多元微積分省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

多元微積分概念、理論、方法是一元微積分中對應(yīng)概念、理論、方法推廣和發(fā)展，它們現(xiàn)有相同之處（概念及處理問題思想方法）又有許多本質(zhì)不一樣，要善于進(jìn)行比較，既要認(rèn)識到它們共同點(diǎn)和相互聯(lián)絡(luò)，更要注意它們區(qū)分，研究新情況和新問題，深刻了解，融會貫通。多元函數(shù)微分學(xué)

在上冊中，我們討論是一元函數(shù)微積分，但實(shí)際問題中常會碰到依賴于兩個以上自變量函數(shù)—多元函數(shù)，也提出了多元微積分問題。第1頁重點(diǎn)多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)幾何應(yīng)用，多元函數(shù)極值。難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。函數(shù)微分法從一元函數(shù)發(fā)展到二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則能夠類推，所以這里基本上只討論二元函數(shù)。第2頁①掌握多元函數(shù)基本概念，會表示定義域，了解二元極限、連續(xù)②深刻了解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導(dǎo)數(shù)，③掌握全微分概念④會求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)求導(dǎo)方法，⑤會求曲線切線、法平面，曲面切平面和法線，⑥會求多元函數(shù)極值基本要求第3頁（1）鄰域（2）區(qū)域一、多元函數(shù)概念第4頁比如，即為開集．第5頁比如，比如，連通開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．第6頁有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．（3）聚點(diǎn)第7頁說明：

內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；

邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．

點(diǎn)集E聚點(diǎn)能夠?qū)儆贓，也能夠不屬于E．比如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．比如,邊界上點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．第8頁（4）n維空間說明：

n維空間記號為

n維空間中兩點(diǎn)間距離公式第9頁特殊地當(dāng)時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間距離．

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念鄰域：內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．設(shè)兩點(diǎn)為第10頁（5）二元函數(shù)定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第11頁例1求定義域．解所求定義域為第12頁（6）二元函數(shù)圖形（如右圖）二元函數(shù)圖形通常是一張曲面.第13頁二、多元函數(shù)極限第14頁（1）定義中方式可能是各種多樣，方向可能任意多，路徑能夠是千姿百態(tài)，所謂極限存在是指當(dāng)動點(diǎn)從四面八方以可能有任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時，函數(shù)都趨于同一常數(shù)?！@是產(chǎn)生本質(zhì)差異根本原因。（2）二元函數(shù)極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則、無窮小、等價無窮小代換等，提議自行復(fù)習(xí)，寫出相關(guān)結(jié)論以鞏固和加深了解。說明：第15頁證當(dāng)時，原結(jié)論成立．例2求證第16頁例3求極限解其中第17頁例4證實(shí)不存在．證取其值隨k不一樣而改變，故極限不存在．第18頁確定極限不存在方法：第19頁利用點(diǎn)函數(shù)形式有第20頁例5討論函數(shù)在(0,0)處連續(xù)性．三、多元函數(shù)連續(xù)性第21頁解取當(dāng)時故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例6討論函數(shù)在(0,0)連續(xù)性．第22頁解取其值隨k不一樣而改變，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)，在D上最少取得它最大值和最小值各一次．第23頁（2）介值定理在有界閉區(qū)域D上多元連續(xù)函數(shù)，假如在D上取得兩個不一樣函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間任何值最少一次．多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所組成可用一個式子所表示多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)區(qū)域或閉區(qū)域．第24頁多元函數(shù)定義多元函數(shù)極限概念（注意趨近方式任意性）多元函數(shù)連續(xù)概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)四、小結(jié)第25頁思索題