數(shù)學(xué)物理方程2-1

第二章

分離變量法

§2.1有界弦的自由振動(dòng)

研究?jī)啥斯潭ㄏ业淖杂烧駝?dòng).定解問題為：特點(diǎn)：方程和邊界條件都是線性齊次的.理論基礎(chǔ):疊加原理設(shè)L是線性微分算子，若滿足線性方程（或線性定解條件）則它們的線性組合必滿足方程（或定解條件）其中當(dāng)出現(xiàn)無限求和時(shí)，則要求級(jí)數(shù)收斂，且滿足“L中出現(xiàn)的求導(dǎo)與求和可交換”的條件。

的特征值問題(§2.6)Sturm-Liouville

理論

特別地，對(duì)于設(shè)且不恒為零，代入方程和邊界條件中得①

由不恒為零，有：這個(gè)式子的左端是x的函數(shù),右端是t的函數(shù)，何時(shí)恒等？④

④利用邊界條件②

…..……..③思考：先解哪一個(gè)方程？則⑤

特征值問題分三種情形討論特征值問題的求解：相應(yīng)的非零解X(x)

稱為特征函數(shù)；由邊值條件(i)方程通解為(ii)時(shí)，通解由邊值條件得：C1=C

2=0

從而，無意義.無意義

由邊值條件：從而即：(iii）時(shí)，通解故而得再求解T：其解為所以兩端固定弦的特征振動(dòng)未必滿足初始條件(2.3)

受疊加原理啟發(fā)，

代入初始條件得：………………...⑥考察第一個(gè)等式：兩邊同乘以并積分得從而利用三角函數(shù)的正交性：得：從而考察第二個(gè)等式：兩邊同乘以并積分得從而利用三角函數(shù)的正交性：從而將展開為Fourier正弦級(jí)數(shù)，比較系數(shù)得由疊加原理，如果上式右端的無窮級(jí)數(shù)是收斂的，并且關(guān)于

x，t

能逐項(xiàng)微分兩次，則和式u(x,t)確實(shí)是問題(2.1)-(2.3)的解（古典解）。

則無窮級(jí)數(shù)解上，，且條件：若在區(qū)間如果(*)定義的函數(shù)u(x,t)不具備古典解的要求，則稱為問題(2.1)-(2.3)的形式解.為混合問題(2.1)-(2.3)的解,其中注1:本書不討論所求形式解是古典解需加的條件，只要求得了形式解，就認(rèn)為定解問題得到了解決。注2:用分離變量法求解定解問題的關(guān)鍵是確定特征函數(shù)和運(yùn)用疊加原理，這些運(yùn)算能夠進(jìn)行,是因?yàn)榉匠桃约斑吔鐥l件都是齊次的。

⑵弦上各點(diǎn)振幅因點(diǎn)而異在處，振幅永遠(yuǎn)為0二、解的物理意義節(jié)點(diǎn)腹點(diǎn)振幅頻率初位相在處，振幅最大,為nN⑴弦上各點(diǎn)的頻率和初位相都相同，因而沒有波形的傳播現(xiàn)象。u(x,t

)是由無窮多個(gè)振幅、頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成。

（特征值問題）齊次邊界條件（特征函數(shù)）分離變量法圖解

例1

設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦做微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移，其中與弦的材料和張力有關(guān).解設(shè)位移函數(shù)為，則需要求解下列定解問題因此，所求的解