4-23 -高階線性方程的例子、拉普拉斯變換

4.3高階線性微分方程例子、拉普拉斯變換(ExamplesofhigherorderLinearODE、LaplaceTransformation)[教學(xué)內(nèi)容]1.介紹簡諧振動(dòng)、節(jié)拍、共振、振幅反應(yīng)等概念.2.介紹拉普拉斯變換的概念和性質(zhì).3.介紹線性高階微分方程的拉普拉斯變換解法.[教學(xué)重難點(diǎn)]重點(diǎn)是知道振幅反應(yīng)(AmplitudeResponse）；難點(diǎn)是知道常見函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換.[教學(xué)方法]預(yù)習(xí)1、2、3；講授1、2、3[考核目標(biāo)]1.知道共振現(xiàn)象.2.知道拉普拉斯變換的概念和性質(zhì).3.知道常見函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換.1.機(jī)械振動(dòng)，表示偏離平衡位置的位移，k表示彈簧彈性系數(shù)(springconstant)，c表示阻尼系數(shù)（dampingconstant），F(xiàn)(t)表示外部力（externalforce）簡諧振動(dòng)(simpleharmonicmotion)：，定義，則得到方程的通解為令，則，稱為周期(period)，為頻率(frequency)，為圓頻率（circularfrequency），稱A為振幅(amplitude)，稱為初相位(phaseangle).有阻尼自由振動(dòng)（Freedampedmotion），改寫為，其中.特征方程為.圖1.臨界阻尼(criticallydampedcase)重根(單擺在水中擺動(dòng))大阻尼（over-dampedcase）兩不同實(shí)根無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)（undampedforceoscillations），（naturalfrequency）.在初值下，節(jié)拍(Beat:anaudiblevariationintheamplitudeofthecombinedsoundwithafrequencyof)圖2.共振（Resonance）,特解為，圖3.AmplitudeResponse:考察，可得特解.Amplituderesponse=,圖4.有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)（dampedforcedOscillations），特解為，.方程的任一解為.圖4.例62.Graphtheamplituderesponseforthefollowingsystems;(2).解：(1)特解為，.AmplitudeResponse圖5.作為練習(xí)，自己獨(dú)立完成.拉普拉斯變換拉普拉斯變換的概念廣義積分?jǐn)可⑿裕菏諗浚╟onverge）.Gamma函數(shù)：.,.(b)概念：設(shè)函數(shù)f(t)定義在上，且滿足為兩正常數(shù)，則稱變換為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，F(xiàn)(s)為象函數(shù)，f(t)為原象函數(shù).例63.求(1)f(t)=1,;(2);(3)的拉普拉斯變換.解：(1)..拉普拉斯變換的性質(zhì)線性性質(zhì)：設(shè)為實(shí)數(shù)，則.(直接驗(yàn)證即可)例64.求(1);(2)的拉普拉斯變換，其中k>0.解：(1)，.則由拉普拉斯變換的線性性質(zhì)知，.(2)，.則由拉普拉斯變換的線性性質(zhì)知，.作業(yè)55.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1);(2);.拉普拉斯逆變換由下面結(jié)論知，任兩個(gè)在連續(xù)且不同的函數(shù)在拉普拉斯變換下不可能具有相同的象函數(shù).因此，如果F(s)是某個(gè)連續(xù)函數(shù)f(t)在拉普拉斯變換下的象函數(shù)，則稱f(t)是F(s)的拉普拉斯逆變換，記為.拉普拉斯逆變換也具有線性性質(zhì).例65.求.解：由知，.由知，.由知，.作業(yè)56.求.一些理論拉普拉斯變換存在性定理：如果函數(shù)f(t)在部分按段連續(xù)，且滿足為兩正常數(shù)，則存在.反例：拉普拉斯逆變換唯一性定理：假定函數(shù)f(t),g(t)滿足上述拉普拉斯變換存在性定理?xiàng)l件，記分別表示f(t),g(t)在拉普拉斯變換下象函數(shù).若，則在上每個(gè)連續(xù)點(diǎn)處都有.拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和平移性質(zhì)如果函數(shù)f(t)在部分連續(xù)可導(dǎo)，且滿足為兩正常數(shù)，則存在，且.推論：如果函數(shù)f(t)在部分兩階連續(xù)可導(dǎo)，且滿足為兩正常數(shù)，則記，存在，且.(b)平移性質(zhì)：.例如，..例66.Solvetheinitialvalueproblem.解：記，由拉普拉斯變換的微分性質(zhì)知，，.將上述表達(dá)式代入原方程，由拉普拉斯變換的線性性質(zhì)知，，解得，由遮擋法知，.因此，所求解函數(shù)為.注解：拉普拉斯變換求出微分方程