工程數(shù)學(xué)ppt課件第一節(jié)-拉普拉斯變換的概念

第一節(jié)拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的定義二拉氏變換存在定理-1-第一節(jié)拉普拉斯變換的概念-1-一拉普拉斯變換的定義-2-傅氏變換對函數(shù)的兩個主要限制1)函數(shù)的定義域2）如果函數(shù)定義在補(bǔ)充函數(shù)在的定義如果存在常數(shù)使得一拉普拉斯變換的定義-2-傅氏變換對函數(shù)的兩個主要限-3-定義函數(shù)選取由于因此對可以求傅氏變換，如果記且記且?-3-定義函數(shù)選取由于因此對可以求傅氏變換，如果記且記且-4-這表明實(shí)際上為函數(shù)傅氏變換的像函數(shù)，即特別當(dāng)時(shí)有因此有?-4-這表明實(shí)際上為函數(shù)傅氏變換的像函數(shù)，即特別當(dāng)時(shí)有因-5-如果令上式又可以寫為定義設(shè)函數(shù)在有定義，積分在的某一域內(nèi)收斂，則稱此積分為的拉普拉斯變換式，記為?復(fù)變量函數(shù)稱為的拉普拉斯變換像函數(shù)，稱積分即?-5-如果令上式又可以寫為定義設(shè)函數(shù)在有定義，積分在的某-6-為的拉普拉斯逆變換式，記為?

而稱為拉普拉斯逆變換的像原函數(shù)。由定義可以看出，拉普拉斯變換像函數(shù)則實(shí)際上是傅氏變換的像函數(shù)。?[?同樣有??-6-為的拉普拉斯逆變換式，記為?而稱為拉普拉斯逆變二拉氏變換存在定理-7-拉氏變換存在定理設(shè)函數(shù)滿足下列條件1）在的任何一個有限區(qū)間上分段連續(xù)；2）存在常數(shù)使得(稱為函數(shù)的增長指數(shù))則的拉氏變換在半平面上一定存在，且在上二拉氏變換存在定理-7-拉氏變換存在定理設(shè)函數(shù)滿-8-右端的積分是絕對、一致收斂的，在是解析的，上且有[證]由條件2)可知，對任何的有由于-8-右端的積分是絕對、一致收斂的，在是解析的，上且有[-9-所以在上絕對且一致收斂，由的任意性，函數(shù)的拉氏變換在一定存在。同理積分在上絕對且一致收斂的，因此-9-所以在上絕對且一致收斂，由的任意性，函數(shù)的拉氏變換-10-對于成立，由的任意性，上式對一切成立，即因此在上是解析的。例1求單位階躍函數(shù)的拉氏變換。解?-10-對于成立，由的任意性，上式對一切成立，即因此在上-11-因此例2求正弦函數(shù)的拉氏變換。解?或??-11-因此例2求正弦函數(shù)的拉氏變換。解?或??-12-即解?或?同理??例3設(shè)為正整數(shù)，求??-12-即解?或?同理??例3設(shè)為正整數(shù)，求??-13-更一般的可得當(dāng)為大于1的實(shí)數(shù)時(shí)，即?有?-13-更一般的可得當(dāng)為大于1的實(shí)數(shù)時(shí)，即?有?-14-其中稱為伽瑪函數(shù)，滿足解例4設(shè)為以為周期的周期函數(shù)，且在一個周期上分段連續(xù)，求??-14-其中稱為伽瑪函數(shù)，滿足解例4設(shè)為以為周期的周期函-15-這就是周期函數(shù)求拉氏變換公式。例如以2為周期，且則?-15-這就是周期函數(shù)求拉氏變換公式。例如以2為周期，且-16-必須指出，對于在處含有脈沖的函數(shù)(如的拉氏變換，解例5求??即?或??我們定義-