離散型隨機(jī)變量的期望與方差第課時0000省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課百校聯(lián)賽優(yōu)質(zhì)課一等獎?wù)n件

第十一章概率與統(tǒng)計離散型隨機(jī)變量的期望與方差第講2（第二課時）1/251題型4

求隨機(jī)變量方差1.已知離散型隨機(jī)變量ξ分布列為設(shè)η=2ξ+3，求Eη，Dη.ξ-101P2/252解：因為所以點評：由隨機(jī)變量分布列直接按公式計算可求得方差.對相關(guān)兩個隨機(jī)變量ξ、η，若滿足一定關(guān)系式：η=aξ+b，則E(aξ+b)=aEξ+b，D(aξ+b)=a2Dξ(或Dξ=Eξ

2-(Eξ)2).3/253設(shè)隨機(jī)變量ξ含有分布k=1，2，3，4，5，求E(ξ+2)2，D(2ξ-1)，σ(ξ-1).解：因為4/254所以5/2552.某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防辦法情況下發(fā)生概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬元損失.現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立預(yù)防辦法可供采取.單獨(dú)采取甲、乙預(yù)防辦法所需費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采取對應(yīng)預(yù)防辦法后此突發(fā)事件不發(fā)生概率分別為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防辦法單獨(dú)采取，聯(lián)合采取或不采取，請確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.(總費(fèi)用=采取預(yù)防辦法費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失期望值)題型5期望在實際問題中決議作用6/256解：(1)不采取預(yù)防辦法時，總費(fèi)用即損失期望值為400×0.3=120(萬元);(2)若單獨(dú)采取辦法甲，則預(yù)防辦法費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件概率為1-0.9=0.1，損失期望值為400×0.1=40(萬元)，所以總費(fèi)用為45+40=85(萬元)；(3)若單獨(dú)采取預(yù)防辦法乙，則預(yù)防辦法費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件概率為1-0.85=0.15，損失期望值為400×0.15=60(萬元)，所以總費(fèi)用為30+60=90(萬元);7/257(4)若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防辦法，則預(yù)防辦法費(fèi)用為45+30=75(萬元)，發(fā)生突發(fā)事件概率為(1-0.9)×(1-0.85)=0.015，損失期望值為400×0.015=6(萬元)，所以總費(fèi)用為75+6=81(萬元).綜上分析，選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防辦法，可使總費(fèi)用最少.點評：從兩種(或各種)隨機(jī)試驗事件方案中進(jìn)行優(yōu)選或決議，普通是比較它們期望值，期望值大就是平均值大.8/258

春節(jié)期間，某鮮花店購進(jìn)某種鮮花進(jìn)貨價為每束2.5元，銷售價為每束5元.若在春節(jié)期間沒有售完，則節(jié)后以每束1.5元價格處理.據(jù)往年相關(guān)資料統(tǒng)計，春節(jié)期間這種鮮花需求量ξ(單位：束)服從以下分布：

問該鮮花店在春節(jié)前應(yīng)進(jìn)貨多少束鮮花為宜?ξ20304050P0.20.350.30.159/259解：依據(jù)題意，售出一束鮮花贏利潤2.5元，處理一束鮮花虧損1元.(1)若進(jìn)貨20束，因為P(ξ≥20)=1，所以利潤期望值E1=1×20×2.5=50(元).(2)若進(jìn)貨30束，假如只能售出20束，則利潤為20×2.5-10×1=40(元);假如能售出30束，則利潤為30×2.5=75(元).因為P(ξ=20)=0.2，P(ξ≥30)=0.8，所以利潤期望值E2=0.2×40+0.8×75=68(元).10/2510(3)若進(jìn)貨40束，則同理可得利潤期望值E3=0.2×(20×2.5-20×1)+0.35×(30×2.5-10×1)+0.45×40×2.5=73.75(元).(4)若進(jìn)貨50束，則利潤期望值E4=0.2×(20×2.5-30×1)+0.35×(30×2.5-20×1)+0.3×(40×2.5-10×1)+0.15×50×2.5=69(元).因為E3最大，故該鮮花店春節(jié)前進(jìn)貨40束鮮花為宜.11/25113.某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品成本C與產(chǎn)量q函數(shù)關(guān)系式為該種產(chǎn)品市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)情形，各種情形發(fā)生概率及產(chǎn)品價格p與產(chǎn)量q函數(shù)關(guān)系式以下表所表示：題型6期望與函數(shù)綜合應(yīng)用市場情形概率價格p與產(chǎn)量q函數(shù)關(guān)系式好0.4p=164-3q中0.4p=101-3q差0.2p=70-3q12/2512設(shè)L1、L2、L3分別表示市場情形好、中、差時利潤，隨機(jī)變量ξq表示當(dāng)產(chǎn)量為q而市場前景無法確定時利潤.(1)分別求利潤L1、L2、L3與產(chǎn)量q函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量q確定時，求期望Eξq;(3)試問產(chǎn)量q取何值時，Eξq取得最大值.13/2513解：(1)由題意可得同理可得14/2514(2)由期望定義可知，(3)由(2)可知，Eξq是產(chǎn)量q函數(shù)，設(shè)15/2515得f′(q)=-q2+100.令f

′(q)=0，解得q=10或q=-10(舍去).由題意及問題實際意義，當(dāng)0＜q＜10時，f′(q)＞0;當(dāng)q＞10時，f′(q)＜0可知，當(dāng)q=10時，f(q)取得最大值，即Eξq最大時產(chǎn)量q為10.點評：若隨機(jī)變量中概率含有參數(shù)，則其期望值可轉(zhuǎn)化為含參變量函數(shù)，利用函數(shù)一些性質(zhì)可深入討論期望相關(guān)問題.16/2516小張有一只放有a個紅球、b個黃球、c個白球箱子，且a+b+c=6(a，b，c∈N)，小劉有一只放有3個紅球、2個黃球、1個白球箱子.兩人各自從自己箱子中任取一球，要求：當(dāng)兩球同色時小張勝，異色時小劉勝.(1)用a、b、c表示小張勝概率；(2)若又要求當(dāng)小張取紅、黃、白球而勝得分分別為1分、2分、3分，不然得0分，求小張得分期望最大值及此時a、b、c值.17/2517解：(1)P(小張勝)=P(兩人均取紅球)+P(兩人均取黃球)+P(兩人均取白球)(2)設(shè)小張得分為隨機(jī)變量ξ，則18/2518所以因為a，b，c∈N，a+b+c=6，所以b=6-a-c.當(dāng)a=c=0，b=6時，Eξ最大，為.19/2519有甲、乙兩種鋼筋，從中各抽取等量樣品檢驗其抗拉強(qiáng)度指標(biāo)，得以下分布列：甲：

乙：題型產(chǎn)品質(zhì)量比較ξ110120125130135P0.10.20.40.10.2η100115125130145P0.10.20.40.10.220/2520其中ξ、η分別表示甲、乙抗拉強(qiáng)度，試比較甲、乙兩種鋼筋哪一個質(zhì)量很好?解：因為Eξ=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，Eη=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，又Dξ=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50，21/2521Dη=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.所以Eξ=Eη，Dξ＜Dη，這表明甲、乙兩種鋼筋抗拉強(qiáng)度平均水平一致，但甲穩(wěn)定性較乙要好，故甲種鋼筋質(zhì)量比乙種鋼筋好.22/25221.對離散型隨機(jī)變量方差應(yīng)注意：(1)Dξ表示隨機(jī)變量ξ對Eξ平均偏離程度，Dξ越大，表明平均偏離程度越大，說明ξ取值越分散；反之Dξ越小，ξ取值越集中，在Eξ附近.統(tǒng)計中慣用Dξ來描述ξ分散程度.(2)Dξ與Eξ一樣也是一個實數(shù)，由ξ分布列唯一確定.23/25232.分布列、期望、方差常與應(yīng)用問題結(jié)合，對此首先必須對實際問題進(jìn)行詳細(xì)分析，普通要將問題中隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出分