2.4 二項分布與泊松分布概率論基礎(chǔ)

2.4

二項分布與泊松分布

二項分布計算與性質(zhì)

二項分布計算顯然，對二項分布成立下式因此，對于二項分布人們僅編制了的表供給算用。例2.21一大批電子管有10%已損毀。現(xiàn)從這批電子管中隨機(jī)選取20只組成電路，問這個電路能正常工作的概率有多大？解：由題設(shè)所選電子管全部完好，電路才能正常工作。而一個電子管完好的概率為0.90，由n重貝努利概型這個電路能正常工作的概率為由于查表知所以，這個電路能正常工作的概率為12.16%.例2.22設(shè)在家畜中感染某種疾病的概率為30%，新發(fā)現(xiàn)一種血清可能對預(yù)防這病有效，為此對20只健康家畜注射這種血清，若注射后只有一只家畜受感染，我們應(yīng)該如何評價這種血清作用。解：假定這種血清沒有任何療效，于是，家畜感染著種病的概率仍然為30%。由n重貝努利概型20只家畜種k只家畜感染的概率為于是，20只家畜僅有1只家畜感染或沒有感染的概率為這個概率是如此之小，如果假設(shè)是對的，我們認(rèn)為20只家畜僅有1只家畜感染或沒有感染這樣的事件是不應(yīng)該發(fā)生的，但現(xiàn)在發(fā)生了，說明什么？說明我們假設(shè)不對。

二項分布性質(zhì)

例2.22某保險公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因為被盜而提出來的。現(xiàn)已知該公司某個月共收到10個索賠要求，試求其中包含4個以上被盜索賠要求的概率。

解：設(shè)表示10個索賠要求中被盜索賠要求的個數(shù)，則

于是，所求概率為

即10個索賠要求中有4個以上被盜索賠要求的概率為0.00059。

通過該例題的求解，可以看出：二項分布當(dāng)參數(shù)很大，而

很小時，有關(guān)概率的計算是相當(dāng)麻煩的。甚至有時借助于計算工具也難實現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項分布有關(guān)概率計算問題，1837年法國數(shù)學(xué)家S.D.Poisson提出了一下定理。Poisson定理

設(shè)隨機(jī)變量，若時，有，則有

證明：令，于是有對于固定的有所以

實際應(yīng)用中，當(dāng)較大,

較小，適中時，即可用泊松定理的結(jié)果對二項概率進(jìn)行近似計算。

例2.23某人騎摩托車上街，出事故的概率為0.02，獨立重復(fù)上街400次，求至少出兩次事故的概率。解:400次上街

400重Bernoulli概型；記為出事故的次數(shù)，則。由于，所以，由Poisson定理有

若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則該人成功的概率為。這表明隨著實驗次數(shù)的增多，小概率事件是會發(fā)生的！3.泊松（Poisson）分布

Def若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為。泊松分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：

服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)；交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)；礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目；

單位時間內(nèi)市級醫(yī)院急診病人數(shù)；

一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)。特別注意:體積相對較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù)

可以由觀測值的平均值求出。2.5本章小結(jié)事件獨立與試驗獨立全概率公式與貝葉斯公式二項分布于泊松分布例2.24利用概率論思想證明恒等式證：某人帶著兩盒火柴，每次用時他在兩盒中任意抓一盒，從中取出一根，因此連續(xù)地抽取構(gòu)成了相繼貝努利試驗。假定最初每盒火柴恰巧包含N根，我們考慮：這個人第一次發(fā)現(xiàn)空盒子地時刻。在這一時刻，另一盒火柴可能還有r為0，1，…，N根火柴。設(shè)從第一盒中選取為“成功”?！爱?dāng)發(fā)現(xiàn)第一盒火柴空時，第二盒中尚有r根火柴“這一事件，等價于”恰有N-r