求二面角的方法專題

二面角二面角的平面角的定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角的特點：①頂點在棱上；②兩條邊分別在兩個平面內(nèi)；③與棱都垂直。二面角的平面角的范圍：求二面角的平面角的方法：1.定義法（或垂面法）圖 A2.三垂線法圖B3.射影面積法圖CbbaP圖ARQP圖C圖BBAQP典型例題：方法一：定義法已知，過點引所在平面的斜線與，分別成，角，求二面角的大小。OOCBA2．是所在平面外一點，連接，,則二面角的余弦值是_________________.3．如圖，正方體中，為棱的中點，那么截面和截面所成的二面角為______________EED1B1C1A1DCBA4．在中，,垂直平分,且分別交于，又,求二面角的大小。SSEDCBA5．如圖，正方體的棱長為1，是的中點，求二面角的大小。D1D1B1C1A1DCBAP6．如圖，已知點為正方體的棱的中點，求二面角的余弦值。D1D1B1C1A1DCBAP方法二：三垂線法：7．如圖所示，平面平面是正三角形，則二面角的平面角的正切角為___________________（）DDCBA8．如圖，矩形中，，沿對角線將向上折起，使點移至點，且在平面的射影在上。（1）求二面角的平面角的余弦值。（）（2）求直線與平面所成角的正弦值。（）PPODCBA9．如圖，已知是所在平面外一點，連接后，平面，求二面角的大小。（答案：）DDCBA10．已知棱長為的正方體中，是棱的中點，是的中點，求截面和底面所成的角。NNMD1C1B1A1DCBA11．如圖，已知,斜邊在平面內(nèi)，點不在內(nèi)。分別與平面成角、角，求所在平面與平面所成的角。CCBA12．如果二面角的平面角是銳角，點到和棱的距離分別為，求二面角的大小。13．如圖，已知直二面角，,線段與成的角，與成的角，過分別作的垂線分別是垂足，求二面角的大小。llDCBA14．如圖，是二面角的棱上的兩點，在面內(nèi)，以為直徑的半圓上有一點，若和成的角，求二面角的大小。llPBA綜合問題：如圖，二面角的平面為，為上一定點，且的面積為，過點作直線，使，且和平面成的角，當(dāng)變化時，求面積的最大值。NNMDCBA2．是邊長為1的正方形，分別是邊上的點，∥，交于，沿折成直二面角。（1）求證：無論怎樣平行移動，的大小不變；（2）求在怎樣的位置時，和的距離最小，最小值是多少。OONMDCBA3．是邊長為的棱形，，沿對角線折成的二面角后，求和間的距離。DDCBA4．如圖，已知點是菱形所在平面外一點，，為邊長等于2的正三角形，面與底面所成的二面角為。（1）求點到平面的距離；（2）求面與平面所成的二面角的大小。PPDCBA5．如圖，點是正方形所在平面外一點，平面,,是的中點，作交于點。（1）證明：∥平面（2）證明：平面（3）求二面角的大小。FFEPDCBA6.如圖，線段是夾在互相垂直的平面之間，它和所成的角分別是，兩點在這兩個平面的交線上的射影是,且，求：（1）的長；（2）平面和平面所成的二面角的平面角的正弦值。DDBA7．如圖，在邊長為的菱形中，平面，，為的中點。（1）求證：平面平面（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的正切值。PPEDCBA8．在Ｒｔ△ABC中，兩直角邊的長分別為AC=ａ，BC=ａ沿斜邊上的高CD將平面ACD折到平面，使平面平面BCD，求折疊后點D到平面的距離。CCABaDAADBEAC（2）（1）9．如圖，設(shè)△的面積為S，BC=a，作DE∥BC，且分別交，于D，E，把△折起，使折起后的△ADE所在平面和平面BCED所成的角為（為常數(shù)，），問DE在何處時，A到BC的距離最小，并求出這個最小值。AEDHABMCAEDHABMC10．在長方形ABCD中，P是CD上的一個動點，∠BAP=,沿AP把長方形拆