數(shù)學建模-灰色預測方法省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

1灰色預測理論2GM(1,1)模型3GM(1,1)模型改進

灰色預測法4灰色預測實例第1頁1灰色預測理論

一、灰色預測概念（1）灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)

白色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)內(nèi)部特征是完全已知，即系統(tǒng)信息是完全充分。第2頁

黑色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)內(nèi)部信息對外界來說是一無所知，只能經(jīng)過它與外界聯(lián)絡(luò)來加以觀察研究。

灰色系統(tǒng)內(nèi)一部分信息是已知，另一部分信息是未知，系統(tǒng)內(nèi)各原因間有不確定關(guān)系。第3頁

灰色預測法是一個對含有不確定原因系

統(tǒng)進行預測方法?；疑A測是對既含有已知信息又含有不確定

信息系統(tǒng)進行預則，就是對在一定范圍內(nèi)

改變、與時間相關(guān)灰色過程進行預測。

（2）灰色預測方法第4頁

灰色預測法用等時距觀察到反應預測對象特征一系列數(shù)量值結(jié)構(gòu)灰色預測模型，預測未來某一時刻特征量，或到達某一特征量時間。第5頁（3）灰色預測數(shù)據(jù)特點：1）序列性：原始數(shù)據(jù)以時間序列形式出現(xiàn)。2）少數(shù)據(jù)性：原始數(shù)據(jù)序列能夠少到只有4個數(shù)據(jù)。第6頁

（4）灰色預測四種常見類型?灰色時間序列預測即用觀察到反應預測對象特征時間序列來結(jié)構(gòu)灰色預測模型，預測未來某一時刻特征量，或到達某一特征量時間。

?災變預測即經(jīng)過灰色模型預測異常值出現(xiàn)時刻，預測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。第7頁

系統(tǒng)預測

經(jīng)過對系統(tǒng)行為特征指標建立一組相互關(guān)聯(lián)灰色預測模型，預測系統(tǒng)中眾多變量間相互協(xié)調(diào)關(guān)系改變。

拓撲預測（波形預測）

將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生全部時點，并以該定值為框架組成時點數(shù)列，然后建立模型預測該定值所發(fā)生時點。第8頁二、灰色生成數(shù)列

對灰數(shù)處理主要是利用數(shù)據(jù)處理方法去尋求數(shù)據(jù)間內(nèi)在規(guī)律，經(jīng)過對已知數(shù)據(jù)列中數(shù)據(jù)進行處理而產(chǎn)生新數(shù)據(jù)列，以此來研究尋找數(shù)據(jù)規(guī)律性，這種方法稱為數(shù)據(jù)生成。數(shù)據(jù)生成方式有各種，慣用方法有累加生成、累減生成和加權(quán)累加生成等。（1）

累加生成設(shè)原始數(shù)列為，令第9頁則稱為數(shù)列１-次累加生成，數(shù)列稱為數(shù)列１-次累加生成數(shù)列。類似地有稱之為r-次累加生成。記，稱之為r-次累加生成數(shù)列。第10頁

累加規(guī)則:

將原始序列第一個數(shù)據(jù)作為生成列第一個數(shù)據(jù)，將原始序列第二個數(shù)據(jù)加到原始序列第一個數(shù)據(jù)上，其和作為生成列第二個數(shù)據(jù)，將原始序列第三個數(shù)據(jù)加到生成列第二個數(shù)據(jù)上，其和作為生成列第三個數(shù)據(jù)，按此規(guī)則進行下去，便可得到生成列。第11頁

對非負數(shù)據(jù)，累加次數(shù)越多則隨機性弱化越多，累加次數(shù)足夠大后，可認為時間序列已由隨機序列變?yōu)榉请S機序列。普通隨機序列屢次累加序列，大多可用指數(shù)曲線迫近。第12頁累加舉例：設(shè)原始時間序列為一次累加生成列為曲線是擺動，起伏改變幅度較大，而已展現(xiàn)顯著增加規(guī)律性。第13頁（2）

累減生成

將原始序列前后兩個數(shù)據(jù)相減得到累減生成序列

累減是累加逆運算，累減可將累加生成列還原為非生成列，在建模中取得增量信息。一次累減公式為：第14頁

普通地，對于r次累加生成數(shù)列則稱為數(shù)列累減生成數(shù)列。則稱為數(shù)列1-次累減生成。假如數(shù)據(jù)列為，令第15頁（3）

均值生成設(shè)原始數(shù)列則稱與為數(shù)列鄰值，為后鄰值，為前鄰值.對于常數(shù)，則稱鄰值生成數(shù)（或生成值）。為由數(shù)列鄰值在生成系數(shù)（權(quán)）下第16頁尤其地，當生成系數(shù)時，則稱為緊鄰均值生成數(shù)，即等權(quán)鄰值生成數(shù)。類似地，能夠定義非緊鄰值生成數(shù)由而得數(shù)列稱為緊鄰均值生成數(shù)列。第17頁

2GM（1，1）模型

灰色模型是利用離散隨機數(shù)經(jīng)過生成變?yōu)殡S機性被顯著減弱而且較有規(guī)律生成數(shù)，建立起微分方程形式模型，這么便于對其改變過程進行研究和描述。

灰色預測模型稱為GM模型，G為grey第一個字母，M為model第一個字母。GM（1，1）表示一階，一個變量微分方程型預測模型。GM（1，1）是一階單序列線性動態(tài)模型，主要用于時間序列預測。第18頁一、GM（1，1）模型概述設(shè)有數(shù)列共有個觀察值對作累加生成，得到新數(shù)列，其元素有：第19頁令為均值序列其中：則GM(1,1)灰微分方程模型為：灰導數(shù)發(fā)展系數(shù)灰作用量第20頁GM(1,1)白化型：式中：——為待預計參數(shù)。分別稱為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)。為灰導數(shù)，對應于為白化背景值，對應于則灰微分方程對應白化方程為：灰方程也可改寫為：第21頁按最小二乘法求解，有：式中：預測模型——白化響應式（解）為：將代入，并解微分方程，有為待預計參數(shù)向量，則設(shè)第22頁注意：GM(1,1)白化型不是從定義推導出來，是一個“借用”或“白化默認”，所以，一切從白化推導出來結(jié)果，只在不與定義型有矛盾時才成立，不然無效。也可由GM(1,1)模型推導出另一表示式——內(nèi)涵型表示式：第23頁灰色預測事前檢驗給定序列能否建立較高精度GM(1,1)模型，一般用序列光滑比對作準光滑性檢驗；用累加序列級比對作準指數(shù)規(guī)律性檢驗來判斷滿足建模條件光滑比定義：

（1）

若光滑比滿足遞減且則稱為準光滑序列。第24頁級比定義：（2）若級比滿足：則認為含有準指數(shù)規(guī)律。當（1）（2）都滿足時可對建GM(1,1)模型。若原始數(shù)據(jù)不適合建立GM(1,1)模型，則進行予處理。注：GM(1，1)模型中發(fā)展系數(shù)a取值范圍第25頁二、GM（1，1）建模步驟

第26頁第27頁灰色預測檢驗普通有殘差、關(guān)聯(lián)度和后驗差檢驗。三、模型檢驗（1）殘差檢驗按預測模型計算并將累減生成然后計算原始序列與絕對誤差序列及相對誤差序列。殘差：相對誤差：殘差序列第28頁普通要求，最好是普通要求，最好是而對于給定稱為殘差合格模型。第29頁（2）關(guān)聯(lián)度檢驗第一步計算原始數(shù)列模型計算值。第二步計算與絕對誤差代入、數(shù)據(jù)得：第三步計算最小差與最大差第30頁最小差為：最大差為：第四步計算關(guān)聯(lián)絡(luò)數(shù)式中： ——第i個數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)絡(luò)數(shù)；——分辨系數(shù)，普通取0.5第五步計算關(guān)聯(lián)度第31頁式中： ——數(shù)列對關(guān)聯(lián)度。——樣本個數(shù)。(3)后驗差檢驗a.計算原始數(shù)列均值b.計算原始數(shù)列方差依據(jù)經(jīng)驗，當ρ=0.5時，關(guān)聯(lián)度大于0.6便滿意了。另外，也可計算與絕對關(guān)聯(lián)度【1】，若對于給定，則稱為關(guān)聯(lián)度合格模型。第32頁c.計算殘差序列均值d.求殘差方差e.計算均方差比f.計算小誤差概率注：對給定稱模型為均方差比合格模型。注：對給定稱模型為小誤差概率合格模型。第33頁g.檢驗依據(jù)經(jīng)驗，對給定一組取值，就確定了檢驗模型模擬精度等級劃分以下表。經(jīng)過以上檢驗，假如相對誤差、關(guān)聯(lián)度、均方差比值、小誤差概率都在允許范圍之內(nèi)時，則可用所建模進行預測，不然應進行殘差修正。第34頁表預測精度等級劃分

指標臨界值精度等級相對誤差關(guān)聯(lián)度均方差比值小誤差概率一級0.010.900.350.95二級0.050.800.500.80三級0.100.700.650.70四級0.200.600.800.60第35頁四、預測GM(1,1)模型經(jīng)以上檢驗合格后可用于預測，其預測公式為：式中： ——i時期預測值。，——生成數(shù)列預測值，按計算。

對于數(shù)列預測，要建立多個預測模型，得到多組預測值，然后進行分析，從中確定出一個適當預測模型，以取定一組適當預測值。第36頁

對于一組數(shù)列，要建立多個預測模型，是經(jīng)過對原始數(shù)列進行不一樣取舍，形成新數(shù)列，即對數(shù)列中數(shù)據(jù)用不一樣組合方式和取舍方式派生出新數(shù)列，對原始數(shù)列和派生出來新數(shù)據(jù)都建立預測模型，這么就對一個數(shù)列建立了多個預測模型。比如有下述原始數(shù)列：對中數(shù)據(jù)可用以下取舍：第37頁，這么就形成了四個新數(shù)列：再加上原始數(shù)列，就可建立五個GM（1，1）模型。第38頁3GM(1,1)模型改進一、用殘差模型進行修正

若用原始時間序列檢驗不合格或精度不理想時，則可用GM（1，1）殘差模型進行修正以提升原GM（1，1）模型預測精度，從而到達改進目標。建立GM(1,1)模型第39頁如有原始數(shù)列，并已建立GM（1，1）模型由該GM（1，1）模型可得生成數(shù)列

模擬值記生成數(shù)列與其模擬值之差為，則有（1）GM（1，1）殘差模型第40頁式中： ——開始進行殘差修正原始數(shù)列數(shù)據(jù)序號； 假如取則可建模殘差尾段為——第個生成數(shù)據(jù)與其模擬值偏差。注意：符號一致；必須滿足將上述殘差尾段仍記為第41頁一次累加生成數(shù)列為。對建立GM（1，1）模型有：

對上式求導數(shù)得殘差尾段模擬序列其中第42頁則得殘差修正GM（1，1）模型，用修正累加序列模擬序列則得式中正負號應與殘差尾段符號保持一致。第43頁二、對GM(1,1)模型其它改進方法

（1）新信息GM（1，1）模型不停地補充新出現(xiàn)信息，即在預測下一時刻值時，將最新信息加入。此模型伴隨時間推移，序列長度會越來越長；（2）新陳代謝GM（1，1）模型即新信息出現(xiàn)后，將老信息去掉，加入新信息，保持序列長度不變；（3）GM（1，1）模型群法用原始時間序列數(shù)據(jù)建立多個GM（1，1）模型，給出預測值區(qū)間；第44頁一、數(shù)列預測實例原始數(shù)據(jù)(1)求原始序列一屆累加生成4灰色預測實例第45頁(2)對作準光滑性檢驗(3)對作準指數(shù)規(guī)律性檢驗(4)作緊鄰均值生成序列而且確定B,Y第46頁(5)按最小二乘法確定a,b預計值(6)確定模型

其時間響應式第47頁并得模擬值(7)檢驗誤差

殘差序列相對誤差序列

相對誤差檢驗第48頁第49頁(8)預測第50頁二、災變灰預測方法由異常值組成序列指序列中有異常值，是異常值可能在未來某時區(qū)發(fā)生預測步驟一：原始序列、閾值給出原始序列，指定閾值（正常值與異常值界限）步驟二：結(jié)構(gòu)異常值序列步驟三：時分布序列由異常值序列得時分布序列步驟四：對時分布序列作GM(1,1)建模步驟五：預測第51頁三、季節(jié)災變灰預測對發(fā)生在每年特定時區(qū)事件作