考點48 離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差

考點48離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差選擇題1.(2018·浙江高考T7)設(shè)0<p<1,隨機變量ξ的分布列是ξ012P11p則當p在(0,1)內(nèi)增大時, ()A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小【命題意圖】考查期望與方差的性質(zhì).【解析】選D.由分布列可知E(ξ)=0×1-p2+1×12+2×p2=p+12,所以方差D(ξ)=0-p-122×1-p2+1-p-122×12+2-p-122二、解答題2.(本小題12分)(2018·北京高考理科·T17)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率.(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率.(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等,用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系.【命題意圖】考查統(tǒng)計與概率知識中的古典概型,事件的運算,以及方差的計算,意在考查,培養(yǎng)學生的實際應(yīng)用能力、邏輯推理能力,體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學素養(yǎng).【解析】(1)由表知,電影公司收集的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000,獲得好評的第四類電影部數(shù)為200×0.25=50,所以所求概率為502000=0.025(2)記“從第四類電影中隨機選取的1部獲得好評”為事件A,記“從第五類電影中隨機選取的1部獲得好評”為事件B,則事件“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,恰有1部獲得好評”可表示為AB+AB,由表知,P(A)=0.25,P(B)=0.2,所有電影是否獲得好評相互獨立,所以P(A)=1-P(A)=0.75,P(B)=1-P(B)=0.8,P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35,即所求概率為0.35.(3)由表及已知,P(ξ1=1)=0.4,P(ξ1=0)=1-0.4=0.6,P(ξ12=1)=P(ξ1=1)=0.4,P(ξ12=0)=P(ξ所以Eξ1=1×0.4+0×0.6=0.4,Eξ12=0Dξ1=Eξ12-(Eξ1)2=0.4-0.42=0.同理,Dξ2=Eξ22-(Eξ2)2=0.2-0.22=0Dξ3=Eξ32-(Eξ3)2=0.15-0.152=0Dξ4=Eξ42-(Eξ4)2=0.25-0.252=0.Dξ5=Eξ52-(Eξ5)2=0.2-0.22=0Dξ6=Eξ62-(Eξ6)2=0.1-0.12=0所以Dξ6<Dξ3<Dξ2=Dξ5<Dξ4<Dξ1.3.(本小題13分)(2018·北京高考文科·T17)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率.(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率.(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結(jié)論)【命題意圖】考查統(tǒng)計與概率知識中的古典概型、事件的運算、以及方差的計算,意在考查、培養(yǎng)學生的實際應(yīng)用能力、邏輯推理能力,體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學素養(yǎng).【解析】(1)由表知,電影公司收集的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000,獲得好評的第四類電影部數(shù)為200×0.25=50,所以所求概率為502000=0.025(2)方法一:記“隨機選取的1部電影沒有獲得好評”為事件A,由表知,沒有獲得好評的電影部數(shù)為140×(1-0.4)+50×(1-0.2)+300×(1-0.15)+200×(1-0.25)+800×(1-0.2)+510×(1-0.1)=1628,所以P(A)=16282000=0.即所求概率為0.814.方法二:記“隨機選取的1部電影獲得好評”為事件A,則“隨機選取的1部電影沒有獲得好評”為事件A,由表知,獲得好評的電影部數(shù)為140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372,所以P(A)=3722000=0.所以P(A)=1-P(A)=0.814,即所求概率為0.814.(3)由表及已知,第五類電影的好評率增加0.1,第二類電影的好評率減少0.1,符合要求.4.(本小題滿分13分)(2018·天津高考理科·T16)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查.(Ⅰ)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(Ⅱ)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望;(ⅱ)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.【命題意圖】本小題主要考查隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望、互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.【解析】(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(ⅰ)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4k·C所以,隨機變量X的分布列為X0123P112184隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×4(ⅱ)設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人