人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 （勾股定理）新課件(第1課時)

第十七章勾股定理第十七章勾股定理17.1勾股定理第一課時

學(xué)習(xí)目標(biāo)12能說出勾股定理的內(nèi)容，會用面積法來證明勾股定理.（重點）會用勾股定理進(jìn)行簡單的計算.(難點）新課導(dǎo)入

問題：國際數(shù)學(xué)大會是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運會”.2002年在北京召開了第24界國際數(shù)學(xué)家大會.下圖就是大會會徽的圖案.你見過這個圖案嗎？它由哪些我們學(xué)過的基本圖形組成？這個圖案有什么特別的含義？

問題引入

知識講解★

勾股定理的認(rèn)識及驗證

相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客，發(fā)現(xiàn)他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：ABC問題1：

正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系？小正方形A、B的面積之和等于大正方形C的面積，即ABC一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=

問題2

：

圖中由正方形A、B、C的邊長構(gòu)成的等腰直角三角形三邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？等腰三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即問題3：

在網(wǎng)格中的一般的直角三角形，如下圖，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中小正方A,B的面積都容易求，那么該怎樣求正方形C的面積呢？方法1：補(bǔ)形法(把以斜邊為邊長的正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：你還有其他辦法求C的面積嗎？根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖413259169思考:

正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？SA+SB=SC

由前面的探索可以發(fā)現(xiàn)：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有

a2+b2=c2.勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.溫馨提示：上述這種驗證勾股定理的方法是用面積法.“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會的會徽.abcS大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2，S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖證明：b-a證法2

：

畢達(dá)哥拉斯證法，將四個全等的直角三角形按圖示進(jìn)行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明.abaaabbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，證明：aabbcc∴a2+b2=c2.證法3：美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.★

利用勾股定理進(jìn)行計算

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得CAB例2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當(dāng)AB為斜邊時，如圖，當(dāng)BC為斜邊時，如圖，43ACB43CAB圖圖

歸納：當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類討論，否則容易丟解.例3

已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.解：由勾股定理可得，

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34方法總結(jié)：

由直角三角形的面積公式可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積.隨堂訓(xùn)練

C2.三角形的兩邊長為6和8，要使這個三角形為直角三角形，則第三邊長為()A.9B.10C.2或9D.2或10D4.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.（3）若BC=11，AB=61，則AC=_______．175603.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm2解：在△ABC中，∠C=90°，

∴a2+b2=c2.

∵c﹣a=4，b=12，∴c=a+4，∴a2+122=（a+4）2.

∴a=16，∴c=20，即a=16，c=20.5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c．

解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.6.

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．方法總結(jié)：題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．當(dāng)高AD在△ABC外部時，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.課堂小結(jié)勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論再見第十七章勾股定理第十七章勾股定理17.1勾股定理第二課時

學(xué)習(xí)目標(biāo)12會運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題.（重點）能從實際問題中抽象出勾股定理的數(shù)學(xué)模型，并能利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián)系，進(jìn)一步求出未知邊長.(難點）新課導(dǎo)入知識回顧勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.知識講解★

勾股定理的簡單實際應(yīng)用問題1：

一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?2m1mABDC分析：可以看出木板無論橫著，還是豎著都不能通過，所以只能考慮斜著.觀察可以發(fā)現(xiàn)

AC的長度是斜著能通過的最大長度，所以只要AC的長大于木板的寬就能通過.解：連接AC，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5，因為AC的長大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.

2m1mABDC溫馨提示：此題是已知兩直角邊利用勾股定理求斜邊.問題2：如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?ABDCO

解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.溫馨提示：此題是已知斜邊和一直角邊利用勾股定理求另一直角邊.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.歸納總結(jié)數(shù)學(xué)問題直角三角形勾股定理實際問題轉(zhuǎn)化構(gòu)建利用解決例1如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵2米，兩棵對相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行多少？ABC解：如圖，過點A作AC⊥BC于點C.由題意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，

答：小鳥至少飛行10米.★

利用勾股定理求兩點間距離A21-4-3-2-1-123145例2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A(-3,5),B(1,2)求A,B兩點間的距離.yOx3BC解：如圖，過點A作x軸的垂線,過點B作x，y軸的垂線.相交于點C,連接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B兩點間的距離為5.方法總結(jié)：兩點之間的距離公式：一般地，設(shè)平面上任意兩點★

利用勾股定理求最短距離CBA問題：在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

CB路線，難道小狗也懂?dāng)?shù)學(xué)？AC+CB>AB（兩點之間線段最短）思考：在立體圖形中，應(yīng)該怎么尋找最短線路呢？BAOBAdABA'AB想一想：螞蟻走哪一條路線最近？A'螞蟻從A爬到B的路線問題：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，螞蟻怎么走最近？BA根據(jù)兩點之間線段最短易知第一個路線最近.若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.BA3O12側(cè)面展開圖123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

歸納：立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.數(shù)學(xué)思想：立體圖形平面圖形轉(zhuǎn)化展開例3如圖，長方體的長為10cm，寬為6cm，高為8cm，一只螞蟻沿著長方體的表面由A爬到B需要爬行的最短路程是多少？BA6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由題意知有三種展開方法，如圖.由勾股定理得∴AB1＜AB2＜AB3.∴小螞蟻完成任務(wù)的最短路程為AB1，長為.隨堂訓(xùn)練CD1．如圖，一棵大樹被臺風(fēng)刮斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前高()A.5mB.7mC.8mD.10m2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）A.9cm