初中數(shù)學(xué)破題致勝微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形與正方形手拉手1

#等腰直角三角形與正方形手拉手例：已知，在△中，N ,點(diǎn)在直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與、重合)，以為邊作正方形 E連接，()如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，求證：① ②，()如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其他條件不變，線(xiàn)段與的上述關(guān)系是否還成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論即可(不必證明)；()如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，且點(diǎn)、在直線(xiàn)的兩端，其他條件不變，線(xiàn)段與的上述關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：()根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出/°=，4正5方形的性質(zhì)可得°然后利用同角的余角相等求出/,再利用“邊角邊”證明△ 和全連等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得/,然后求出/再9根0據(jù)垂直的定義證明即可；結(jié)論仍然成立；同()可證△全連等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/°同()可證△全連等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/°1然后求出/°=，9再0根據(jù)垂直的定義證明即,.,.Z解：()??,.,.Z???四邊形 是正方形，??.A°,VZDZ°,0ZD°,AZD十 \AB:°在^和△中，｛/BAD=ZCAF，二△ 9△,所以①,ZF^AD=AFAZFZ° ° °,.,.②F()當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段與的上述關(guān)系仍然成立；()當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，且點(diǎn)、在直線(xiàn)的兩側(cè)，線(xiàn)段與的上述關(guān)系仍然成立理由：同理可證，△ /△ ,A,ZZ° °,VZ°,AZFF° ° °,A±總結(jié)：兩個(gè)等腰直角三角形共直角頂點(diǎn)為手拉手模型之一，如圖，其中有等腰直角三角形和正方形共直角頂點(diǎn)，相當(dāng)于兩個(gè)等腰直角三角形“手拉手”，因?yàn)檎叫纹渲幸粋€(gè)對(duì)角線(xiàn)與兩邊就可形成等腰直角三角形，所以有全等三角形及其性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)：在^中，為邊作正方形,Z 90。練習(xí)：在^中，為邊作正方形，使點(diǎn)與點(diǎn)在直線(xiàn)的異側(cè)，射線(xiàn)與射線(xiàn)相交于點(diǎn).()若點(diǎn)在線(xiàn)段上，如圖①依題意補(bǔ)全圖；②判斷與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明；()若點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且為中點(diǎn)，連接，,，則的長(zhǎng)為,并簡(jiǎn)述求長(zhǎng)的思路.

長(zhǎng)為,并簡(jiǎn)述求長(zhǎng)的思路.解 ①補(bǔ)全圖形，如圖所示.圖②BC和CG的數(shù)量關(guān)系：BC=CG，位置關(guān)系：BC1CG.證明如圖.VAB=AC,/BAC=90。,二/B=ZACB=45o,Z1+Z2=90。.???射線(xiàn)BA、CF的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G，二/CAG=/BAC=90。.V四邊形ADEF為正方形，??./DAF=Z2+Z3=90。，AD=AF..?.Z1=Z3..?.△ABD/△ACF..?./B=/ACF=45。..?./B=ZG=45。，/BCG=90。..?.BC=CG,BC1CG.GE=<10.思路如下：由G為CF中點(diǎn)畫(huà)出圖形，如圖所示.與②同理，可得 ,BC=CG,BC1CG.由AB="霓，G為中點(diǎn)，可得6。=。6=依=。。=2；過(guò)點(diǎn)A作AM_LBD于M，過(guò)點(diǎn)石作￡N，bG于N，可證△AMD經(jīng)AFNE,可得4加=四=1,N￡為bG的垂直