第十章10 5圓錐曲線綜合問題10 5

１００５年高考３年模 Ｂ版（教師用書§１０．５圓錐曲線的綜合問題解析幾何中的定值問題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量?函數(shù)?定值”，具體操作程序如下：函數(shù)把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)；定值把得到的函數(shù)解析式化簡，消去變量得到定值．求定值定點(diǎn)問題常見的方法有兩種：（１）從特殊入手，求出定值或定點(diǎn)，再證明這個(gè)值或點(diǎn)的坐（２）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中

對應(yīng)學(xué)生用書起始頁碼幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問題．對于最值問題，一般可以用數(shù)形結(jié)合的方法或轉(zhuǎn)化為函數(shù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，往往是先根據(jù)已知條件建立等式或與圓錐曲線有關(guān)的最值或范圍問題大都是綜合性問題，解法靈活，技巧性強(qiáng)，涉及代數(shù)三角函數(shù)平面幾何等方面的知識．考點(diǎn)考點(diǎn) （ｉ）先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參數(shù)的方程或不等式（組）．（ｉｉ）解此方程或不等式（組），若有解，則存在，若無解，則不（）解答此類問題要充分注意解題的規(guī)范性

對應(yīng)學(xué)生用書起始頁碼１定值問題必然是在變化中所表示出來的不變的量，常表現(xiàn)數(shù)量積．

１１＝ ＝ ．關(guān)鍵就是引入變化的參數(shù)表示直線方程數(shù)量積比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量．２．定點(diǎn)問題常見的解法

ｌ１ｘ軸不垂直也不重合時(shí)，可設(shè)ｌ１的方程為ｙ＝ｋ（１）（ｋ≠０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２則ｌｙ＝（ｘ ｘ２

ｙ＝ｋ（ｘ設(shè)Ｏ為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Ｍ

＋＝１上，

ｘ２＋ｙ２ 消去ｘ軸的垂線，垂足為Ｎ，點(diǎn)Ｐ滿足ＮＰ＝２ （１）求點(diǎn)Ｐ的軌跡方程 得（８＋９ｋ２）ｘ２１８ｋ２ｘ＋９ｋ２７２＝（）Ｆ（）的直線ｌ１與點(diǎn)的軌跡交于Ａ兩點(diǎn)，Ｆ（）ｌ１ｌ２與點(diǎn)的軌跡交于Ｃ兩點(diǎn)，

則ｘ１＋ｘ２

，ｘ１ｘ２

９ｋ２，

４８（１＋ｋ２ ∴ＡＢ 證＋為定值解析（１）設(shè)Ｐ（ｘ，ｙ），則Ｎ（ｘ，０），ＮＰ＝（ 同理可得ＣＤ１

４８（１＋ｋ２，

又∵ＮＭ＝ＮＰ＝ ，∴ ∴ ，為定值 ｘ２ｙ ｘ２

１

９

＝１， ＋１．

綜上

＋ＣＤ為定值ｘ２的軌跡方程為９８＝

（２０１８廣西南寧測試，２０）已知左焦點(diǎn)為Ｆ（１，０）ｘ２ｘ軸重合時(shí)，ＡＢ＝６，ＣＤ＝

橢圓 ，

＝１（ａ＞ｂ＞０）經(jīng)過點(diǎn)Ａ（１ １＋１＝１７．

（）ｌ與橢圓分別交于Ｍ（Ｍ在ｘ軸異側(cè)），關(guān)于ｘ軸對稱的點(diǎn)為Ｂ（不與重合），直線ｘ＝４分別當(dāng)ｌ１與ｘ軸垂直時(shí)，ＡＢ ，ＣＤ＝３

第十 ｘ２ ｘ２解析 （１）因?yàn)闄E 所以ａ＝

＝１（ａ＞ｂ＞０）經(jīng)過點(diǎn)Ａ（

解析（）設(shè)橢圓的方程為２ 則由題意知ｂ＝

＝１（又ａ２ｂ２＝ｃ，ｃ＝１，所以ｂ２＝

５，∴ａ２

＝

５． （２）證明：由題意可知直線ｌ不與ｘ軸垂直，可設(shè)直線ｌ的

＋ｙ２＝５ 程為ｙ＝ｋｘ＋ｍ，代入橢圓方程＋＝１，得（３＋４ｋ２）ｘ２＋ （２）證明：設(shè)Ｐ（ｘ０，ｙ０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）．由（１） ４ｍ２＝０，且設(shè)Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），則ｘ１＋ｘ２

，ｘ１ｘ２

４（ｍ２．

Ｆ１（２，０）ＰＦ２＝（２ｘ０，ｙ０），Ｆ２Ｂ＝（ｘ２２，ｙ２∵ＰＦ＝λＦ １ｙ

ｘ（ｘ２），令ｘ＝４，得ｘ１

∴（２ｘ０，ｙ０）＝λ１（ｘ１＋２，ｙ１ｙ０標(biāo)ｙ＝６ｙ１

∴λ１ ｙ１ｙ０ｘ１ ０ｘ１ 同理，λ２＝ｙ２２ｘＱｘ２

２

３６ｙ１

①ＰＡ，ｘ軸垂直，且ｙ時(shí)ｘ所以ＴＰＴＱ＝ｙＰｙＱ ｘ

直線的方程為ｙ

（ｘｘ１３６（ｋｘ１＋ｍ）（ｋｘ２

２２（ｘ１２）（ｘ２

ｘ０ ｘ１ｘ２２（ｘ１＋ｘ２）

代入＋ｙ＝因?yàn)椤希裕眩疲健希裕疲?，所以ｔａｎ∠ＴＱＦ?消去ｘ得［（ｘ２）２＋５ｙ２］ｙ２＋４ｙ（ｘ２）ｙｙ２＝ ０ 因?yàn)椋裕小停裕?，所?/p>

＝ＴＰ

則ｙｙ

０２（ｘ２）２所以ＴＰ

＝

２＝

ｙ

， 由①②可得（４ｋ＋１）ｘｘ＋（４ｋｍ２）（ｘ＋ｘ）＋４ｍ＋４＝ ２（ｘ２）２

１

λ＝（

將ｘ１＋ｘ２＝３＋４ｋ２，ｘ１ｘ２＝ 代入，整理得ｍ＋ｋｍ２ｋ ０，則ｍ＝ｋ或ｍ＝ 同理可得λ ０＝（ｘ＋２）２＋５ｙ２ ｙ ｍ＝２ｋ時(shí)，直線ｌ的方程為ｙ＝ｋ（ｘ２），此時(shí)點(diǎn)或點(diǎn)在ｘ軸上，不符合題意，舍去，故ｍ＝

∴λ＋λ＝（ｘ＋２）２＋５ｙ２＋（ｘ２）２＋５ｙ２＝２（ｘ２＋５ｙ２） 此時(shí)直線ｌ的方程為ｙ＝ｋｘ＋ｋ，故直線ｌ經(jīng)過定點(diǎn)Ｆ（焦點(diǎn)在２

又點(diǎn)Ｐ（ｘ０，ｙ０）０所以ｘ２＋ｙ２＝０

＋ｙ２＝１上５頂點(diǎn)恰好是拋物線ｘ２＝４ｙ的焦點(diǎn)，離心率等 ５ 即ｘ２＋５ｙ２＝ （）上一點(diǎn)，分別過焦點(diǎn)Ｆ１Ｆ，ＰＦ１λ１ＦＡ，ＰＦ２＝λ２ＦＢ，證明：λ１＋λ２為定值

故λ１＋λ２＝②或與ｘ軸垂直或ｙ０＝０時(shí)，也易得λ１＋λ２＝綜上，λ＋λ２為定值二、圓錐曲線中最值（范圍）求解有關(guān)圓錐曲線的最值參數(shù)范圍的問題：一是注意題目中的幾何特征，充分考慮圖形的性質(zhì)；二是運(yùn)用函數(shù)思想，建立目標(biāo)函數(shù)，求解最值．在利用代數(shù)法解決最值和范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：（）利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系從而確定參數(shù)的取值

（３）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值（４）利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值（）利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍（）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，

關(guān)系（２０１５浙江，１９，１５分）已知橢 ２＋ｙ２＝１上兩個(gè)不１０２５年高考３年模 Ｂ版（教師用書的點(diǎn)Ａ，關(guān)于直線ｙ＝ｍｘ＋１對稱

００（≤ｘ２

２）．４

Ｐ·（）求△面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)

０（ｘ＋２）２０

４ 解析（）由題意知ｍ可設(shè)直線的方程為ｙ＝ｍｙｙ

因?yàn)椋埽?，所以?dāng)ｘ０＝２時(shí)·ＦＰ取得最大值，最大值為６，故選Ｃ．為，直線ｌｙ軸交于點(diǎn)Ｐ（ｍ），與橢圓相異兩點(diǎn)ＡＢ，且＝３ 解析（）設(shè)橢圓 解析（）設(shè)橢圓的方程為＝１（ａ＞ｂ＞０） ａ２＝由 １ 件知２ｂ＝２，ｃ＝２，ｃ２＝ａ２ｂ２，∴ａ＝１，ｂ＝ｃ＝２＝ｍ ｘｘ２ｍ２

∴橢圓的方程為ｙ＋２ｘ２＝（）當(dāng)直線ｌ的斜率不存在時(shí)，直線方程為ｘ＝因?yàn)橹本€ｙ

ｘ＋ｂ

＝１有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

∵＝３ＰＢ，此時(shí)若Ａ（），Ｂ（２ｍ ２所以Δ＝２ｂｍ

ｍ＝３（１ｍ），ｍ＝２ｍｂｍｂ 若Ａ（１），Ｂ（將ＡＢ的中點(diǎn)Ｍｍ２＋，２＋代入直線方程ｙ＝ｍｘ＋２ ｍ２

２ ２

∴ｍ＋＝３（ｍ），即ｍ＝２解得ｂ 經(jīng)檢驗(yàn)，知ｍ＝２

由①②得 ６或ｍ＞６ ２ｍ ６ ６２ｍ

②ｌ的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線ｌ的方程為ｙ＝ｋｘ＋ｍ，ｋ≠０（ｋ＝０時(shí)明顯不滿足題意）ＡＢ兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ｘ１（２）ｔ

，０∪０，２

ｙ），（ｘ，ｙ），

ｙ＝

得（ｋ２＋２）ｘ２＋２ｋｍｘ＋ｍ２＝則

２ ２ｘ２＋ｙ２＝ｔ２＋１２２ｔ４＋２ｔ２＋ Δ＝（２ｋｍ）２４（ｋ２＋２）（ｍ２１）＝４（ｋ２２ｍ２ｔ２＋１２ ｍ２ｔ２＋２１

ｘ１＋ｘ２ ，ｘ１ｘ２．ｋ２ｋ２∵ＡＰ＝３ＰＢ，∴ｘ＝３ｘ

ｘ＋ｘ＝２ｘ ｔ １且Ｏ到直線ＡＢ的距離ｄ ∴３（ｘ＋ｘ）２＋４ｘ １

１ 即

ｍ２設(shè)△ＡＯＢ的面積為Ｓ（ｔ）， １

＝０．ｋ２＋２Ｓ（ｔ）＝ＡＢ·

＋２≤

整理，得４ｋｍ２＋２ｍ２ｋ２＝ ２ １

時(shí)，上式不成立４當(dāng)且僅當(dāng)ｔ２ 時(shí)，等號成立４． ．故△面積的最大值為２和點(diǎn)分別為橢圓ｘ２＋ｙ２

１

ｍ≠時(shí)，ｋ２＝２ ４ｍ２由（），ｋ＞２ｍ２ｋ≠０，２２ｍ２ ∴ｋ２＝４ｍ２點(diǎn)，點(diǎn)Ｐ為橢圓上的任意一點(diǎn)，則Ｐ·Ｐ的最大值 答案

∴

解 由題意得Ｆ（１，０），設(shè)點(diǎn)Ｐ（ｘ，ｙ），則ｙ２ 綜合①②可得，ｍ的取值范圍為１，∪ 存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定的問題明 化．其步驟為假設(shè)滿足條件的元素（點(diǎn)直線曲線或參數(shù)）存在列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組），若方程（組）有實(shí)數(shù)解，則元 ｙ０ ｙ０ ｙ＝ ｙ＝

第十 ４（點(diǎn)直線曲線或參數(shù)）存在否則元素（點(diǎn)直線曲線或參

ｋＱＡ＝ｘ

ｙ２ｙ

，同理ｋＱＢ

ｙ＋ｙ數(shù)）不存在．當(dāng)然反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題的方法（２０１８云南昆明教學(xué)質(zhì)量檢查，２０）設(shè)拋物線Ｃｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦點(diǎn)為Ｆ，準(zhǔn)線為ｌ，已知點(diǎn)Ａ在拋物線Ｃ上，點(diǎn)Ｂ在

ｙ ｙ由ＱＡ⊥ＱＢ得 ·ｙ ｙ ０ １ｌ上，△ＡＢＦ是邊長為４的等邊三角形 即ｙ２＋ｙ（ｙ＋ｙ ０ １（）ｐ的值

∴ｙ２＋４ｙ＋２０＝０４０ ＋Ｃ交于ＱＲ兩點(diǎn)時(shí)， １為定值？若存在，求出點(diǎn)Ｎ Δ＝＋

８０≥０，

，ＮＱ

坐標(biāo)，若不存在，請說明理由 結(jié) １＜ｋ＜１且ｋ≠０得，ｋ的取值范 解析（）由題意知ＡＦ＝ＡＢ，

５ ５設(shè)準(zhǔn)線ｌ與ｘ軸交于點(diǎn)Ｄ，則

５，０∪０，５又△ＡＢＦ是邊長為４的等邊三角形，∠＝所以∠＝６０°，ＤＦ＝ＢＦｃｏｓ∠＝４×１＝２，即ｐ＝２（２）存在．設(shè)點(diǎn)Ｎ（ｔ，０），由題意知直線ｌ′的斜率不為零設(shè)直線ｌ的方程為ｘ＝ｍｙ＋ｔ，Ｑ（ｘ１，ｙ１），Ｒ（ｘ２２）．ｘ＝

經(jīng)過點(diǎn)Ａ（），離心率為１２（）Ｅ（４）ｌＰ于點(diǎn)Ｒ，Ｔ，

得

４ｍｙ４ｔ

滿足ＯＲ·ＯＴ

若存在，求直線ｌ的方程；若不存在，７ １則Δ＝１６ｍ２＋１６ｔ＞０，ｙ＋ｙ＝４ｍ，ｙｙ＝ １又ＮＱ２＝（ｘｔ）２＋ｙ２＝（ｍｙ＋ｔｔ）２＋ｙ２＝（１＋ｍ２）ｙ２ ｘ２ ＮＲ２＝（１＋ｍ２）ｙ２

ａ２

＝１（２則 １＋１ ２

由題意得ｂ＝２ｅ

ｃ＝１ ＮＱ ＮＲ２（１＋ｍ２）ｙ２（１＋ｍ２） ｙ２ （１＋ｍ２）ｙ２

（ｙ＋ｙ）２２ｙ １（１＋ｍ２） １

∴ａ＝２ｃ，ｂ２＝ａ２ｃ２＝３ｃ２∴ｃ２＝４，ｃ＝２，ａ＝１ １ １６ｍ２

２ｍ２

Ｐ的方程為ｘ

＝＝１６（１＋ｍ２）ｔ２＝（２ｍ２＋２） （）存在

１６若ＮＱ＋ＮＲ為定值，ｔ＝２，Ｎ（當(dāng)ｔ＝２時(shí)所以存在點(diǎn)Ｎ（２，０），當(dāng)過點(diǎn)Ｎ的直線ｌ′與拋物線Ｃ

假設(shè)存在滿足題意的直線ｌ，易知當(dāng)直線ｌ的斜率不存在時(shí)Ｔ＜０不滿足題意故可設(shè)直線ｌ的方程為ｙ＝ｋｘ４，Ｒ（ｘ１，ｙ１），Ｔ（ｘ２，ｙ２ＱＲ兩點(diǎn)時(shí)，１ＮＱ

ＮＲ

為定值１４

∵

＝７（廣西柳州月考，２１）ｘＯｙ中，已知拋物線Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），此拋物線上的點(diǎn)Ｎ（２，ｍ）到焦點(diǎn)的距離是３．Ｑ（ｘ，ｙ）ＱＡ⊥ＱＢ？若存在，求出ｋ的取解析２∵２＋

∴ｘｘ＋ｙｙ＝１ １ ｙ＝ｋｘ由ｘ２＋ｙ２＝１ 得（＋４ｋ２）ｘ２３２ｋｘ＋１６＝Δ得（３