青海省西寧市海湖中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

西寧市海湖中學(xué)2023年九月高二年級(jí)數(shù)學(xué)開學(xué)考試卷考試時(shí)間：120分鐘分值：150分命題人：田燕審題人：劉發(fā)青第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：1.如果向量，，那么等于（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.1 C.i D.3.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，的面積為，，，則（）A. B. C.4 D.4.疫情期間，為了宣傳防護(hù)工作，某宣傳小組從，，，，，六個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選出兩個(gè)進(jìn)行宣傳，則該小組到社區(qū)宣傳的概率為（）A. B. C. D.5.高二（1）班7人宿舍中每個(gè)同學(xué)的身高分別為170，168，172，172，175，176，180，求這7人的第60百分位數(shù)為（）A.168 B.175 C.172 D.1766.已知，且，則（）A. B.2 C. D.7.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件，若棱錐的體積為，圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的母線長(zhǎng)為（）A. B.1 C. D.8.為了解甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的物理學(xué)習(xí)情況，從兩個(gè)班學(xué)生的物理成績(jī)（均為整數(shù)）中各隨機(jī)抽查20個(gè)，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖（用頻率分布直方圖估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，每個(gè)區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點(diǎn)值），關(guān)于甲、乙兩個(gè)班級(jí)的物理成績(jī)，下列結(jié)論正確的是（）A.甲班眾數(shù)小于乙班眾數(shù) B.乙班成績(jī)的75百分位數(shù)為79C.甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計(jì)值 D.甲班的中位數(shù)為74二、多項(xiàng)選擇題：9.已知是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則的虛部為C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為第二象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為10.一個(gè)口袋中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中取出2個(gè)球，則（）A.若不放回地抽取，則“取出2個(gè)紅球”和“取出2個(gè)白球”是對(duì)立事件B.若不放回地抽取，則第2次取到紅球的概率與第1次取到紅球的概率相等C.若有放回地抽取，則取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率是D.若有放回地抽取，則至少取出一個(gè)紅球的概率是11.設(shè)表示一個(gè)點(diǎn)，，表示兩條直線，，表示兩個(gè)平面，下列說法中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，，則12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為、的中點(diǎn)，在線段上運(yùn)動(dòng)（包含兩個(gè)端點(diǎn)），以下說法正確的是（）A.三棱錐的體積與點(diǎn)位置無關(guān)B.若為中點(diǎn)，三棱錐的體積為C.若為中點(diǎn)，則過點(diǎn)、、作正方體的截面，所得截面的面積是D.若與重合，則過點(diǎn)、、作正方體的截面，截面為三角形第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在答題卡的橫線上。13.已知向量，，則在方向上投影向量等于______.14.已知樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是______.15.設(shè)，，為三個(gè)隨機(jī)事件，若與互斥，與對(duì)立，且，，則______.16.廣場(chǎng)上的玩具石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到的（如圖）.如果被截正方體的棱長(zhǎng)為，那么玩具石凳的表面積為______.四、解答題：17.已知平面向量，滿足，，且，的夾角為60°.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求和夾角的余弦值.18.甲、乙二人獨(dú)立破譯同一密碼，甲破譯密碼的概率為0.7，乙破譯密碼的概率為0.6.記事件：甲破譯密碼，事件：乙破譯密碼.（1）求甲、乙二人都破譯密碼的概率；（2）求恰有一人破譯密碼的概率.19.為了解學(xué)生對(duì)黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng)，全校共有1000名學(xué)生參加，其中男生550名，采用分層抽樣的方法抽取100人，將他們的比賽成績(jī)（成績(jī)都在內(nèi)）分為，，，，5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值以及女生被抽取的人數(shù)；（2）估計(jì)這100人比賽成績(jī)的85%分位數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留2位）.20.為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲?乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，，甲?乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.（1）從甲?乙兩人中選1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？（2）若甲?乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.21.如圖為一個(gè)組合體，其底面為正方形，平面，，且.（1）證明：平面；（2）證明：平面；22.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且滿足.（1）求角；（2）若，求面積的最大值。海湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)開學(xué)考測(cè)試題（答案）BADDBCACABDBDCDAC1.【答案】B【解析】【詳解】，選B.2.【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理面積公式和余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，，所以，即.所以，所以.故選：D.4.【答案】D【分析】列舉出所有基本事件和滿足題意的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】從，，，，，六個(gè)社區(qū)中，隨機(jī)選擇兩個(gè)社區(qū)，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種結(jié)果；其中該小組到社區(qū)宣傳的結(jié)果有：，，，，，共5種；∴該小組到社區(qū)宣傳的概率.故選：D.5.【答案】B【解析】【分析】將7人的身高從低到高排列，最后由百分位數(shù)的求法求解即可.【詳解】將7人的身高從低到高排列：168，170，172，172，175，176，180，∵∴第5個(gè)數(shù)據(jù)為所求的第60百分位數(shù)，即這7人的第60百分位數(shù)為175故選：B6.【答案】C【解析】【分析】先利用向量平行公式求出的值，代回兩向量坐標(biāo)，算出的坐標(biāo)，再利用向量的模公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，解得，所以，，所以，，故選：C7.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長(zhǎng)為，高為，由同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件，可知棱錐與圓錐的體積相等，進(jìn)而求解.【詳解】由題，設(shè)圓錐的底面半徑為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半圓，則母線長(zhǎng)為，高為，因?yàn)楝F(xiàn)有同高的圓錐和棱錐滿足祖暅原理的條件，所以棱錐與圓錐的體積相等，所以，解得，所以母線長(zhǎng)為，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用，考查理解分析能力.8.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)圖，判斷A；根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算乙班成績(jī)的75百分位數(shù)，判斷B；求出甲班的中位數(shù)，判斷C；求出兩個(gè)班級(jí)的平均分，即可判斷D.【詳解】由甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的物理成績(jī)的數(shù)據(jù)圖可知甲班眾數(shù)為79，由頻率分布直方圖無法準(zhǔn)確得出乙班眾數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于乙班物理成績(jī)的頻率分布直方圖，前三個(gè)矩形的面積之和為，故乙班成績(jī)的75百分位數(shù)為80，B錯(cuò)誤；由甲班物理成績(jī)數(shù)據(jù)圖可知，小于79分的數(shù)據(jù)有9個(gè)，79分的數(shù)據(jù)有6個(gè)，故甲班的中位數(shù)為79，D錯(cuò)誤；甲班平均數(shù)為，乙班平均數(shù)估計(jì)值為，即甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計(jì)值，D正確，故選：C9.【答案】ABD【分析】對(duì)于A，復(fù)數(shù)的除法求出，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解；對(duì)于B，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解；對(duì)于C，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解；對(duì)于D，結(jié)合純虛數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】對(duì)于A，，則，故，故A正確；對(duì)于B，，則，其虛部為，故B正確；對(duì)于C，，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為第一象限，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，故，所以，故D正確.故選：ABD.10.【答案】BD【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概念判斷A選項(xiàng)即可；結(jié)合古典概型，列舉基本事件，分別求對(duì)應(yīng)的概率即可判斷BCD.【詳解】對(duì)A，由題知，不放回地抽取2個(gè)球包括2個(gè)都是紅球、2個(gè)都是白球和1個(gè)紅球1個(gè)白球，共3種情況，所以“取出2個(gè)紅球”和“取出2個(gè)白球”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，記2個(gè)紅球分別為，，3個(gè)白球分別為1，2，3，不放回地從中取2個(gè)球的樣本空間共20種，記事件為“第1次取到紅球”，事件為“第2次取到紅球”，則，，所以，故B正確；對(duì)C，有放回地從中取2個(gè)球的樣本空間，共25種；記事件為“取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球”，則，共12種，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，記事件為“取出2個(gè)白球”，則，共9種；所以，所以至少取出1個(gè)紅球的概率為，故D正確.故選：BD11.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)公理1以及直線在平面內(nèi)的定義，逐一對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，但，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，B錯(cuò)；如圖：∵，，∴，∴由直線與點(diǎn)確定唯一平面，又，由與確定唯一平面，但經(jīng)過直線與點(diǎn)，∴與重合，∴，故C正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故D正確.故選：CD.12.【答案】AC【分析】根據(jù)錐體的體積、正方體的截面等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由正方體可得平面平面，平面所以平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值即的長(zhǎng)因?yàn)椋捎谌切蔚拿娣e固定，所以三棱錐的體積與點(diǎn)位置無關(guān)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，連接，則是的中點(diǎn)，連接，由于，分別是，的中點(diǎn)，所以，由于，則，即過點(diǎn)，，作正方體的截面是等腰梯形，，等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，交于，連接，則五邊形是過點(diǎn)，，作正方體的截面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.13.【答案】【解析】【分析】求出，，根據(jù)投影向量的概念即可求得答案.【詳解】由題意向量，，則，，則在方向上的投影向量為，故答案為：14.415.【答案】【解析】【分析】由與對(duì)立可求出，再由與互斥，可得求解.【詳解】∵與對(duì)立，∴，∵與互斥，∴.故答案為：.16.【答案】【解析】【分析】分別計(jì)算每個(gè)表面和每個(gè)頂點(diǎn)被截后的圖形的面積，再計(jì)算表面積即可.【詳解】依題意，六個(gè)表面被截后，都是正方形，邊長(zhǎng)為2，每個(gè)正方形的面積為4，八個(gè)頂點(diǎn)被截后，都是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，每個(gè)三角形的面積為，所以玩具石凳的表面積為.故答案為：.17.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用模長(zhǎng)平方與向量的平分相等，將已知兩邊平方展開，得到關(guān)于的方程解之即可；（Ⅱ）分別求出和模長(zhǎng)以及數(shù)量積，利用數(shù)量積公式求夾角.試題解析：（Ⅰ）由已知得，即，解得.（Ⅱ），.又.所以和夾角的余弦值為.18.【答案】（1）0.42；（2）0.46.【解析】【分析】（1）由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算即可得解；（2）由互斥事件概率的加法公式及相互獨(dú)立事件概率的乘法公式運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）事件“甲、乙二人都破譯密碼”可表示為，事件，相互獨(dú)立，由題意可知，，所以；（2）事件“恰有一人破譯密碼”可表示為，且，互斥所以.19.【答案】（1），45（2）86.67【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程求得的值，結(jié)合分層抽樣的分法，求得女生被抽取的人數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖的百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得，其中女生被抽取的人數(shù)為.（2）解：由頻率分布直方圖可得：，，所以85%分位數(shù)位于區(qū)間，則85%分位數(shù)為.20.【答案】（1）派甲參賽贏得比賽的概率更大（2）【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式求出甲、乙贏得比賽的概率，即可判斷；（2）記事件為“甲贏得比賽”，為“乙贏得比賽”，利用對(duì)立事件與相互獨(dú)立事件的概率公式求出，即可得解.【詳解】（1）記事件為“甲在第一輪比賽中勝出”，為“甲在第二輪比賽中勝出”，為“乙在第一輪比賽中勝出”，為“乙在第二輪比賽中勝出”，則，，，相互獨(dú)立，且，，，.因?yàn)樵趦奢啽荣愔芯鶆俪鲆暈橼A得比賽，則為“甲贏得比賽”，為“乙贏得比賽”，所以，.因?yàn)?，所以派甲參賽贏得比賽的概率更大.（2）記事件為“甲贏得比賽”，為“乙贏得比賽”，則“兩人中至少有一人贏得比賽”.由（1）知，，，所以，，所以，故兩人中至少有一人贏得比賽的概率為.21.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【分析】（1）先證明平面，平面，繼而得到平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理，即得證；（2）由線面垂直的性質(zhì)得，易知，由線面垂直的判定定理即可證明；（3）分別求解各個(gè)面的面積，即得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又為正方形?/p>