華大新高考聯(lián)盟高三3月教學質量測評數(shù)學試卷（理科）

2021年湖北省華大新高考聯(lián)盟高考數(shù)學教學質量測評試卷（理科）（3月份）一、選擇題（共12小題）.1．設集合A＝{y|y＝}，B＝{x|（3x﹣4）（x+1）＞0}，則A∩（?RB）＝（）A．[0，] B．[，] C．[0，） D．[，）2．若復數(shù)z滿足|z﹣2﹣3i|＝5，則復數(shù)z的共軛復數(shù)不可能為（）A．5﹣7i B．﹣2﹣6i C．5+2i D．2﹣8i3．根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，我國2010～2019年研究生在校女生人數(shù)及所占比重如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．2010～2019年，我國研究生在校女生人數(shù)逐漸增加 B．可以預測2020年，我國研究生在校女生人數(shù)將不低于144萬 C．2017年我國研究生在校女生人數(shù)少于男生人數(shù) D．2019年我國研究生在?？側藬?shù)不超過285萬4．設a＝log15，b＝log30，c＝log35，則（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a5．小學數(shù)學在“認識圖形”這一章節(jié)中，一般從生活實物人手，抽象出數(shù)學圖形，在學生正確認識圖形特征的基礎上，通過習題幫助學生辨認所學圖形；例如在小學數(shù)學課本中有這樣一個2×1的方格表（如圖所示），它由2個單位小方格組成，其中每個小方格均為正方形；若在這2×1方格表的6個頂點中任取2個頂點，則這2個頂點構成的線段長度不超過的概率為（）A． B． C． D．6．運行如圖所示的程序框圖，若為了輸出第一個大于50的S的值，則判斷框中可以填（）A．b＜13？ B．b＜21？ C．b＜33？ D．b＜34？7．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，點M在線段AC上除A，C的位置運動，現(xiàn)沿BM進行翻折，使得線段AB上存在一點N，滿足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，則實數(shù)λ的最大值為（）A．1 B． C．2 D．8．已知邊長為4的正方形ABCD的對角線的交點為O，以O為圓心，6為半徑作圓；若點E在圓O上運動，則（）A．?+?+?+?＝72 B．?+?＝56 C．?+?+?+?＝36 D．?+?＝289．已知△ABC中，D，E分別是線段BC，AC的中點，AD與BE交于點O，且∠BOC＝90°，若BC＝2，則△ABC周長的最大值為（）A．2+2 B．2+ C．2+2 D．2+410．過雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）上一點P作雙曲線C的切線l，若直線OP與直線l的斜率均存在，且斜率之積為，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．11．函數(shù)f（x）＝5|sin2x﹣sin|x||﹣1在x∈[﹣，]上的零點個數(shù)為（）A．12 B．14 C．16 D．1812．已知函數(shù)f（x）＝xlnx+2x，若?k∈Z，使得＞k+1在x∈（2，+∞）恒成立，則k的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（共4小題）.13．若實數(shù)x、y滿足則z＝x﹣4y的最大值為．14．已知m≥1，若函數(shù)f（x）＝有且僅有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍為．15．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a10＝32，S5＝55，則Sn＝．16．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于點M（x1，y1），N（x2，y2），若點P（x2，﹣y2），且S△MPF＝10，則直線MN的斜率為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知等比數(shù)列{an）的前n項和為Sn，且a3＝，S3＝．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若an＞0，求數(shù)列{}的前n項和Tn．18．已知四棱錐S﹣ABCD如圖所示，其中△SAB，△SBC均為等邊三角形，二面角A﹣BS﹣C為直二面角，點M為線段BC的中點，點N是線段SD上靠近D的三等分點，BC∥平面SAD．（1）求證：AD⊥SM；（2）若AD＝BC，求直線AN與平面BNC所成角的正弦值．19．在某媒體上有這樣一句話：買車一時爽，一直養(yǎng)車一直爽，講的是盲目買車的人最終會成為一個不折不扣的車奴；其實，買車之后的花費主要由加油費、停車費、保險費、保養(yǎng)費、維修費等幾部分構成；為了了解新車車主5年以來的花費，打破年輕人買車的恐懼感，研究人員在2016年對A地區(qū)購買新車的400名車主進行跟蹤調查，并將他們5年以來的新車花費統(tǒng)計如表所示：5年花費（萬元）[3，5）[5，7）[7，9）[9，11）[11，13）[13，15]人數(shù)60100120406020（1）求這400名車主5年新車花費的平均數(shù)以及方差（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）；（2）以頻率估計概率，假設A地區(qū)2016年共有10000名新車車主，若所有車主5年內新車花費ξ可視為服從正態(tài)分布N（μ，σ2），μ，σ2分別為（1）中的平均數(shù)以及方差s2，試估計2016年新車車主5年以來新車花費在[5.2，13.6）的人數(shù)；（3）以頻率估計概率，若從2016年A地區(qū)所有的新車車主中隨機抽取4人，記花費在[9，15]的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：≈1.4；若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．20．已知橢圓C：+＝1的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．（1）若直線l的傾斜角為45°，求|AB|的值；（2）記橢圓C的右頂點為D，若點M（9，yM），N（9．yN）分別在直線AD，BD上，求證：FM⊥FN．21．已知函數(shù)f（x）＝ex（mex﹣1）+x，其中m＞0．（1）若函數(shù)f（x）有2個極值點，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若關于x的方程f（x）＝a僅有1個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22．已知平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C′的極坐標方程為ρ2﹣16ρcosα+32＝0．（1）求曲線C的普通方程以及曲線C′的直角坐標方程；（2）已知過原點的直線l與曲線C僅有1個交點M，若l與曲線C'也僅有1個交點N，求點M的極坐標．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|ax﹣3|+a|x﹣2|的圖象關于原點對稱．（1）求不等式f（x）＞x+2的解集；（2）若關于x的不等式f（x）≤mx2+恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案一、選擇題（共12小題）.1．設集合A＝{y|y＝}，B＝{x|（3x﹣4）（x+1）＞0}，則A∩（?RB）＝（）A．[0，] B．[，] C．[0，） D．[，）解：∵，∴，．故選：A．2．若復數(shù)z滿足|z﹣2﹣3i|＝5，則復數(shù)z的共軛復數(shù)不可能為（）A．5﹣7i B．﹣2﹣6i C．5+2i D．2﹣8i解：設z＝a+bi，因為復數(shù)z滿足|z﹣2﹣3i|＝5，則有（a﹣2）2+（b﹣3）2＝25①，對于A，若復數(shù)z的共軛復數(shù)為5﹣7i，則z＝5+7i，故a＝5，b＝7，符合①式；對于B，若復數(shù)z的共軛復數(shù)為﹣2﹣6i，則z＝﹣2+6i，故a＝﹣2，b＝6，符合①式；對于C，若復數(shù)z的共軛復數(shù)為5+2i，則z＝5﹣2i，故a＝5，b＝﹣2，不符合①式；對于D，若復數(shù)z的共軛復數(shù)為2﹣8i，則z＝2+8i，故a＝2，b＝8，符合①式．故選：C．3．根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示，我國2010～2019年研究生在校女生人數(shù)及所占比重如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．2010～2019年，我國研究生在校女生人數(shù)逐漸增加 B．可以預測2020年，我國研究生在校女生人數(shù)將不低于144萬 C．2017年我國研究生在校女生人數(shù)少于男生人數(shù) D．2019年我國研究生在?？側藬?shù)不超過285萬解：對于A，通過統(tǒng)計圖可以得到女生人數(shù)從2010年的73.6萬人增長到了2019年的144.8萬人，每年都在逐漸增加，故選項A正確；對于B，根據(jù)統(tǒng)計圖中增長的趨勢，預測2020年人數(shù)比2019年多，也就是說會高于144，8萬人，故不低于144萬人，故選項B正確；由統(tǒng)計圖可知，2017年女生所占比例為48.4%，小于50%，即女生的人數(shù)少于男生的人數(shù)，故選項C正確；對于D，2019年女生總數(shù)為144.8萬人，占比例為50.6%，故總人數(shù)為286.2萬人，超過285萬人，故選項D錯誤．故選：D．4．設a＝log15，b＝log30，c＝log35，則（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a解：，，，∵0＜log53＜log56＜log57，∴，∴，∴a＜b＜c．故選：A．5．小學數(shù)學在“認識圖形”這一章節(jié)中，一般從生活實物人手，抽象出數(shù)學圖形，在學生正確認識圖形特征的基礎上，通過習題幫助學生辨認所學圖形；例如在小學數(shù)學課本中有這樣一個2×1的方格表（如圖所示），它由2個單位小方格組成，其中每個小方格均為正方形；若在這2×1方格表的6個頂點中任取2個頂點，則這2個頂點構成的線段長度不超過的概率為（）A． B． C． D．解：作出圖形如圖所示，因為小正方形的邊長為1，則AE＝BF＝EC＝BD＝，6個頂點中任取2個頂點的取法為：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15種，其中AB，BC，CD，DE，EF，AF，BE的長度為1，AE，BF，EC，BD的長度為，所以線段長度不超過的取法共有7+4＝11種，所以所求的概率為．故選：B．6．運行如圖所示的程序框圖，若為了輸出第一個大于50的S的值，則判斷框中可以填（）A．b＜13？ B．b＜21？ C．b＜33？ D．b＜34？解：模擬程序的運行，可得：a＝1，b＝1，i＝3，S＝2，c＝2，S＝4，a＝1，b＝2滿足循環(huán)的條件，i＝4，c＝3，S＝7，a＝2，b＝3滿足循環(huán)的條件，i＝5，c＝5，S＝12，a＝3，b＝5滿足循環(huán)的條件，i＝6，c＝8，S＝20，a＝5，b＝8滿足循環(huán)的條件，i＝7，c＝13，S＝33，a＝8，b＝13滿足循環(huán)的條件，i＝8，c＝21，S＝54，a＝13，b＝21由題意，此時應該不滿足循環(huán)的條件，退出循環(huán)輸出S的值為54，可得判斷框內的條件為b＜21？．故選：B．7．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，點M在線段AC上除A，C的位置運動，現(xiàn)沿BM進行翻折，使得線段AB上存在一點N，滿足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，則實數(shù)λ的最大值為（）A．1 B． C．2 D．解：因為AB＝2BC＝4，AC＝2，且點M在線段AB上除A、C的位置運動，要使AB上存在一點N，滿足CN⊥平面ABM，使NB＞λ恒成立，則當M恰好為C點時，為臨界條件（M不可為C點，但可用來計算），即CN⊥AB，且NB＝λ，因為AB＝4，可得CN2＝4﹣λ2，CN2＝（2）2﹣（4﹣λ）2，所以4﹣λ2＝12﹣（4﹣λ）2，解得λ＝1，所以λ的最大值為1．故選：A．8．已知邊長為4的正方形ABCD的對角線的交點為O，以O為圓心，6為半徑作圓；若點E在圓O上運動，則（）A．?+?+?+?＝72 B．?+?＝56 C．?+?+?+?＝36 D．?+?＝28解：建立坐標系如圖：則A（﹣2，2），B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2），D（2，2），E（6cosθ，6sinθ），則＝（﹣2﹣6cosθ，2﹣6sinθ），＝（﹣2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ），＝（2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ），＝（2﹣6cosθ，2﹣6sinθ），則?＝（﹣2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）?（﹣2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）＝（﹣2﹣6cosθ）2+（2﹣6sinθ）（﹣2﹣6sinθ）＝36+24cosθ，?＝（﹣2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）?（2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）＝（﹣2﹣6cosθ）（2﹣6cosθ）+（﹣2﹣6sinθ）2＝36+24sinθ，?＝（2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）?（2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）＝（2﹣6cosθ）2+（2﹣6sinθ）（﹣2﹣6sinθ）＝36﹣24cosθ，?＝（2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）?（﹣2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）＝（2﹣6sinθ）2+（2﹣6cosθ）（﹣2﹣6cosθ）＝36﹣24sinθ，則?+?+?+?＝36+24cosθ+36﹣24cosθ+36+24sinθ+36﹣24sinθ＝144，故AC錯誤，?＝（﹣2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）?（2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）＝（﹣2﹣6cosθ）（2﹣6cosθ）+（2﹣6sinθ）（﹣2﹣6sinθ）＝36cos2θ﹣4+36sin2θ﹣4＝36﹣8＝28，?＝（﹣2﹣6cosθ，﹣2﹣6sinθ）?（2﹣6cosθ，2﹣6sinθ）＝（﹣2﹣6cosθ）（2﹣6cosθ）+（﹣2﹣6sinθ）（2﹣6sinθ）＝36cos2θ﹣4+36sin2θ﹣4＝36﹣8＝28，則?+?＝28+28＝56，故D錯誤，B正確，故選：B．9．已知△ABC中，D，E分別是線段BC，AC的中點，AD與BE交于點O，且∠BOC＝90°，若BC＝2，則△ABC周長的最大值為（）A．2+2 B．2+ C．2+2 D．2+4解：因為∠BOC＝90°，故OD＝BC＝1，則AD＝3OD＝3；而AD2＝（AB2+AC2+2AB?AC?cosA）＝（AB2+AC2+2AB?AC?）＝（2AB2+2AC2﹣BC2），故AB2+AC2＝2AD2+BC2＝20，則AB+AC≤＝2，當且僅當AB＝AC時等號成立，故△ABC周長的最大值為2+2．故選：A．10．過雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）上一點P作雙曲線C的切線l，若直線OP與直線l的斜率均存在，且斜率之積為，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．解：設點P的坐標為（x0，y0），則直線OP的斜率為，直線l的方程為，其斜率為，∵直線OP與直線l的斜率之積為，∴?＝，即＝，∴離心率e＝＝＝＝．故選：C．11．函數(shù)f（x）＝5|sin2x﹣sin|x||﹣1在x∈[﹣，]上的零點個數(shù)為（）A．12 B．14 C．16 D．18解：由題意得：f（﹣x）＝5|sin2x﹣sin|﹣x||﹣1＝f（x），故f（x）是偶函數(shù)，故只需討論f（x）在[0，]上的零點個數(shù)即可，此時f（x）＝5|sin2x﹣sinx|﹣1＝5|sinx（sinx﹣1）|﹣1，∵sinx﹣1≤0一定成立，∴f（x）＝，令sinx＝t，則得到﹣5t2+5t﹣1＝0或5t2﹣5t﹣1＝0，解得：t＝或t＝，又﹣1≤t≤1，故t＝，結合y＝sinx在[0，π]和[2π，]上的圖像，可知直線t＝與y＝sinx在[0，π]和[2π，]上有6個交點，t＝與y＝sinx在[π，2π]上有2個交點，故在[0，]上有8個交點，故在[﹣，]上有16個交點，故選：C．12．已知函數(shù)f（x）＝xlnx+2x，若?k∈Z，使得＞k+1在x∈（2，+∞）恒成立，則k的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：因為?k∈Z，使得＞k+1在x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）+2k＞kx+x在x∈（2，+∞）恒成立，所以k＜＝＝（x＞2），令g（x）＝（x＞2），則g′（x）＝，令h（x）＝x﹣2lnx﹣4，則h′（x）＝1﹣＝，當x＞2時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，因為h（8）＝4﹣2ln8＜0，h（9）＝5﹣2ln9＞0，所以?x0∈（8，9）使得h（x0）＝0，即x0﹣2lnx0﹣4＝0，所以lnx0＝﹣2，所以當x∈（2，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，所以g（x）min＝g（x0）＝＝＝﹣∈（4，），又因為k∈Z，所以kmax＝4，故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)x、y滿足則z＝x﹣4y的最大值為﹣2．解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：A（﹣，1），B（2，1），C（，），作直線l：y＝x的平行線，當直線l，經過點B時，直線y＝x﹣z的縱截距最小，此時z最大．此時zmax＝2﹣4×1＝﹣2，故答案為：﹣2．14．已知m≥1，若函數(shù)f（x）＝有且僅有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍為{m|1≤m≤2或m≥3}．解：在實數(shù)域上解方程：2x2﹣5x﹣3＝0可得：，函數(shù)y＝log2（x﹣1）在定義域內單調遞增，且x＝3時，y＝1＞0，結合函數(shù)f（x）的解析式可知，當m≥3時，函數(shù)有2個零點，當2＜m＜3時，y＝log2（x﹣1）＞0，故此時函數(shù)f（x）只有一個零點，當1≤m≤2時，由2x2﹣5x﹣3＝0可得，由log2（x﹣1）＝0可得x＝2，此時函數(shù)有兩個零點，綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是：{m|1≤m≤2或m≥3}．故答案為：{m|1≤m≤2或m≥3}．15．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a10＝32，S5＝55，則Sn＝．解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題設可得：，解得：，∴Sn＝5n+×3＝，故答案為：．16．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線與拋物線C交于點M（x1，y1），N（x2，y2），若點P（x2，﹣y2），且S△MPF＝10，則直線MN的斜率為±．解：拋物線C的焦點坐標為F（1，0），設直線MN的方程為x＝my+1，聯(lián)立，得y2﹣4my﹣4＝0，所以，所以|MF|＝＝＝|y1|，點P到直線MN的距離d＝＝＝，所以S△MPF＝?|MN|?d＝?|y1|?＝|my1y2|＝|﹣4m|＝10，所以m＝±，故答案為：±．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知等比數(shù)列{an）的前n項和為Sn，且a3＝，S3＝．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若an＞0，求數(shù)列{}的前n項和Tn．解：（1）由題意可得，解得或，故通項公式為an＝（）n﹣1，或an＝×（﹣）n﹣1；（2）由an＞0，則an＝（）n﹣1，∴＝n?2n﹣1，∴Tn＝1×20+2×21+3×22+…+n?2n﹣1，①，2Tn＝1×21+2×22+3×23+…+n?2n，①，∴﹣Tn＝1+21+22+…+2n﹣1﹣n?2n＝﹣n?2n＝（1﹣n）2n﹣1，∴Tn＝（n﹣1）2n+1．18．已知四棱錐S﹣ABCD如圖所示，其中△SAB，△SBC均為等邊三角形，二面角A﹣BS﹣C為直二面角，點M為線段BC的中點，點N是線段SD上靠近D的三等分點，BC∥平面SAD．（1）求證：AD⊥SM；（2）若AD＝BC，求直線AN與平面BNC所成角的正弦值．解：（1）證明：∵BC∥平面SAD，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面SAD＝AD，∴BC∥AD，∵△SBC為等邊三角形，且BM＝CM，∴SM⊥BC，∴SM⊥AD．（2）取SB的中點O，連接AO，CO，∵△SAB，△SBC均為等邊三角形，∴AO⊥SB，CO⊥SB，∵二面角A﹣BS﹣C為直二面角，∴平面ABS⊥平面CBS，∵AO?平面ABS，平面ABS∩平面CBS＝BS，∴AO⊥平面SBC，∴以O為坐標原點，OB，OC，OA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設AB＝2，則S（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A（0，0，），∴＝（﹣1，，0），＝＝（﹣），∴D（﹣），＝（），∴＝＝（），∴N（﹣），∴＝（﹣1，，0），＝（﹣，﹣，），＝（﹣），設平面BNC的法向量＝（x，y，z），則，令y＝1，得＝（），設直線AN與平面BNC所成角為θ，則直線AN與平面BNC所成角的正弦值為：sinθ＝＝．19．在某媒體上有這樣一句話：買車一時爽，一直養(yǎng)車一直爽，講的是盲目買車的人最終會成為一個不折不扣的車奴；其實，買車之后的花費主要由加油費、停車費、保險費、保養(yǎng)費、維修費等幾部分構成；為了了解新車車主5年以來的花費，打破年輕人買車的恐懼感，研究人員在2016年對A地區(qū)購買新車的400名車主進行跟蹤調查，并將他們5年以來的新車花費統(tǒng)計如表所示：5年花費（萬元）[3，5）[5，7）[7，9）[9，11）[11，13）[13，15]人數(shù)60100120406020（1）求這400名車主5年新車花費的平均數(shù)以及方差（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）；（2）以頻率估計概率，假設A地區(qū)2016年共有10000名新車車主，若所有車主5年內新車花費ξ可視為服從正態(tài)分布N（μ，σ2），μ，σ2分別為（1）中的平均數(shù)以及方差s2，試估計2016年新車車主5年以來新車花費在[5.2，13.6）的人數(shù)；（3）以頻率估計概率，若從2016年A地區(qū)所有的新車車主中隨機抽取4人，記花費在[9，15]的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：≈1.4；若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．解：（1）這400名車主5年新車花費的平均數(shù)為：+12×，方差為s+（8﹣8）+（14﹣8），（2）由（1）可知，μ＝8，σ2＝8，所以σ＝2≈2.8，則P≤ξ＜13.6）＝P（μ﹣σ≤ξ＜μ+2σ）＝，故所求人數(shù)為100000×0.8185＝81850；（3）由題意可知，X～B（4，），P（X＝0）＝（），P（X＝1）＝C，P（X＝2）＝C，P（X＝3）＝C，P（X＝4）＝（）4＝，X的分布列如下：X01234P則E（X）＝4×．20．已知橢圓C：+＝1的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．（1）若直線l的傾斜角為45°，求|AB|的值；（2）記橢圓C的右頂點為D，若點M（9，yM），N（9．yN）分別在直線AD，BD上，求證：FM⊥FN．解：（1）由橢圓的方程可得右焦點F（1，0），由題意可得直線l的方程為：y＝x﹣1，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：17x2﹣18x﹣63＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝﹣，所以弦長|AB|＝?|x1﹣x2|＝?＝?＝；（2）證明：由題意可得右頂點D（3，0），當直線l的斜率不存在時x＝1，可以求得M（9，﹣8），N（9，8），所以kFM?kFN＝?＝﹣1，所以可證得FM⊥FN；當直線l的斜率存在時設直線l的方程為：y＝k（x﹣1），設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72＝0，x1+x2＝，x1x2＝，y1y2＝k（x1﹣1）?k（x2﹣1）＝k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2，由D，A，M共線，＝，解得yM＝，由D，B，N共線，＝，解得yN＝，故直線FM，F(xiàn)N的斜率之積kFM?kFN＝?＝＝＝＝＝﹣1，所以可證得：FM⊥FN21．已知函數(shù)f（x）＝ex（mex﹣1）+x，其中m＞0．（1）若函數(shù)f（x）有2個極值點，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若關于x的方程f（x）＝a僅有1個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）依題意，f′（x）＝2me2x﹣ex+1，令t＝ex，則由f′（x）＝0，可得2mt2﹣t+1＝0，則△＝1﹣8m，當m≥時，△≤0，此時f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，無極值點，不合題意，當0＜m＜時，△＞0，f′（x）＝0，得ex＝，則令x1＝ln，x2＝ln，則當x∈（﹣∞，x1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，所以函數(shù)f（x）有兩個極值點，符合題意，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為（0，）．（2）依題意，ex（mex﹣1）+x＝a，記g（x）＝ex（mex﹣1）+x﹣a，則g′（x）＝f′（x），1°由（1）可知當m≥時，g′（x）≥0，則函數(shù)g（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，可知當x→﹣∞時，g（x）→﹣∞；當x→+∞時，g（x）→+∞，所以當m≥時，函數(shù)g（x）恰有1個零點，此時a∈R．2°當0＜m＜時，g（x）在（﹣∞，x1）上單調遞增，在（x1，x2）上單調遞減，在（x2，+∞）上單調遞增，g′（x1）＝2me﹣e+1＝g′（x2）＝2me﹣e+1＝0，則m＝＝，所以[g（x）]極大值＝g（x1）＝me﹣e+x1﹣a＝﹣+x1﹣﹣a，[g（x）]極小值＝g（x2）＝me﹣e+x2﹣a＝﹣+x2﹣﹣a，因為當x→﹣∞時，g（x）→﹣∞；當x→+∞時，