]型?？紤]函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有∴令則可歸為型。練習(xí)：1.已知滿足，求通項公式。解：設(shè)∴∴是以4為首項，2為公比為等比數(shù)列∴∴2.已知的首項，（）求通項公式。解：……∴3.已知中，且求數(shù)列通項公式。解：∴∴4.數(shù)列中，，，求的通項。解：∴設(shè)∴∴∴……

∴∴5.已知：，時，，求的通項公式。解：設(shè)∴解得：∴∴是以3為首項，為公比的等比數(shù)列∴∴【模擬試題】1.已知中，，，求。2.已知中，，（）求。3.已知中，，（）求。4.已知中，，（）求。5.已知中，，其前項和與滿足（）（1）求證：為等差數(shù)列（2）求的通項公式6.已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足（1）求證：是等差數(shù)列（2）若求的前n項和的最小值

1.解：由，得∴……∴∴2.解：由得：∴即是等比數(shù)列∴3.解：由得∴成等差數(shù)列，∴4.解：∴（）∴（）設(shè)即∴是等差數(shù)列∴5.解：（1）∴∴是首項為1，公差為2的等差數(shù)列∴（2）∴又∵∴6.解：（1）∴時，整理得：∵是正整數(shù)數(shù)列∴∴∴是首項為2，公差為4的等差數(shù)列∴（2）∴為等差數(shù)列∴∴當(dāng)時，的最小值為利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值，下面介紹一下利用構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項公式的方法和策略.一、構(gòu)造等差數(shù)列法例1.在數(shù)列{an}中，，求通項公式an。解：對原遞推式兩邊同除以可得：①令②則①即為，則數(shù)列{bn}為首項是，公差是的等差數(shù)列，因而，代入②式中得。故所求的通項公式是二、構(gòu)造等比數(shù)列法1.定義構(gòu)造法利用等比數(shù)列的定義，通過變換，構(gòu)造等比數(shù)列的方法。例2.設(shè)在數(shù)列{an}中，，求{an}的通項公式。解：將原遞推式變形為①②①/②得：，即③設(shè)④③式可化為，則數(shù)列{bn}是以b1＝為首項，公比為2的等比數(shù)列，于是，代入④式得：＝，解得為所求。2.（A、B為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例3.已知數(shù)列，其中，求通項公式。解：原遞推式可化為：，則數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，于是，故。3.（A、B、C為常數(shù)，下同）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例4.已知數(shù)列，其中，且，求通項公式an。解：將原遞推變形為，設(shè)bn＝。①得②設(shè)②式可化為，比較得于是有數(shù)列是一個以為首項，公比是－3的等比數(shù)列。所以，即，代入①式中得：為所求。4.型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例5.在數(shù)列中，，求通項公式。解：原遞推式可化為，比較系數(shù)可得：，，上式即為是一個等比數(shù)列，首項，公比為。所以。即，故為所求。三、函數(shù)構(gòu)造法對于某些比較復(fù)雜的遞推式，通過分析結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到與該遞推式結(jié)構(gòu)相同或相近的公式、函數(shù)，再構(gòu)造“橋函數(shù)”來求出所給的遞推數(shù)列的通項公式的方法。例6.在數(shù)列中，，求通項公式an。分析：首先考慮所給遞推式與公式的聯(lián)系。解：設(shè)，則同理，，…。即，猜想。下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明（證明略）。由于即，解得，于是為所求。求an=pan－1+q型數(shù)列通項公式的方法武進(jìn)橫山橋高級中學(xué)許光健關(guān)鍵詞：等差數(shù)列等比數(shù)列遞推公式通項公式化歸待定系數(shù)法摘要：上篇解決了幾種如何由an=pan－１+q型遞推公式求數(shù)列{an}的通項公式的方法．按p，q的不同取值情況分別給出了討論．還給出了由與之類似的幾種遞推公式求通項公式的方法．這里主要是通過化歸的思想，待定系數(shù)等方法來解決．本篇再來探討由an=an+f(n)，an=f(n)an，an=pan+f(n)型的遞推公式求通項公式的方法．正文：上篇給出了由an=pan－１+q型遞推公式求數(shù)列{an}的通項公式的方法，下面再研究幾種類似的題型：1．a(chǎn)n=an－１+f（n）對于形如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加即可得到通項公式。這種類型是由an=an－１+q型將其中的q換為f（n）而引申得到的，這種類型可以采用求等差數(shù)列通項公式的疊加法得到：a2=a1+f（2），a3=a2+f（3），a4=a3+f（4），……an=an－１+f（n）將式子疊加得：an=a1+f（n）．這里將問題轉(zhuǎn)化為求f（n），特別地，若f（n）是表示等差或等比數(shù)列時，即求數(shù)列的前n項和．例如1：若在數(shù)列中，，，求通項。解析：由得，所以，，…，，將以上各式相加得：，又所以=2．a(chǎn)n=f（n）an－１對于形如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相乘即可得到通項公式。這種類型是由an=pan－１型將其中的p換為f（n）而引申得到的，這種類型可以采用求等比數(shù)列通項公式的思想得到：a2=f（2）a1a3=f（3）a2a4=f（4）a3……an=f（n）an－１將式子疊乘得：an=a1f（n）．這里將問題轉(zhuǎn)化為求f（n）．例如2.在數(shù)列中，，（），求通項。解析：由已知，，，…，，又，所以=…=…=3．a(chǎn)n=pan－１+f（n）其中p≠1這種類型是由an=pan－１+q，p≠1將其中的q換成f（n）得到的．這里我們可以在兩邊同除以pn得：，記：bn＝，則轉(zhuǎn)化為類型1來求解．最后，an=f（n）an－１+q型和an=f（n）an－１＋g（n）型的通項公式還未發(fā)現(xiàn)初等的一般解法，也在這里提一下，希望讀者給予解決．參考文獻(xiàn):《初等數(shù)學(xué)研究教程》葛軍涂榮豹編著《數(shù)學(xué)》(必修)人民教育出版遞推數(shù)列通項求解方法舉隅類型一：（）思路1（遞推法）：………。思路2（構(gòu)造法）：設(shè)，即得，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。例1已知數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項公式。解：方法1（遞推法）：………。方法2（構(gòu)造法）：設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即。類型二：思路1（遞推法）：…。思路2（疊加法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊加并整理得，即。例2已知，，求。解：方法1（遞推法）：………。方法2（疊加法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊加并整理得，。類型三：思路1（遞推法）：……。思路2（疊乘法）：，依次類推有：、、…、，將各式疊乘并整理得…，即…。例3已知，，求。解：方法1（遞推法）：…。方法2（疊乘法）：，依次類推有：、、…、、，將各式疊乘并整理得…，即…。類型四：思路（特征根法）：為了方便，我們先假定、。遞推式對應(yīng)的特征方程為，當(dāng)特征方程有兩個相等實根時，(、為待定系數(shù)，可利用、求得；當(dāng)特征方程有兩個不等實根時、時，(、為待定系數(shù)，可利用、求得；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列的通項與上同理，此處暫不作討論。例4已知、,,求。解：遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。設(shè)，而、，即，解得，即。類型五：（）思路（構(gòu)造法）：，設(shè)，則，從而解得。那么是以為首項，為公比的等比數(shù)列。例5已知，，求。解：設(shè)，則，解得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，。類型六：（且）思路（轉(zhuǎn)化法）：，遞推式兩邊同時除以得，我們令，那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型二進(jìn)行求解了。例6已知，，求。解：，式子兩邊同時除以得，令，則，依此類推有、、…、，各式疊加得，即。類型七：（）思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取對數(shù)得，我們令，這樣一來，問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進(jìn)行求解了。例7已知，，求。解：對遞推式左右兩邊分別取對數(shù)得，令，則，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，因而得。類型八：（）思路（轉(zhuǎn)化法）：對遞推式兩邊取倒數(shù)得，那么，令，這樣，問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進(jìn)行求解了。例8已知，，求。解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得即，令則。設(shè)，即，數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，即，。類型九：（、）思路（特征根法）：遞推式對應(yīng)的特征方程為即。當(dāng)特征方程有兩個相等實根時，數(shù)列即為等差數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用、求得）；當(dāng)特征方程有兩個不等實根、時，數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，我們可設(shè)（為待定系數(shù)，可利用已知其值的項間接求得）；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列通項的討論方法與上同理，此處暫不作討論。例9已知，（），求。解：當(dāng)時，遞推式對應(yīng)的特征方程為即，解得、。數(shù)列是以為首項的等比數(shù)列，設(shè)，由得則，，即，從而，。

常見遞推數(shù)列通項公式的求法【典型例題】[例1]型。（1）時，是等差數(shù)列，（2）時，設(shè)∴比較系數(shù)：∴∴是等比數(shù)列，公比為，首項為∴∴[例2]型。（1）時，，若可求和，則可用累加消項的方法。例：已知滿足，求的通項公式。解：∵∴……對這（）個式子求和得：∴（2）時，當(dāng)則可設(shè)∴∴解得：，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列∴∴將A、B代入即可（3）（0，1）等式兩邊同時除以得令則∴可歸為型[例3]型。（1）若是常數(shù)時，可歸為等比數(shù)列。（2）若可求積，可用累積約項的方法化簡求通項。例：已知：，（）求數(shù)列的通項。解：∴[例4]型。考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有∴令則可歸為型。練習(xí)：1.已知滿足，求通項公式。解：設(shè)∴∴是以4為首項，2為公比為等比數(shù)列∴∴2.已知的首項，（）求通項公式。解：……∴3.已知中，且求數(shù)列通項公式。解：∴∴4.數(shù)列中，，，求的通項。解：∴設(shè)∴∴∴……

∴∴5.已知：，時，，求的通項公式。解：設(shè)∴解得：∴∴是以3為首項，為公比的等比數(shù)列∴∴【模擬試題】1.已知中，，，求。2.已知中，，（）求。3.已知中，，（）求。4.已知中，，（）求。5.已知中，，其前項和與滿足（）（1）求證：為等差數(shù)列（2）求的通項公式6.已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足（1）求證：是等差數(shù)列（2）若求的前n項和的最小值

1.解：由，得∴……∴∴2.解：由得：∴即是等比數(shù)列∴3.解：由得∴成等差數(shù)列，∴4.解：∴（）∴（）設(shè)即∴是等差數(shù)列∴5.解：（1）∴∴是首項為1，公差為2的等差數(shù)列∴（2）∴又∵∴6.解：（1）∴時，整理得：∵是正整數(shù)數(shù)列∴∴∴是首項為2，公差為4的等差數(shù)列∴（2）∴為等差數(shù)列∴∴當(dāng)時，的最小值為由遞推公式求通項公式的方法已知數(shù)列的遞推公式，求取其通項公式是數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數(shù)學(xué)中常見的幾類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)，不涉及具體某一題目的獨特解法與技巧。一、型數(shù)列，（其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項變形為，從而就有將上述個式子累加，變成，進(jìn)而求解。例1.在數(shù)列中,解：依題意有逐項累加有，從而。注：在運用累加法時,要特別注意項數(shù),計算時項數(shù)容易出錯.變式練習(xí)：已知滿足,,求的通項公式。二、型數(shù)列，（其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項變形為，從而就有將上述個式子累乘，變成，進(jìn)而求解。例2.已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：當(dāng)時，將這個式子累乘，得到，從而，當(dāng)時，，所以。注：在運用累乘法時,還是要特別注意項數(shù),計算時項數(shù)容易出錯.變式練習(xí)：在數(shù)列中,>0,,求.提示：依題意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型數(shù)列此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比較系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項為。二是用作差法直接構(gòu)造，,，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。例3.在數(shù)列中，，當(dāng)時，有，求的通項公式。解法1：設(shè)，即有對比，得，于是得，即所以數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列則。解法2：由已知遞推式，得，上述兩式相減，得，即因此，數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。變式練習(xí)：已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式.注：根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列,利用基本數(shù)列可簡捷地求出通項公式.四、型數(shù)列（p為常數(shù)）此類數(shù)列可變形為，則可用累加法求出，由此求得.例4已知數(shù)列滿足,求.解:將已知遞推式兩邊同除以得,設(shè),故有，,從而.注：通過變形,構(gòu)造輔助數(shù)列,轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列的問題,是我們求解陌生的遞推關(guān)系式的常用方法.若為的一次函數(shù),則加上關(guān)于的一次函數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列;若為的二次函數(shù),則加上關(guān)于的二次函數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列.這時我們用待定系數(shù)法來求解.例5．已知數(shù)列滿足解:作,則,代入已知遞推式中得:.令這時且顯然,,所以.注：通過引入一些待定系數(shù)來轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),經(jīng)過變形和比較,把問題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列,從而使問題得以解決.變式練習(xí)：（1）已知滿足，求。（2）已知數(shù)列，表示其前項和，若滿足，求數(shù)列的通項公式。提示：（2）中利用，把已知條件轉(zhuǎn)化成遞推式。五、型數(shù)列（為非零常數(shù)）這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數(shù),把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個新數(shù)列,便可順利地轉(zhuǎn)化為型數(shù)列。例6．已知數(shù)列滿足,求.解:兩邊取倒數(shù)得:,所以，故有。變式練習(xí)：數(shù)列中，，求的通項。六、型數(shù)列（為常數(shù)）這種類型的做法是用待定糸數(shù)法設(shè)構(gòu)造等比數(shù)列。例7．?dāng)?shù)列中，且，求.由數(shù)列的遞推公式求通項公式一準(zhǔn)備知識所謂數(shù)列，簡單地說就是有規(guī)律的（有限或無限多個）數(shù)構(gòu)成的一列數(shù)，常記作{an}，an的公式叫做數(shù)列的通項公式．常用的數(shù)列有等差數(shù)列和等比數(shù)列．等差數(shù)列等比數(shù)列定義數(shù)列{an}的后一項與前一項的差an－an－1為常數(shù)d數(shù)列{an}的后一項與前一項的比為常數(shù)q（q≠0）專有名詞d為公差q為公比通項公式an=a1+（n－1）dan=a1·qn－1前n項和Sn=Sn=數(shù)列的前n項和Sn與通項公式an的關(guān)系是：an=Sn－Sn－1（n≥2）．有些數(shù)列不是用通項公式給出，而是用an與其前一項或前幾項的關(guān)系來給出的，例如：an＋1=2an+3，這樣的公式稱為數(shù)列的遞推公式．由數(shù)列的遞推公式我們可以求出其通項公式．?dāng)?shù)列問題中一個很重要的思想是把數(shù)列的通項公式或遞推公式變形，然后將它看成新數(shù)列（通常是等差或等比數(shù)列）的通項公式或遞推公式，最后用新數(shù)列的性質(zhì)解決問題．二例題精講例1．（裂項求和）求Sn=．解：因為an==所以Sn==1－例2．（倒數(shù)法）已知數(shù)列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通項公式．解：∴是以為首項，公差為2的等差數(shù)列，即+2（n－1）=∴an=練習(xí)1．已知數(shù)列{an}中，a1=1，Sn=，求{an}的通項公式．解：∴是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列．∴=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=．∴an=Sn－Sn－1==∴an=例3．（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn=，求{an}的通項公式．解：S1=a1=，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+∴Sn+Sn－1=，即Sn2－Sn－12=1∴是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．∴Sn2=n，即Sn=∴an=Sn－Sn－1=－（n≥2）∴an=－．例4．（疊加法）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn－Sn－2=3×（－）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－，求{an}的通項公式．解：先考慮偶數(shù)項有：S2n－S2n－2=－3·S2n－2－S2n－4=－3·……S4－S2=－3·將以上各式疊加得S2n－S2=－3×，所以S2n=－2+．再考慮奇數(shù)項有：S2n＋1－S2n－1=3·S2n－1－S2n－3=3·……S3－S1=3·將以上各式疊加得S2n＋1=2－．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×．綜上所述an=，即an=（－1）n－1·．例5．（an+1=pan+r類型數(shù)列）在數(shù)列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通項公式．解：∵an+1－3=2（an－3）∴{an－3}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列．∴an－3=2n∴an=2n+3．練習(xí)2．在數(shù)列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通項公式．解：an+12=an2+∴an+12－1=（an2－1）∴{an+12－1}是以3為首項，公比為的等差數(shù)列．∴an+12－1=3×，即an=例6（an+1=pan+f（n）類型）已知數(shù)列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通項公式．解：（待定系數(shù)法）設(shè)an+p·3n=an－1+p·3n－1則an=an－1－2p·3n－1，與an=an－1+3n－1比較可知p=－．所以是常數(shù)列，且a1－=－．所以=－，即an=．練習(xí)3．已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n項和，求{an}的通項公式．解：∵an=Sn－Sn－1∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1∴2Sn=Sn－1+2n+1（待定系數(shù)法）設(shè)2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q化簡得：－pn－p－q=2n+1，所以，即∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=，S1－2+1=∴{Sn－2n+1}是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．∴Sn－2n+1=，即Sn=+2n－1，an=2n+1－Sn=2－．例7．（an+1=panr型）（2005年江西高考題）已知數(shù)列{an}各項為正數(shù)，且滿足a1=1，an+1=．（1）求證：an<an+1<2；（2）求{an}的通項公式．解：（1）略．（2）an+1=－（an－2）2+2∴an+1－2=－（an－2）2∴2－an+1=（2－an）2∴由（1）知2－an>0，所以log2（2－an+1）=log2（2－an）2=2·log2（2－an）－1∴l(xiāng)og2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］即{log2（2－an）－1}是以―1為首項，公比為2的等比數(shù)列∴l(xiāng)og2（2－an）－1=－1×2n－1化簡得an=2－．練習(xí)4．（2006年廣州二模）已知函數(shù)（）．在數(shù)列中，，（），求數(shù)列的通項公式．解：，從而有，由此及知：數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故有（）。例8．（三角代換類型）已知數(shù)列{an}中，a1=2，an=，求{an}的通項公式．解：令an－1=tan，則an+1==tan∴an=tan．?dāng)?shù)列的幾種遞推公式一、解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知數(shù)列滿足，，求。二、解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知數(shù)列滿足，，求。例3:已知，，求。解：。變式:已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，則{an}的通項解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時，，即，又，，將以上n個式子相乘，得三、（其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例4.已知數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.變式:在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_______________（key:）四、類型4（其中p，q均為常數(shù)，）。（或,其中p，q,r均為常數(shù)）。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例5:已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以五、遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法：利用與消去或與消去進(jìn)行求解。例6.數(shù)列前n項和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項公式.解：（1）由得：于是，所以.（2）應(yīng)用類型（（其中p，q均為常數(shù)，））的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以六、倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成的形式的方法叫倒數(shù)變換.例7.已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項公式.【解析】:將取倒數(shù)得:,,是以為首項,公差為2的等差數(shù)列.,.跟蹤訓(xùn)練已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項公式.二、數(shù)列的求和(1)公式法：必須記住幾個常見數(shù)列前n項和；；1.已知等差數(shù)列的前項和為（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）若a1與a5的等差中項為18，bn滿足，求數(shù)列的{bn}前n項和.(Ⅰ)解法一：當(dāng)時，,當(dāng)時,.是等差數(shù)列,,············4分解法二：當(dāng)時,,當(dāng)時,.當(dāng)時,..又,所以,得.············4分(Ⅱ)解：,.又,,············8分又得.,,即是等比數(shù)列.所以數(shù)列的前項和(2)分組求和：如：求1+1,,,…,,…的前n項和（注：）(3)裂項法：如求Sn常用的裂項有；；2.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上。（Ⅰ）、求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）、設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f(x)＝ax2+bx(a≠0),則f`(