彈塑性力學第十章

10-7最小余能原理-類似于最小（總）勢能的推導，可由余虛功原理導出最小（總）余能原理。由式將應變能函數(shù)表示為應力的函數(shù)，可得當有虛應力時，在邊界上，位移分量不變，于是可把變公符號放在括號外，令記作這個變分量，有33

于是有于是有1

其中與最小勢能一樣，進一步分析可證明34

所以可得到最小總余能原理：在所有滿足平衡方程和應力邊界條件的應力場中，真實的應力場對于穩(wěn)定的平衡使系統(tǒng)的總余能取最小值。物體的真實應力場既滿足平衡方程、應力邊界條件，又滿足變形協(xié)調條件。由最小余能原理知道，真實的應力場滿足平衡方程和應力邊界條件，還滿足使總余能取最小值的條件?？梢?，最小總余能原理與變形協(xié)調條件等價。通過直接變換，可由應力變分方程導出變形協(xié)調方程。其附加條件為2最小勢能原理和最小余能原理的不同點最小勢能原理最小余能原理1.最小勢能原理是位移變分原理，變分的是位移；變形能是位移的函數(shù)。最小余能原理是應力變分原理，變分的是應力；應變能實際是余能(在線彈性時等于應變能），是應力的函數(shù)。32.最小勢能原理，體力和面力在公式中是給定的，出現(xiàn)，不變分。最小余能原理，在這里體力一般是給定的外力，不參加變分，也不出現(xiàn)，給定面力的邊界不參加變分，也不出現(xiàn)，給定位移的邊界（面力未給定）位移出現(xiàn)，但不參加變分，這部分面力出現(xiàn)，參加變分。43.最小勢能原理，變分的位移應滿足位移約束條件，得到的是應力平衡方程和應力邊界條件；最小余能原理，變分的應力應當滿足平衡方程和應力邊界條件，得到的是應變協(xié)調條件和位移邊界條件。5最小余能原理的意義彈性體在外力的作用下，發(fā)生位移，產(chǎn)生變形和應力。應力可以是各種各樣的，但必須滿足應力的平衡條件和邊界條件。滿足應力平衡方程和邊界條件的應力稱為容許應力，容許應力也有無窮多組，其中只有一組是真實的，真實應力，根據(jù)它們求得的應變還應滿足協(xié)調條件和位移邊界條件。應力應力應力變協(xié)調位移邊界余余余余應力應力應力位移邊界變協(xié)調余余余余6最小余能原理一特殊情況，若在物體的全部表面S上給定面力也即只有而無或者位移邊界固定（變形體系無支架移動）此時，總余能等于余應變能。上述變分方程稱為最小功原理：若變形體的面力給定或位移邊界固定，則在所有滿足平衡方程和邊界條件的應力場中，真實的應力場必使余應變能取最小值。對于線彈性體，余應變能與應變能相等。所以上式又稱為最小應變能定理:沒有體力而物體表面上位移給定的條件下線彈性體處于實際的彈性平衡時，應變能最小。最小功原理也可由卡氏定理直接得出。

10-8最小功原理卡氏第二定理7Chapter10.7假定變形體上受N個廣義力（i＝1、2……n）的作用，并認為系統(tǒng)的內力已由廣義力表示，則系統(tǒng)的總余能為由最小余能原理，有

卡氏第二定理（卡氏定理）將代入得即卡氏第二定理，它可敘述為：對于線性結構，它的余應變能對任一載荷的偏導數(shù)等于該載荷的位移只要它的應變能表達為載荷的函數(shù)。因此，此式可用來計算線性，非線性彈性桿件或構件在外力作用處與外力相應的位移。當為零時可轉化為最小功原理。8Chapter10.7一類變量變分原理：在虛位移與最小勢能原理中，以位移分量作為參與變分的獨立變量；而虛應力原理與最小余能原理，則以應力分量為參與變分的獨立變量。二類變量廣義變分原理：賴斯納變分原理就是把位移和應力看作是獨立的變量，其結果相當于同時滿足平衡微分方程、物理方程和應力、幾何邊界條件。三類變量廣義變分原理：胡-鷲變分原理是把位移、應變作為獨立變量，它等價于彈性力學的一切基本方程和全部邊界條件。這些原理是用拉氏乘子法，將條件極值問題變成無條件的駐值問題，是彈性力學中的最一般的變分原理，稱為廣義變分原理，也稱為一般變分原理。最小勢能原理和最小余能原理都是條件變分原理，而賴斯變分原理和胡-鷲變分原理都是無條件變分原理。

10-9廣義變分原理

9Chapter10.7對于一類變量變分原理也就是由虛功（虛位移）原理導出的最小勢能原理和由余虛功（虛應力）原理導出的最小余能原理稱為極值原理，也稱最小能原理。解彈性力學問題，我們可以采用最小勢能原理，也可以用最小余能原理。它們都來源于能量守恒原理。這兩個原理應該是等效的。總勢能和余能的數(shù)值相等，但相差一個正負號。變分原理之間的關系可用下圖表示：

10-10各變分原理之間的關系

化簡得101110-11基于變分原理的近似解法一、基于最小勢能原理的近似解法1、里茨(Ritz)法2、迦遼金(Galerkin)法1、瑞茨(Ritz)法先設定滿足位移邊界條件的位移分量的表達式，其中包含若干個待定的系數(shù)，再根據(jù)最小勢能原理，決定這些系數(shù)Ritz法解題步驟第一步先找可能狀態(tài)：選擇一組在邊界上滿足指定約束條件的容許函數(shù)，把它們分別乘上待定常數(shù)并疊加起來，作為試驗函數(shù)去代替真實的自變函數(shù)；第二步逼近真實狀態(tài)：調整試驗函數(shù)中的待定常數(shù)，使?jié)M足泛函駐值條件

＝0，求得逼近于真解的近似解。顯然試驗函數(shù)選得越好，解的精度越高。122、迦遼金(Galerkin)法

瑞滋方法要求位移函數(shù)滿足位移邊界條件，如果進一步要求根據(jù)位移函數(shù)求得的應力還滿足應力邊界條件，公式還可以簡化，這種方法稱為伽遼金方法。Galerkin方法的基本思想在域內并不處處滿足平衡方程，代入平衡方程后，右端將出現(xiàn)非零的殘量。調整試驗函數(shù)中的待定參數(shù)，使殘量與某些權函數(shù)之積在整個域上的積分值等于零(或者說，要求殘量在域上與某些權函數(shù)正交)，就能得到合理的近似解。13迦遼金(Galerkin)法是加權殘量法的一種特殊形式。它也可以處理不存在泛函的一類微分方程的邊值問題，適用范圍比里茨法廣，但對存