高中生三角公式理解的實證研究-以甘南藏族自治州為例

高中生三角公式理解的實證研究以甘南藏族自治州為例摘要近幾十年來，國內外學者就理解的分類及層次提出了各種理論與觀點。以工具性理解、關系性理解和創(chuàng)新性理解這3種理解層次為視角，研究甘南藏族自治州高中學生對三角公式的理解情況。基于調查與測試，發(fā)現(xiàn)學生的工具性理解質量總體較好，但在關系性理解的多個方面均顯出不足。研究者同時設計了一個有助于考察創(chuàng)新性理解的任務系列，并借此初步揭示了學生的一些表現(xiàn)特征。研究亦發(fā)現(xiàn)，相對于高一學生，高三學生在關系性理解與創(chuàng)新性理解的某些方面更具優(yōu)勢，同時他們對公式的理解表現(xiàn)出更多工具性的特點。關鍵詞：三角公式；工具性理解；關系性理解；創(chuàng)新性理解；遷移性理解

目錄TOC\o"1-3"\h\u26223摘要 1229431前言 3149632研究目的與研究問題 3222053研究方法 3152883.1被試基本情況簡介 3155353.2研究工具的整體設計 4209363.3創(chuàng)新性理解的任務設計 449784試題作答情況及分析 5124784.1工具性理解試題作答情況及分析 5170074.2關系性理解問題作答情況及分析 6244004.2.1證明性理解問題作答情況及分析 699204.2.2論說性理解問題作答情況及分析 7313334.2.3結構性理解問題作答情況及分析 8135724.3創(chuàng)新性理解任務系列作答情況及分析 1026065結論與建議 13190855.1主要結論及教學啟示 1374385.2對進一步研究的建議 1412574參考文獻 15

1前言“數(shù)學理解”是數(shù)學教育心理學所關注的一項重要論題。英國數(shù)學心理學家R.Skemp于文[1]中提出兩種理解類型——關系性理解與工具性理解，并論述了兩種理解各自的意義和價值，這是對“數(shù)學理解”認識上的一次重大突破。此后，國內外學者就理解的分類及層次提出了各種理論與觀點。近期，文[2]提出了數(shù)學理解的3個層次：工具性理解、關系性理解和創(chuàng)新性理解，并對每個層次的理解作了特征描述及具體分類。這里在文[2]所提出的3個理解層次的基礎上，研究甘南藏族自治州高中學生對三角公式的理解情況。2研究目的與研究問題文章的目的是研究高中學生對三角公式的理解情況。具體研究問題如下：研究問題1：高中學生在三角公式的工具性理解、關系性理解與創(chuàng)新性理解上有哪些主要表現(xiàn)？研究問題2：高一學生經歷課程學習之后與高三學生高考復習階段所表現(xiàn)出的對三角公式的理解是否存在差異？3研究方法3.1被試基本情況簡介調查與測試對象是甘南藏族自治州市某重點中學的高一與高三學生。近年來該校教學模式基本穩(wěn)定且有一定代表性，學生所學的是甘南藏族自治州教育出版社的數(shù)學教材[6]。在調查與測試階段，高一學生剛完成三角比的學習，而高三學生正處于高考總復習階段（已學習所有后續(xù)知識，包括三角方程、平面向量、“積化和差”與“和差化積”公式等）。隨機選取兩個高一班級與兩個高三班級（選讀理科）參與研究。兩個年級的試卷結構基本相同，均涉及工具性、關系性與創(chuàng)新性理解3個方面。高三被試需多做與創(chuàng)新性理解有關的3個附加題（涉及高一被試尚未學到的內容）。因答題時間所限（一節(jié)課，即40分鐘左右），研究者對高三被試的題量作了削減，具體按A、B兩卷制處理，達到交叉覆蓋，以便保留與高一測試結果的對比功能。經數(shù)據(jù)整理，共計有效被試人數(shù)如表1所示表1被試人員構成情況高一高三A卷B卷合計713134653.2研究工具的整體設計研究工具為一份調查與測試混合卷。在工具性理解方面，主要設計為填空題形式，覆蓋若干類型的三角公式，由于有時間限制，被試一般需要快速反應答題，即主要顯示工具性理解的質量。在關系性理解方面，研究結合文[2]所指出的關系性理解的各個側面進行針對性的問題設計，包括要求被試對公式進行證明（證明性理解），對比兩個公式的形式并作出合理解釋（論說性理解），指出心目中最重要的公式并說明理由（結構性理解）。在創(chuàng)新性理解方面，綜合文[2]與文[5]的闡述，并鑒于高中生知識結構與數(shù)學思維的大致發(fā)展水平，研究主要考察被試在遷移性理解方面的表現(xiàn)。研究者為被試創(chuàng)設了一個新公式系統(tǒng)的探究平臺，初步考察被試能否在理解原公式系統(tǒng)的基礎上，將數(shù)學思想、方法及所學知識遷移到相對陌生的情境中，對新公式系統(tǒng)進行平行的探究。3.3創(chuàng)新性理解的任務設計研究者模仿教材中三角比的定義方式，向被試提供兩種“另類三角比”，并通過以下一系列任務引導被試探究新的公式系統(tǒng)（4、5、6為高三附加題）：一位甘南藏族自治州的中學生某日突發(fā)奇想，定義了兩種新的“三角比”——對任意一個角，將其頂點置于平面直角坐標系xOy中的原點O，并讓始邊與x軸正半軸重合，在角α的終邊上任取不同于O的一點P(x,y)，記，定義三角比（1）試說明三角比A(a)與B(a)的定義與終邊上點P的選取方式無關；（2）試推導A(a)與B(a)之間的一個等量關系；（3）盡可能多地寫出關于A(a)或B(a)的誘導公式（至少兩條）；（4）證明A(a)的積化和差公式：（5）解三角形方程（6）解不等式上述各探究任務涉及到新定義三角比A(a)與B(a)的多方面性質：第1題的本質在于解釋定義的合理性，第2題研究同角三角比關系，第3題研究關聯(lián)角之間的“另類三角比”關系，第4題要求證明“另類三角比”所參與的一個積化和差公式，第5、6題分別是解三角方程與三角不等式的綜合性問題。對于普通高中生而言，完成這些探究任務需要跳出課本內的相對熟知的三角公式體系，因而在一定意義上超出了關系性理解的范疇，進入創(chuàng)新性理解的層次。但需要指出的是，受時間等因素所限，這次測試僅僅是對被試完成上述任務時所表現(xiàn)出的遷移性理解進行初步考察，所涉及的創(chuàng)新性理解的內涵是較為有限的。實際上，還可以進一步讓被試詳細闡述完成上述任務后對三角公式有何新的理解，也可以讓他們充分發(fā)揮創(chuàng)造力，獨立建構一個包含A(a)與B(a)的公式系統(tǒng)，如此將使一些優(yōu)秀的被試更有機會展示其理解中的創(chuàng)新成分，對創(chuàng)新性理解的狀況有更充分的反映。4試題作答情況及分析4.1工具性理解試題作答情況及分析研究選取課本中的三角比定義式、誘導公式、萬能置換公式作為工具性理解測試素材，編寫簡單的填空測試題。測試結果如表2所示。表2工具性理解測試情況高一（71）高三（65人）題量準確率題量準確率三角比定義式495.4%494.2%誘導公式1294.7%A、B卷個6題96.2%萬能置換公式387.8%391.3%總體上看，學生公式記憶與直接運用準確率高，且高一與高三學生的準確率相差不大，大致反映出高中學生對三角公式的工具性理解質量較高，且高一與高三水平基本相當。4.2關系性理解問題作答情況及分析4.2.1證明性理解問題作答情況及分析研究選取課本中的和角公式、半角正弦公式作為證明性理解測試題目。各公式推導過程正確率如表3所示（允許用公式系統(tǒng)中較后出現(xiàn)的公式作為推導依據(jù)）表3公式推導過程正確率統(tǒng)計高一（71）高三（A卷31人，B卷34人）兩角差法人余弦35.2%41.5%兩角和的余弦48.0%50.0%（僅B卷）半角的正弦88.7%93.5%（僅A卷）從測試結果看，被試相當好地掌握了半角正弦公式的推導，但在和角公式的推導方面較為薄弱。值得注意的是，有5名高三被試用積化和差公式推導兩角差的余弦公式，這與公式系統(tǒng)的源流本末倒置，因此說明他們在公式系統(tǒng)的“結構性理解”上是存在一定偏差的。進一步分析則發(fā)現(xiàn)，高三學生的公式推導策略更為豐富。以兩角差的余弦公式為例，高一學生所作的正確推導基本遵循甘南藏族自治州教材中的標準方法，即構造單位圓、利用距離相等建立等式（如圖1），高三學生的正確推導方式則豐富多樣（見表4）；而在推導過程有誤者中，高三學生的推導出發(fā)點亦更為多元化。造成這一現(xiàn)象的可能原因是，高三學生更熟悉整個高中數(shù)學知識體系，且向量數(shù)量積與余弦定理在高考復習中有過頻繁的操練。相對而言，高一學生尚不具備運用表4中方法2、4的知識基礎。圖1兩角差余弦公式的推導（課本方法）表4兩角差余弦公式推導策略的分布情況高一人數(shù)高三人數(shù)1.課本中的標準方法2422.向量數(shù)量積1103.余弦定理與單位圓結合094.積化和差055.其他正確推導方法014.2.2論說性理解問題作答情況及分析研究選取課本中的半角正切公式要求被試解釋為什么前一公式無正負號，而后一公式卻有正負號。如表5所示，被試的答題情況大致可分為6類，其中前3類解釋屬于有意義的解釋。圖2、3、4分別為被試的3種典型的解釋方式表5論說性理解問題作答情況高一（71）高三（65人）1.對兩個公式的解釋均達到本質（允許表達有瑕疵）8(11.3%)9(13.8%)2.僅對一個公式的解釋達到本質9(12.7%)8(12.3%)3.有形式合理性等方面的解釋，但對公式本身的解釋不夠本質25(35.2%)10(15.4%)4.未及本質19(26.8%)22(33.8%)5.有錯5(7.0%)0(0.0%)6.未作答或幾乎未作答5(7.0%)16(24.6%)1.對兩個公式的解釋均達到本質（允許表達有瑕疵）8(11.3%)9(13.8%)2.僅對一個公式的解釋達到本質9(12.7%)8(12.3%)3.有形式合理性等方面的解釋，但對公式本身的解釋不夠本質25(35.2%)10(15.4%)4.未及本質19(26.8%)22(33.8%)5.有錯5(7.0%)0(0.0%)6.未作答或幾乎未作答5(7.0%)16(24.6%)圖2第1類解釋方式的典型圖3第3類解釋方式的典型圖4第4類解釋方式的典型半角正切公式的正負號現(xiàn)象是公式理解的難點。從測試結果看，真正能解釋到本質的被試尚不足15%，在這一點上，兩個年級被試的表現(xiàn)均比較薄弱。作出前3類解釋的被試為半數(shù)左右，因其中較多高三被試放棄作答，故難以推斷兩個年級理解水平的差異。4.2.3結構性理解問題作答情況及分析研究調查被試心目中的重要三角公式，以及被試以何種依據(jù)衡量公式的重要性。調查結果如表6、7所示：表6被試所選的認為是重要的三角公式高一人數(shù)高三人數(shù)1.二倍角公式26(36.6%)26(40.0%)2.萬能置換公式15(21.1%)10(15.4%)3.半角公式10(14.1%)13(20.0%)4.升降次公式（屬二倍角公式的變形）9(12.7%)6(9.2%)5.誘導公式11(15.5%)3(4.6%)6.和角公式8(11.3%)6(9.2%)7.平方關系8(11.3%)3(4.6%)8.余弦定理6(8.5%）5(7.7%)輔助角公式2(2.8%)9(13.8%)10。積化和差公式、和差化積公式0(0.0%)8(12.3%)11.其它公式8(11.3%)4(6.2%)注：允許寫多于一條公式表7被試衡量某個公式重要性的依據(jù)高一人數(shù)高三人數(shù)1.關注實用性（包括常用、考得多、做題用得最多等理由）19(26.8%)20(30.8%2.關注公式體系中的地位（包括能推出其他公式、能推出某些公式等理由）19(26.8%)20(30.8%3.關注數(shù)學思想方法（包括實現(xiàn)轉化，對特定公式的說明，例如用萬能公式化為單變量函數(shù)）10(14.1%)2(3.1%)4.其他（包括基礎、概念重要、復雜、巧妙等理由）8(11.3%)5(7.7%)5.無理由或放棄作答23（32.4%）33（50.8%）注：允許寫多于一項理由如果將三角公式體系比作一棵樹，那么三角比的定義處于根基位置，和角公式處于主干位置，而表6中的前4類公式僅為該主干的分枝，從三角公式體系考慮，這些公式的重要性無疑不及三角比定義式與和角公式。然而被試選擇這些公式的頻率相當高，甚至有被試認為，二倍角公式可以推出所有其他的公式，這反映出有一定比例的學生對三角公式的結構性理解有所偏差。分析原因，可能是考試題中二倍角等公式出現(xiàn)的頻率最高，學生在解題訓練中不知不覺地形成某種理解，認為這些公式在數(shù)學上才是最重要的從表7中亦可發(fā)現(xiàn)，在衡量公式重要性時，學生相當關注實用性方面（尤其是高三學生），這反映出工具性理解的特征（相比之下，表7中所列的第2、第3種理由更多地反映關系性理解的特征）4.3創(chuàng)新性理解任務系列作答情況及分析任務1要求被試將課本中的思想方法遷移到新的情境，說明A(a)與B(a)的定義與終邊上點P的選取方式無關。被試的幾種較有代表性的解釋方式如下。圖5直接研究定義的典型解釋圖6歸結為正余弦定義的合理性的典型解釋1圖7歸結為正余弦定義的合理性的典型解釋2圖5中的解釋抓住了定義合理性的本質（僅未考慮斜率不存在的情況，這種疏漏在被試的答題中頻繁出現(xiàn)）；圖6中的解釋是將新定義的合理性歸結為正、余弦定義的合理性，且解釋完整無誤；圖7所給的解釋雖與圖6十分相似，但并未解釋到位。更有許多被試僅寫出A(a)與B(a)的表達式而不作進一步的解釋，即未觸及定義合理性的本質，這一現(xiàn)象在高三被試中尤其明顯（他們或許認為，既然已化作常見三角比，就沒什么好解釋的了）?？傮w而言，作出清晰解釋的被試相當少，具體情況如表8所示表8被試對定義合理性作解釋的表現(xiàn)高一（71）高三（65人）正確基本正確19（26.8%）7（10.8%）大體正確12（16.9%）12（18.5%）化歸策略，未觸及定義合理性本質17（23.9%）38（58.5%）其他不正確的情形8（11.3%）1（1.5%）未作答或幾乎未作答15（21.1%）7（10.8%）任務2、3的作答情況如表9、表10所示。表9被試推導同角三角比關系的表現(xiàn)高一（71）高三（65人）正確推導42（59.2%）28（43.1%）結果正確，但無推導過程12（16.9%）30（46.2%）形式錯誤5（7.0%）0（0.0%）其他錯誤（形式正確）2（2.8%）2（3.1%）未作答或幾乎為作答10（14.1%）91.5%表10被試寫出“誘導公式”的表現(xiàn)高一（71）高三（65人）形式正確35（49.3%）49（75.4%）形式錯誤26（36.6%）12（18.5%）未作答或幾乎為作答10（14.1%）4（6.2%）形式正確的公式的正確率91.0%91.5%表9與表10中的“形式錯誤”是指公式不符合形式要求。以誘導公式為例，，(π)A(a)A，()B(a)B等均符合形式要求；()A(a)A等雖屬錯誤結論，但形式正確；而與等雖為正確結論，但不具有誘導公式的形式，故視為形式錯誤。從表9、表10反映出，相當多的高一被試所寫的公式不符合形式要求。他們雖能熟練辨認原公式系統(tǒng)中的同角三角比關系與誘導公式，但未能實現(xiàn)遷移，在新公式系統(tǒng)中寫出正確形式的公式。這可能與他們的遷移能力有關，也可能是由于他們未充分關注并深入理解每組公式的形式及意義，故不明確應寫出何種形式的公式。相比之下，高三被試的表現(xiàn)明顯優(yōu)于高一被試，但亦出現(xiàn)一些形式錯誤的現(xiàn)象。值得注意的是，表9反映近半數(shù)高三被試直接寫出了正確結果，這意味著推理過程在他們頭腦中迅速完成了。這也許是因為高三復習中經常強調sincosa與sina+cosa之間的等量關系，因此他們一旦完成概念轉化，就能直接在頭腦中搜索到一個熟悉的結論，而這種熟練多少妨礙了他們表述的完整性。任務4要求高三被試證明一條關于A(a)的積化和差公式。如表11所示，高三被試在此任務中反映出良好的公式掌握水平與遷移水平（只是在表述完整性方面仍有不足）。表11高三被試證明“積化和差”公式的表現(xiàn)表現(xiàn)完成情況完全正確38（58.5%）大體正確，但表述不完整17（26.2%）未完成或有誤5（7.7%）未作答5（7.7%）任務5、6是兩個綜合性問題。其中任務6可化為常見三角比來處理，亦可從,,xyr的關系著手考慮，最終得出結論，但無論何種方法都具有較高的復雜性。從表12可見，被試答題水平分布于各個層次：半數(shù)學生尚不具備解決此類問題所需的遷移水平，而個別優(yōu)秀學生則正確完成了高難度的任務6.表12高三被試求解綜合性問題的表現(xiàn)任務5任務6正確完成20(30.8%)4(6.2%有較大進展/有細小錯誤/不夠完整15(23.1%)14(21.5%)進展很少/無進展/有明顯錯誤25(38.5%)40(61.5%)未作答5(7.7%)7(10.8%整體而言，相比高一被試，高三被試對三角公式系統(tǒng)的熟悉程度更高，遷移更為順利。個別高三學生表現(xiàn)出很高的遷移性理解水平。5結論與建議5.1主要結論及教學啟示綜合上述分析，研究者將甘南藏族自治州高中生在三角公式理解方面的主要表現(xiàn)與年級差異歸納如表13所示表13甘南藏族自治州高中生理解三角公式的主要表現(xiàn)基本情況及主要表現(xiàn)主要的年級差異工具性理解準確率較高，理解質量總體較好。準確率較高，理解質量總體較好。關系性理解未見明顯差異。關系性理解理解質量總體不高。在證明性理解方面，對和角公式的理解相對薄弱。在論說性理解方面，多數(shù)論述不觸及本質。對公式系統(tǒng)的結構性理解有所偏差，較為忽視和角公式。高三學生推導公式的策略比高一學生更為多樣；高三學生比高一學生更關注公式的實用性方面。創(chuàng)造性理解表現(xiàn)出一定的遷移性理解水平（個別高三學生表現(xiàn)出很高的遷移性理解水平）。在進行遷移時，對原公式系統(tǒng)中各公式的形式及意義的理解不夠到位。高三學生對公式形式的理解優(yōu)于高一學生。值得指出的是，高三學生對公式的理解反映出更多工具性數(shù)學的特點（實用、迅速獲得正確答案），比如他們更關注公式的實用性。此外，他們在創(chuàng)新性理解任務1、2中的答題完整性不及高一被試，亦可能是他們的思維更加直接和迅速所致。工具性理解實用、迅速的特點恰恰有助于高三學生在高考中迅速準確地答題，但這并不意味著他們關系性理解的質量不如高一學生。事實上，隨著學習進程，他們在熟悉知識體系、多角度理解公式等方面有更多的學習機會，以提高他們的關系性圖式的質量，這也能在年級差異的其他現(xiàn)象中得到一定程度的反映。然而研究中仍反映出，甘南藏族自治州高中生三角公式的關系性理解的質量總體而言并不高，在證明性理解、論說性理解、結構性理解這3個方面均顯出不足，特別是對和角公式的證明性理解相對薄弱，在結構性理解上亦有偏差。其實，被試在遷移性理解方面所表現(xiàn)出的“對公式形式及意義的理解不夠到位”，亦與結構性理解的不足有關。更一般而言，創(chuàng)新性理解要求“知其然并知其‘新’的‘然’和‘所以然’”，這是建立在高質量的關系性理解的基礎之上的。因此，在高中三角比教學中，需在關系性理解的上述幾個方面有所加強，比如可以適當強調各組公式的形式（可借助反例變式）以及它們的數(shù)學意義，適當加強和角公式的測評要求，多提供學生推導與論說方面的訓練機會等。當然基本技能的訓練仍值得保持，使學生具備迅速準確答題所需的工具性理解。5.2對進一步研究的建議鑒于樣本、研究實施條件等方面的限制，研究所反映的現(xiàn)象有待檢驗。對進一步的研究則有如下建議。（1）對全國范圍內不同地域、學習不同版本教材的高中學生在三角公式理解方面的情況作研究，進行年級差異、地域、教材等方面的比較。（2）就創(chuàng)新性理解而言，可對5.3節(jié)中所設計的任務系列加以充分利用或改造，借助深入訪談，以獲得對被試創(chuàng)新性理解情況的更多認識。此外，亦可與創(chuàng)造力的研究相結合。研究中不妨提供給被試充分的時間，讓他們發(fā)揮創(chuàng)造力，獨立地構建新公式系統(tǒng)，那么被試所面臨的挑戰(zhàn)將大得多。正如文[2]所述，“創(chuàng)新性的數(shù)學理解，是在提出新問題，進行新猜想，拓展新內容的過程中完成的。學習者在新的層次、或者更寬大領域里進行居高臨下的觀察，多角度地