第2章非線性方程求解

第2章非線性方程求解2.1化工實(shí)際問(wèn)題的提出2.2實(shí)根的對(duì)分法2.3直接迭代法2.4松弛迭代法2.5牛頓迭代法2.6割線法2.7非線性方程組的牛頓方法2.8應(yīng)用實(shí)例

總目錄2.1化工實(shí)際問(wèn)題的提出非線性方程問(wèn)題無(wú)論是從理論上還是從計(jì)算公式上，都要比線性方程復(fù)雜的多。而對(duì)于具體的化工問(wèn)題，初值和求解范圍常常可根據(jù)具體的化工知識(shí)來(lái)決定。常見(jiàn)的雷諾數(shù)和摩擦系數(shù)關(guān)系方程在雷諾數(shù)低于4000時(shí)有以下關(guān)系式：

(2-1)

已知雷諾數(shù)Re，如何根據(jù)公式（2-1）求出摩擦系數(shù)λ，這是我們?cè)诠苈吩O(shè)計(jì)中必須首先解決的問(wèn)題。總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.1化工實(shí)際問(wèn)題的提出對(duì)于方程（2-1）而言，無(wú)法用解析的方法求出摩擦系數(shù)，只能用數(shù)值求解的方法。如用在下面即將介紹的松弛迭代法，假設(shè)：則利用松弛迭代公式可得：經(jīng)11次迭代可得摩擦系數(shù)為0.07593。

(2-2)

總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.1化工實(shí)際問(wèn)題的提出同樣，在n個(gè)組分的等溫閃蒸計(jì)算中，通過(guò)物料和相平衡計(jì)算，我們可得到如下非線性方程：

(2-3)

采用牛頓迭代公式，則可以得到如下的具體迭代公式：

(2-4)

總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.1化工實(shí)際問(wèn)題的提出公式（2-5）是一種常用的飽和蒸氣壓計(jì)算公式：

(2-5)

其中p為飽和蒸氣壓，單位為mmHg，T為溫度，單位為K，A、B、C、D為已知系數(shù)。要想得到某一溫度下的飽和蒸氣壓，直接利用公式（2-5）是無(wú)法得到的。因?yàn)楣剑?-5）兩邊都有未知變量，并且無(wú)法用解析的方法求解，必須用數(shù)值計(jì)算的方法求解?？偰夸洷菊履夸?.12.22.32.42.52.62.72.82.2實(shí)根的對(duì)分法

總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.2.1使用對(duì)分法的條件2.2.2對(duì)分法求根算法

2.2.1使用對(duì)分法的條件設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b)<0，則f(x)在[a,b]上至少有一零點(diǎn)，這是微積分中的介值定理，也是使用對(duì)分法的前提條件。計(jì)算中通過(guò)對(duì)分區(qū)間，逐步縮小區(qū)間范圍的步驟搜索零點(diǎn)的位置。如果我們所要求解的方程從物理意義上來(lái)講確實(shí)存在實(shí)根，但又不滿足f(a)f(b)<0，這時(shí)，我們必須通過(guò)改變a和b的值來(lái)滿足二分法的應(yīng)用條件?？偰夸洷菊履夸?.12.22.32.42.52.62.72.82.2.2對(duì)分法求根算法

計(jì)算f(x)=0的一般計(jì)算步驟如下：1、輸入求根區(qū)間[a,b]和誤差控制量ε，定義函數(shù)f(x)。2、判斷:如果f(a)f(b)<0則轉(zhuǎn)下，否則，重新輸入a和b

3、計(jì)算中點(diǎn)x=(a+b)/2以及f(x)的值，分情況處理：（1）|f(x)|<ε：停止計(jì)算x*=x，轉(zhuǎn)向步驟4（2）f(a)f(x)<0：修正區(qū)間[a,x]→[a,b]，重復(fù)3（3）f(x)f(b)<0：修正區(qū)間[x,b]→[a,b]，重復(fù)34、輸出近似根x*。

總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.2.2對(duì)分法求根算法x0

x3

x1

x1

x3=(x0+x2)/2

x2=

(x0+x1)/2

圖2-1逐步對(duì)分區(qū)間對(duì)分法VB程序清單見(jiàn)課本總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.2.2對(duì)分法求根算法實(shí)例例2.1用對(duì)分法求在區(qū)間[1,2]之間的根。解：(1)f(1)=-2.8，f(2)=0.3，由介值定理可得有根區(qū)間[a,b]=[1,2]。

(2)計(jì)算x2=(1+2)/2=1.5，f(1.5)=-0.45，有根區(qū)間[a,b]=[1.5,2]。

(3)計(jì)算x3=(1.5+2)/2=1.75，f(1.75)=0.078125，有根區(qū)間[a,b]=[1.5,1.75]?？偰夸洷菊履夸?.12.22.32.42.52.62.72.82.2.2對(duì)分法求根算法實(shí)例一直做到|f(xn)|<ε(計(jì)算前給定的精度)或|a-b|<ε時(shí)停止。詳細(xì)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2-1。求解所有根的二分法程序清單見(jiàn)課本總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.3直接迭代法對(duì)給定的方程f(x)=0，將它轉(zhuǎn)換成等價(jià)形式：給定初值x0，由此來(lái)構(gòu)造迭代序列，k=1,2,…，如果迭代收斂，即有，則就是方程f(x)=0的根。在計(jì)算中當(dāng)小于給定的精度控制量時(shí)，取為方程的根?？偰夸洷菊履夸?.12.22.32.42.52.62.72.82.3直接迭代法對(duì)于方程構(gòu)造的多種迭代格式，怎樣判斷構(gòu)造的迭代格式是否收斂？收斂是否與迭代的初值有關(guān)？根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，我們可以直接利用以下收斂條件：（1）

當(dāng)有（2）在[a,b]上可導(dǎo)，并且存在正數(shù)L<1，使任意的，有。若滿足上述收斂條件，則在[a,b]上有唯一的點(diǎn)滿足，此時(shí)稱為的不動(dòng)點(diǎn)?？偰夸洷菊履夸?.12.22.32.42.52.62.72.82.3直接迭代法迭代格式對(duì)任意初值，均收斂于的不動(dòng)點(diǎn)，并有下面誤差估計(jì)式：

(2-6)

構(gòu)造收斂迭代格式有兩個(gè)要素：1.等價(jià)形式應(yīng)滿足；2.初值必須取自的充分小鄰域，其大小決定于函數(shù)f(x)，及做出的等價(jià)形式

?？偰夸洷菊履夸?.12.22.32.42.52.62.72.82.3直接迭代法實(shí)例例2.2求代數(shù)方程x3-2x-5=0，在x0=2附近的零點(diǎn)。解：（1）x3=2x+5

所以構(gòu)造迭代序列收斂。取x0=2，則：準(zhǔn)確的解是x=2.09455148150。總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.3直接迭代法實(shí)例（2）將迭代格式寫為：因?yàn)樗?，迭代格式不能保證收斂，但并不一定不收斂。直接迭代法VB程序清單見(jiàn)課本總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.8為松弛因子時(shí)，為直接迭代；時(shí)，迭代步長(zhǎng)加大，加速迭代；時(shí)，迭代步長(zhǎng)減小，適合迭代發(fā)散；時(shí)，迭代反方向進(jìn)行。2.4松弛迭代法通過(guò)選擇合適的松弛因子,就可以使迭代過(guò)程收斂。松弛法的迭代公式如下：

(2-7)

總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.4松弛迭代法實(shí)例例2.3用松弛迭代法求解下面非線性方程組，并分析松弛因子對(duì)迭代次數(shù)及收斂過(guò)程的影響。已知迭代初值x和y均為0，收斂精度ε=0.001。解：取以下迭代表達(dá)式：總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.4松弛迭代法實(shí)例若取松弛因子為1.1，則其迭代過(guò)程如表2-2。若改變松弛因子,迭代過(guò)程及迭代所需的次數(shù)亦將發(fā)生變化，詳見(jiàn)表2-3。表2-2迭代過(guò)程表2-3松弛因子及迭代次數(shù)的變化總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.5牛頓迭代法

總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.5.1牛頓法的理論推導(dǎo)2.5.2牛頓法的幾何意義2.5.1牛頓法的理論推導(dǎo)牛頓迭代法是借助于對(duì)函數(shù)f(x)=0的泰勒展開而得到的一種迭代格式。將f(x)=0在初始值x0做泰勒展開得：取展開式的線性部分作為的近似值，則有：設(shè)，則，令總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.5.1牛頓法的理論推導(dǎo)類似地，再將f(x)=0在x1作泰勒展開并取其線性部分得到：一直做下去得到牛頓法的迭代格式：

牛頓迭代格式對(duì)應(yīng)于f(x)=0的等價(jià)方程為：

(2-8)

(2-9)

總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.5.2牛頓法的幾何意義以為斜率作過(guò)(x0，f(x0))點(diǎn)的直線，即作f(x)在x0的切線方程：令y=0，則在x1處的切線與x軸的交點(diǎn)x1，即：再作f(x)在x1處的切線，得交點(diǎn)x2，逐步逼近方程的根b。如圖所示。yxx2x1x0圖2-3牛頓切線法示意圖總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.5.2牛頓法的幾何意義實(shí)例例2-4用牛頓迭代法求方程f(x)=x3-7.7x2+19.2x-15.3，在x0=1附近的零點(diǎn)。解：表2-4計(jì)算結(jié)果總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.6割線法在牛頓迭代格式中：

用差商：

代替導(dǎo)數(shù)并給定初始值x0和x1

，那么迭代格式可寫成如下形式：

(2-10)

上式稱為割線法。總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.6割線法實(shí)例例2.5：用割線法求方程的根，取x0=1.5，x1=4.0。解：計(jì)算結(jié)果列于表2-5割線法VB程序清單見(jiàn)課本表2-5計(jì)算結(jié)果總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.7非線性方程組的牛頓方法設(shè)二階方程組

(2-11)

其中x,y為自變量。為了方便起見(jiàn)，將方程組寫成向量形式：將在（x0,y0）附近進(jìn)行二元泰勒展開，并取其線性部分，得到下面方程組：總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.7非線性方程組的牛頓方法令則有如果再將原方程組在u1處進(jìn)行二元泰勒展開，并取其線性部分總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.7非線性方程組的牛頓方法得到下面方程組：

解出得出繼續(xù)做下去，每一次迭代都是一個(gè)方程組為止。

(2-12)

總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.7非線性方程組的牛頓方法

實(shí)例例2.6求解下面非線性方程組取初始值解：解方程得總目錄本章目錄2.12.22.32.42.52.62.72.82.7非線性方程組的牛頓方法

實(shí)例繼續(xù)做下去，直到時(shí)停止?？偰夸洷菊履夸?.12.22.32.42.52.62.72.82.8應(yīng)用實(shí)例例2.7在合成氨生產(chǎn)中，烴類蒸氣發(fā)生以下轉(zhuǎn)化反應(yīng)：

已知進(jìn)料甲烷為1mol，水蒸汽為