圓的方程（七大考點(diǎn)）

圓的方程，能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.理解圓的一般方程及其特點(diǎn)，掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化.3.掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系并能解決相關(guān)問題.4.會(huì)求圓的一般方程以及與圓有關(guān)的簡單的軌跡方程一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：我們把方程稱為圓心為,半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3．幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程條件方程形式過原點(diǎn)圓心在原點(diǎn)圓心在x軸上圓心在y軸上圓心在x軸上且過原點(diǎn)圓心在y軸上且過原點(diǎn)與x軸相切與y軸相切二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)在圓外；（2）點(diǎn)在圓上；（3）點(diǎn)在圓內(nèi).三、圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的最大、最小距離設(shè)圓心到定點(diǎn)的距離為,圓的半徑為,圓上的動(dòng)點(diǎn)為:（1）若點(diǎn)在圓外,則;（2）若點(diǎn)在圓上,則;（3）若點(diǎn)在圓內(nèi),則.綜上,.四、圓的一般方程1．圓的一般方程當(dāng)時(shí),方程表示一個(gè)圓．我們把方程叫做圓的一般方程．2．對(duì)方程的說明對(duì)方程配方得，與0的大小關(guān)系對(duì)方程圖形的影響如下表：條件圖形不表示任何圖形表示一個(gè)點(diǎn)表示以為圓心,以為半徑的圓考點(diǎn)01圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓心坐標(biāo)為，并經(jīng)過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：D.2．（多選）若圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由題意可知圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，由求得或，再根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】∵圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，∴圓心在直線上．設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由，解得或，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故選：AD．3．已知點(diǎn)，，則以線段AB為直徑的圓的方程為.【答案】【分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑可得答案.【詳解】圓心坐標(biāo)為，，以線段AB為直徑的圓的方程為.故答案為：.4．圓的圓心為，半徑長為.【答案】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解.【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，圓心為，半徑．故答案為：.5．已知圓C的圓心在y軸上，且經(jīng)過，兩點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】.【分析】根據(jù)給定條件，求出線段的中垂線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解作答.【詳解】點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然線段的中垂線過點(diǎn)，而點(diǎn)在y軸上，因此圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.6．的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，求的外接圓的方程.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法或幾何法求解即可.【詳解】解法一（待定系數(shù)法）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得所以外接圓的方程為．解法二（幾何法）

,易知，是直角三角形，，所以圓心是斜邊的中點(diǎn)，半徑是斜邊長的一半，即，所以外接圓的方程為．7．求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)，圓心為點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在y軸上.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出即圓的半徑，再根據(jù)圓心坐標(biāo)，即可得到圓的方程；（2）利用待定系數(shù)法即可求解.【詳解】（1）圓的半徑長為，圓心為點(diǎn)，所以圓的方程為．（2）設(shè)所求圓的方程是，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在所求圓上，依題意得解得所以所求圓的方程是.考點(diǎn)02圓的一般方程8．若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或2【答案】A【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心，進(jìn)而表示出圓心到直線的距離，結(jié)合已知條件，列出關(guān)系式，求解即可得出答案.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，圓心為，半徑.因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，，即，所以，所以或.故選：A.9．過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到方程組，求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的方程為，由題意知,圓過點(diǎn)，和，所以，解得，所以所求圓的方程為.故選：A10．過三點(diǎn)的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，整理可得，解得，故所求的圓的一般方程為，故選：D．11．已知圓的半徑為3，則.【答案】【分析】化簡圓的方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意列出方程，即可求解.【詳解】將圓的方程轉(zhuǎn)化為，因?yàn)閳A的半徑為3，所以，即.故答案為：.12．若l是經(jīng)過點(diǎn)和圓的圓心的直線，則l在y軸上的截距是．【答案】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心，進(jìn)而根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程，化簡即可得出答案.【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，所以圓心為.代入直線的兩點(diǎn)式方程，整理可得.所以，l在y軸上的截距是.故答案為：.13．圓心在y軸上，經(jīng)過點(diǎn)且與x軸相切的圓的方程是．【答案】【分析】先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用條件建立方程求出參數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，所以把點(diǎn)代入圓的方程，得，整理得，∴，所以圓的方程為，即，故答案為：.14．已知，，，，判斷這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上．【答案】A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上【分析】方法一：根據(jù)題意可知：A，B，C三點(diǎn)不共線，利用圓的一般方程求過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程，代入點(diǎn)檢驗(yàn)即可；方法二：根據(jù)題意可知，則AC是過A，B，C三點(diǎn)的圓的直徑，進(jìn)而可得圓心和半徑，進(jìn)而求檢驗(yàn)即可.【詳解】方法一：線段AB，BC的斜率分別是，，得，即A，B，C三點(diǎn)不共線，設(shè)A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在圓上，所以，解得，所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入圓的方程得，即點(diǎn)D在圓上，故A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．方法二：因?yàn)?，則，所以AC是過A，B，C三點(diǎn)的圓的直徑，故圓的半徑為，可知線段AC的中點(diǎn)即為圓心，則，可得點(diǎn)D在圓M上，所以A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．考點(diǎn)03二元二次方程與圓15．“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件是可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠?，即表示圓，等價(jià)于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A16．（多選）已知方程，下列敘述正確的是（

）A．方程表示的是圓B．方程表示的圓的圓心在x軸上C．方程表示的圓的圓心在y軸上D．當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，半徑為1的圓【答案】BD【分析】根據(jù)圓的一般方程的條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，，，由方程表示圓的條件得，即，解得，所以只有當(dāng)時(shí)才表示圓，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B、C：因?yàn)?，，若方程表示圓，圓心坐標(biāo)為，圓心在x軸上，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，半徑，故D正確；故選：BD.17．（多選）已知曲線（

）A．若，則C是圓B．若，，則C是圓C．若，，則C是直線D．若，，則C是直線【答案】BC【分析】根據(jù)圓的一般方程對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，若，則C是圓；若，則C是點(diǎn)；若，則C不存在.故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，且，則C是圓，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，且，則C是直線，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，若，則表示一元二次方程，若，則表示拋物線，故D錯(cuò)誤.故選：BC18．若表示圓，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】依題意可得，解得，再代入檢驗(yàn).【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得或，當(dāng)時(shí)方程，即，不表示任何圖形，故舍去；當(dāng)時(shí)方程，即，表示以為圓心，為半徑的圓，符合題意；故答案為：19．已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當(dāng)t為時(shí)，方程表示的圓的半徑最大．【答案】【分析】變換得到，得到，，得到答案.【詳解】即，，解得，設(shè)圓的半徑為r，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以．故答案為：．20．已知m為實(shí)數(shù)，方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】【分析】先依據(jù)題給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)m的值【詳解】∵表示圓，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，原方程化為即：，符合題意，當(dāng)時(shí)，原方程化為即：，不是圓的方程，∴不合題意，故答案為：21．下列方程是否表示圓，若表示圓，寫出圓心坐標(biāo)和半徑．(1)；(2)；(3)；(4)（）．【答案】(1)方程不表示圓(2)方程不表示圓(3)方程表示圓，圓心坐標(biāo)為，半徑(4)方程不表示圓【分析】根據(jù)圓的一般方程的條件，對(duì)各個(gè)題進(jìn)行逐一判斷．【詳解】（1）中與的系數(shù)不相同，故原方程不表示圓.（2）中含有項(xiàng)，故原方程不表示圓.（3）方法一：因?yàn)?，所以方程表示圓，所以圓心坐標(biāo)為，即，半徑；方法二：方程可化為，所以方程表示以為圓心，為半徑的圓．（4）因?yàn)?，，，則，所以方程不表示圓．考點(diǎn)04點(diǎn)與圓的位置關(guān)系22．若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圓的條件和點(diǎn)和圓的位置關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.【詳解】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點(diǎn)在圓的外部可知：，得.故.故選：C23．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由關(guān)于的二次方程表示圓可得或，又由點(diǎn)在圓內(nèi)可得，取交集即可.【詳解】解：由題可知，解得或，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.24．若坐標(biāo)原點(diǎn)O在方程所表示的圓的外部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列不等式，即可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，解得；又因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，則，解得；所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：.25．若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】由題意可得關(guān)于的不等式，求解得答案．【詳解】點(diǎn)在圓外，，且，解得或．實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.考點(diǎn)05圓的對(duì)稱問題26．已知半徑為3的圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系列出方程組，求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合半徑為3，即可求解.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡得①再由的中點(diǎn)在直線上，，化簡得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，所以半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C27．已知圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，再求得關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，得到圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.【詳解】由題意知,圓的圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，且兩圓半徑相等，因?yàn)閳A，即，所以圓心，半徑為，設(shè)圓關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以圓的方程為，即.故選：A.28．已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)所求圓的圓心，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以已知圓的圓心為，半徑，因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，半徑也為1，設(shè)可得，解得，所以，圓的方程是，故選：B29．已知圓和直線.若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出圓的圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，即為圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的方程．【詳解】圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心與圓關(guān)于對(duì)稱可得，化簡得，解得又兩圓半徑相等，故圓的方程為故選：B30．點(diǎn)M、N在圓上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑的表達(dá)式，利用已知條件，得到圓心在直線上，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，得，所以圓心為，半徑為，由題意可得直線經(jīng)過圓心，故有，即，所以半徑為，當(dāng)時(shí)，圓C的半徑的最小值為.故選：C.31．如果圓關(guān)于直線對(duì)稱，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓心在直線上，代入計(jì)算得到答案.【詳解】由圓的對(duì)稱性知，圓心在直線上，故有，即.故選：B32．（多選）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的圓心是B．圓的半徑是2C．D．的取值范圍是【答案】ABCD【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出A、B；根據(jù)已知可知圓心在直線上，代入即可得出C；根據(jù)C的結(jié)論得，代入根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A、B，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以，圓心為，半徑為，故A、B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，直線經(jīng)過圓心，所以，整理可得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由C知，所以，所以的取值范圍是，故D項(xiàng)正確.故選：ABCD.考點(diǎn)06與圓有關(guān)的軌跡問題33．已知A、B是空間中的兩個(gè)定點(diǎn)，若△PAB為正三角形，則點(diǎn)P的軌跡為（

）A．兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓 C．一個(gè)平面 D．一個(gè)球面【答案】B【分析】先確定A、B兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)P坐標(biāo)的變化規(guī)律即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，則因?yàn)椤鱌AB為正三角形，所以，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，，，綜上可得點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓.故選：B34．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，

所以，，記圓心為，當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，，所以，.故答案為：.35．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為，端點(diǎn)A在圓C：上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．【答案】，點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓【分析】設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)A，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得.代入圓的方程，整理即可得出，即可得出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，又，且P為線段AB的中點(diǎn)，所以，則.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓C：上運(yùn)動(dòng)，即有，代入可得，，整理可得，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得.所以，中點(diǎn)P的軌跡方程為，該軌跡為以為圓心，1為半徑的圓.36．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問題：在平面上給定不同兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱之為“阿波羅尼斯圓”．若且，則該圓的半徑為．【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系求出圓的方程作答.【詳解】以點(diǎn)B為原點(diǎn)，射線BA為x軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則，設(shè)，由，得，化簡整理得，因此點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，所以該圓的半徑為4.故答案為：437．已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離比值為，求點(diǎn)M的軌跡．【答案】軌跡是圓心為，半徑為的圓．【分析】設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)是滿足條件的任意一點(diǎn)，由題意知，即，兩邊平方并化簡得，配方得，故所求軌跡是圓心為，半徑為的圓．38．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍．求點(diǎn)P的軌跡方程；【答案】；【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式化簡整理，即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍，可得，即，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為；考點(diǎn)07距離的最值(范圍)39．已知點(diǎn)與圓，P是圓C上任意一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】5【分析】先判斷點(diǎn)在圓外，然后可得的最小值為【詳解】圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，所以的最小值為，故答案為：540．已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡方程，從而根據(jù)點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離最值的求解方法求解即可.【詳解】解法1：如圖，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形，設(shè)的中點(diǎn)為S，連接，則，所以，又為直角三角形，所以，故①，設(shè)，則由①可得，整理得：，從而點(diǎn)S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)部，所以，因?yàn)?，所以；解?：如圖，因?yàn)?所以，故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，所以，從而，故Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)，所以.故答案為：.41．點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，那么的最小值為.【答案】【分析】易知直線過定點(diǎn)，再由在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，得到，進(jìn)而得到的軌跡是以為直徑的圓求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且，所以的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為，半徑，所以，故答案為：.42．已知圓，點(diǎn)，若圓C上存在兩點(diǎn)A、B，使得，則t的取值范圍是.【答案】【分析】由題可得，進(jìn)而可得點(diǎn)P到圓上的點(diǎn)的最小距離應(yīng)小于或等于半徑，即可求解．【詳解】由題意可得圓心，半徑，因?yàn)辄c(diǎn)，所以點(diǎn)在直線上，由，可得，即，

若圓C上存在兩點(diǎn)使得，即，則點(diǎn)P到圓上的點(diǎn)的最小距離應(yīng)小于或等于半徑，則有，解得，故答案為：．43．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】由得，所以點(diǎn)是以為圓心，半徑為上的圓上的點(diǎn)，表示點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)間距離的平方，，所以的最大值為.故答案為：44．過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，已知點(diǎn)，則的最大值為．【答案】/【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得直線所過定點(diǎn)，可知點(diǎn)軌跡為圓，并求得圓的方程；根據(jù)圓上點(diǎn)到直線距離最大值的求法可求得結(jié)果.【詳解】直線方程可化為：，由得：，直線恒過定點(diǎn)，與直線垂直，垂足為，點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，則圓心，半徑，.故答案為：.基礎(chǔ)過關(guān)練1．若直線：平分圓：的面積，則的最小值為（

）．A．8 B． C．4 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意可知：直線：過圓心，進(jìn)而可得，再利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：圓：的圓心為，若直線：平分圓：的面積，則直線：過圓心，可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：A.2．給定圓O及圓內(nèi)一點(diǎn)P，設(shè)A，B是圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的中點(diǎn)的軌跡為（

）A．一個(gè)圓 B．一個(gè)橢圓 C．一段雙曲線 D．一段拋物線【答案】A【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于線段的中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連結(jié)．根據(jù)題意，四邊形為矩形，由矩形的性質(zhì)可得，故進(jìn)而點(diǎn)M的軌跡為圓，故選：A3．圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）．A．3 B．5 C． D．【答案】B【分析】求出圓心到直線的距離加上圓的半徑即可得答案【詳解】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故選：B4．設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（）A．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)C．經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為4【答案】AB【分析】對(duì)于AD：由題意可知：圓，的圓心，半徑，進(jìn)而分析判斷；對(duì)于CD：分別將點(diǎn)，代入方程，通過解的個(gè)數(shù)分析判斷.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑.對(duì)于選項(xiàng)A：不論k如何變化，圓心始終在直線上，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，整理得，因?yàn)?，可知方程無解，所以所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，整理得，因?yàn)椋芍匠逃袃蓚€(gè)不同的解，所以經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榘霃?，所以所有圓的面積均為，故D錯(cuò)誤；故答案為：AB.5．（多選）已知某圓圓心C在x軸上，半徑為5，且在y軸上截得線段AB的長為8，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用勾股定理求出的長，從而確定圓心的坐標(biāo)，寫出圓的方程即可.【詳解】由題意設(shè)，，所以，在中，如圖所示，有兩種情況：

故圓心C的坐標(biāo)為或，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：AB.6．（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓條件，逐項(xiàng)判定，即可求解?！驹斀狻扛鶕?jù)二元二次方程表示圓的條件，對(duì)于A中，方程，可得，所以方程是圓的一般方程；對(duì)于B中，方程，可得，所以方程不是圓的一般方程；對(duì)于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，所以方程不是圓的一般方程；對(duì)于D中，方程中，存在項(xiàng)，所以方程不是圓的一般方程.故選：BCD.7．圓心為，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的方程是.【答案】【分析】求出圓的半徑后可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由條件知，，故圓的方程為．故答案為：.8．圓心在第二象限，半徑為3，且與兩條坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】根據(jù)圓心和半徑即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可得所求的圓半徑為3,由于兩條坐標(biāo)軸均相切，且圓心在第二象限，故圓心為，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；故答案為：9．過點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)B，則線段中點(diǎn)P的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)B為，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)B為，由題意，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，故，化簡得.即線段AB中點(diǎn)P的軌跡方程為.故答案為：10．判斷下列二元二次方程是否表示圓，如果是，請(qǐng)求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)表示圓，圓心坐標(biāo)是，半徑是2的圓(2)答案見解析(3)方程不表示任何圖形．【分析】利用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解.【詳解】（1）方程可變形為，表示圓心坐標(biāo)是，半徑是2的圓．（2）方程可變形為．當(dāng)時(shí)，方程表示點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程表示圓心坐標(biāo)是，半徑是的圓．（3）方程可變形為，即，方程不表示任何圖形．11．寫出圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)是否在這個(gè)圓上．若該點(diǎn)不在圓上,說明該點(diǎn)在圓外還是在圓內(nèi)？【答案】答案見解析【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，驗(yàn)證是否在這個(gè)圓上．根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離判斷該點(diǎn)在圓外還是在圓內(nèi).【詳解】圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊相等,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程,所以點(diǎn)在這個(gè)圓上．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊不相等,點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足圓的方程,所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上．又因?yàn)辄c(diǎn)到圓心A的距離．故點(diǎn)在圓內(nèi)．

12．已知圓C過點(diǎn).(1)求圓C的方程；(2)求圓C關(guān)于直線對(duì)稱圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，代入點(diǎn)，得到方程組，解出即可；（2）設(shè)所求圓的圓心為，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】（1）設(shè)圓C：，其中，則，解得，所以圓C的一般方程是：，化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：.（2）設(shè)所求圓的圓心為，由（1）知圓的圓心，則由已知得，解得，故圓C關(guān)于直線對(duì)稱圓的方程為.能力提升練1．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再求出點(diǎn)P到直線距離的最大值作答.【詳解】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點(diǎn)到直線：的距離，而點(diǎn)在圓上，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D

2．點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，得出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得，點(diǎn)在圓上，則，即.故選：A.3．已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由的最小值為的最小值求解.【詳解】解：圓：與圓：的圓心分別為：，由題意得的最小值為的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，如圖所示：

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，所以的最小值為，故選：B4．（多選）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿足＝.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（）A．軌跡C的方程為（x＋4）2＋y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得＝C．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點(diǎn)M，使得【答案】BC【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式和角平分線定理逐一判斷即可.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，點(diǎn)P滿足，設(shè)，則，化簡得（x＋4）2＋y2＝16，所以A錯(cuò)誤；假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得，設(shè)，則，化簡得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由軌跡C的方程為x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，