甘肅省酒泉市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

酒泉市普通高中2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則A B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：∴，∴z=，故選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算2.對(duì)于非零向量，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則的夾角為銳角【答案】C【解析】【分析】選項(xiàng)A：兩邊不能同時(shí)除以，應(yīng)該移項(xiàng)，逆用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得出結(jié)論；選項(xiàng)B:根據(jù)公式可以進(jìn)行判斷；選項(xiàng)C:因?yàn)槭欠橇阆蛄?，所以，可以依?jù)這個(gè)進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D：兩個(gè)數(shù)量積為負(fù)，可以得到兩個(gè)向量的夾角為鈍角或者是夾角，依此進(jìn)行判斷.【詳解】解：A：若，則，故A錯(cuò)誤；B：若，則，故B錯(cuò)誤；C：非零向量，，故C正確；D：若，則的夾角為銳角或0，故D錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．3.求值：（）A.0 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】，故選：4.關(guān)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)：①數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程；②數(shù)學(xué)建模過程主要包括：問題描述、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗(yàn)和推廣應(yīng)用；③數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，建立既符合實(shí)際又能夠利用現(xiàn)有方法求解的合理數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵步驟之一；④按照數(shù)學(xué)建模的流程，模型求解之后，還需要對(duì)模型解的正確性進(jìn)行檢驗(yàn).以上說法正確的是（）A.② B.①② C.①②③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)建模的有關(guān)知識(shí)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于①，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程，正確，對(duì)于②，數(shù)學(xué)建模過程主要包括：問題描述、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗(yàn)和推廣應(yīng)用，正確，對(duì)于③，數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，建立既符合實(shí)際又能夠利用現(xiàn)有方法求解的合理數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵步驟之一，正確，對(duì)于④，按照數(shù)學(xué)建模的流程，模型求解之后，還需要對(duì)模型解的正確性進(jìn)行檢驗(yàn)，正確，故選：D5.給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是（）①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一平面的兩條直線平行；③平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；④平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.A.①② B.③④ C.①④ D.②③【答案】C【解析】【分析】利用正方體模型可判斷②③的正誤，利用平行線的傳遞性可判斷①的正誤，利用面面平行的性質(zhì)可判斷④的正誤.【詳解】對(duì)于①，由平行線的傳遞性可知，平行于同一直線的兩條直線平行，①對(duì)；對(duì)于②③，如下圖所示：在正方體中，平面，平面，但與相交，②錯(cuò)，平面，平面，但平面與平面相交，③錯(cuò)；對(duì)于④，由面面平行的性質(zhì)可知，平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，④對(duì).故選：C.6.在中，若，則一定是（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化簡計(jì)算即可.詳解】由及余弦定理得：，即.故選：D7.“哥德巴赫猜想”被譽(yù)為數(shù)學(xué)皇冠上的一顆明珠，是數(shù)學(xué)界尚未解決的三大難題之一．其內(nèi)容是：“任意一一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）之和．”若我們將10拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，則拆成的和式中，在加數(shù)都大于2的條件下，兩個(gè)加數(shù)均為素?cái)?shù)的概率是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出兩個(gè)加數(shù)都大于2的情況，即兩個(gè)加數(shù)都為素?cái)?shù)的情況，即可得出概率.【詳解】記“兩個(gè)加數(shù)都大于2”為事件A，“兩個(gè)加數(shù)都為素?cái)?shù)”為事件B，在加數(shù)都大于2的條件下則事件A有這5種情況事件B有這3種情況，故.故選：B.8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.為銳角三角形C.若，則的面積是D.若外接圓半徑是R，內(nèi)切圓半徑為r，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件求出三角形三邊的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于求出三邊長后，可利用三角形面積公式求解；對(duì)于利用正弦定理和等面積法可求出外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑，可判斷正確.【詳解】設(shè)則對(duì)于故錯(cuò)誤；對(duì)于角為鈍角，故錯(cuò)誤；對(duì)于若，則所以的面積故錯(cuò)誤；對(duì)于由正弦定理的周長所以內(nèi)切圓半徑故正確.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各對(duì)事件中，為相互獨(dú)立事件的是（）A.擲一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；事件N“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”B.袋中有3白、2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白?2黑共5個(gè)大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”【答案】ABD【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的定義一一驗(yàn)證即可.【詳解】在A中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨(dú)立，A正確.在B中，根據(jù)事件的特點(diǎn)易知，事件M是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨(dú)立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會(huì)對(duì)第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨(dú)立事件，C錯(cuò)誤；在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個(gè)事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法：（1）直接法：利用生活常識(shí)進(jìn)行判斷；（2）定義法：利用判斷.10.若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上的投影向量為B.在上的投影向量為C.在上的投影向量為D.在上的投影向量為【答案】AC【解析】【分析】過作于，連接，設(shè)，由可得，求出可得，可得在上的投影向量；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得，可得在上的投影向量．【詳解】過作于，連接，因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，設(shè)，則，，由可得，所以，則，所以在上的投影向量為，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，所以在上的投影向量為．故選：AC.11.下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和三角恒等變換一一計(jì)算即可.【詳解】，對(duì)于A，，故A符合題意；對(duì)于B，，故B符合題意；對(duì)于C，，故C符合題意：對(duì)于D，，故D不符合題意．故選：ABC．12.如圖所示，在棱長為的正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與是異面直線B.直線與是平行直線C.三棱柱的外接球的表面積為D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】AD【解析】【分析】利用異面直線的定義可判斷A選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；求出的外接球的表面積，可判斷C選項(xiàng)；分析出平面截正方體所得截面圖形為梯形，并計(jì)算出的面積，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，假設(shè)直線與是平行直線，則、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，，又因?yàn)?，所以，，這與矛盾，假設(shè)不成立，故與不平行，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，正方體的外接球半徑為，即三棱柱的外接球的半徑為，該球的表面積為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，且，故且，故、、、四點(diǎn)共面，所以，平面截正方體所得截面圖形為梯形，由勾股定理可得，同理可得，故梯形為等腰梯形，過點(diǎn)、分別在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，在和中，，，，所以，，所以，，在梯形內(nèi)，因?yàn)?，，，所以，四邊形為矩形，故，所以，，故，所以，梯形的面積為，故平面截正方體所得的截面面積為，D對(duì).故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)，則方程的解為_________.【答案】【解析】【分析】先設(shè)（為虛數(shù)單位），代入方程，得到，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)（為虛數(shù)單位），則可化為，即，則，解得：，因此.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求方程解，熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件即可，屬于?？碱}型.14.若一個(gè)圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則此圓錐的高為______.【答案】4【解析】【分析】設(shè)圓錐的高和底面圓的半徑，利用體積和線面角建立方程求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面圓的半徑為，因?yàn)閳A錐的母線與底面所成的角為，體積為，所以，解得.故答案為：415.如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)均在平面的同側(cè).正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)B，D，到平面的距離分別為1，2，4，則這個(gè)正方體其余頂點(diǎn)到平面的距離的最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)B，D，到平面的距離分別為1，2，4，可求出任兩個(gè)點(diǎn)連線中點(diǎn)到平面的距離，通過中點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化，可求出相關(guān)頂點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)一步判斷大小即可.【詳解】因?yàn)锽，D，到平面的距離分別為1，2，4，所以的中點(diǎn)到平面的距離為所以到平面的距離為的中點(diǎn)到平面的距離為所以到平面的距離為的中點(diǎn)到平面的距離為所以到平面的距離為的中點(diǎn)到平面的距離為則到平面的距離為則這個(gè)正方體其余頂點(diǎn)到平面的距離的最大值為故答案為：16.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，且，則的最大值為__________.【答案】2【解析】【分析】由題設(shè)，易得，過A作的平行線交于點(diǎn)Q，即可判斷P與Q重合時(shí)的值最大，進(jìn)而求最大值.【詳解】由得：，又M為的中點(diǎn)，所以，所以，過A作的平行線交于點(diǎn)Q，當(dāng)P與Q重合時(shí)，的值最大.因?yàn)镸為的中點(diǎn)，且，所以D為的中點(diǎn)，此時(shí)，所以的最大值為2.故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，，（）（1）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值（2）當(dāng)為何值時(shí)，向量與平行.【答案】（1）2（2）1【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式可得；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式可得.【小問1詳解】由已知可得，因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，解得；【小問2詳解】，因?yàn)榕c平行，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，向量與平行18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件求出點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)，再借助三角函數(shù)定義計(jì)算兩個(gè)角的正弦與余弦，結(jié)合差角的余弦公式，代入計(jì)算作答.(2)利用(1)求出，再利用二倍角公式化簡計(jì)算作答.【小問1詳解】因銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，，顯然，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，則點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為，，由已知及三角函數(shù)定義得，，而，，所以；【小問2詳解】由(1)得，，所以的值是.19.在復(fù)平面內(nèi)，正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、，求另外兩個(gè)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】答案見解析【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，分析可得，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得出頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】解：由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，，且，易知點(diǎn)、、、，，，則，，所以，，解得或，又因?yàn)?，即，所以，，可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，①頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為；②頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.20.如圖，已知點(diǎn)是正方形所在平面外一點(diǎn)，平面，，、、分別是、、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：直線平面；（3）求直線與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，可得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（3）推導(dǎo)出平面，可知與平面所成角為，分析的形狀，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，、平面，因此，平?【小問3詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，所以，與平面所成角為，因，，則為等腰直角三角形，且，因此，直線與平面所成的角為.21.為了促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，某市教育局要求本市所有學(xué)校重視社團(tuán)文化建設(shè)，2020年該市某中學(xué)的某新生想通過考核選拔進(jìn)入該校的“電影社”和“心理社”，已知該同學(xué)過考核選拔進(jìn)入這兩個(gè)社團(tuán)成功與否相