圓的方程（八大題型）

2.1圓的方程課程標準學習目標本章以“圓”為載體，再次實踐和感悟運用解析幾何思想研究問題的一般思路．通過本章的學習，學生將在類比直線的研究方法的基礎上，進一步體會和掌握在平面直角坐標系中建立圓的方程，進而運用方程研究圓的幾何性質及直線和圓、圓和圓的相互位置關系，體會數形結合的思想，逐步形成用代數方法解決幾何問題的能力．1、理解并掌握確定圓的幾何要素．2、理解并探求圓的標準方程和一般方程．3、理解并掌握圓的標準方程和一般方程的求法．4、理解并掌握點與圓的位置關系.知識點01圓的標準方程，其中為圓心，為半徑．知識點詮釋：（1）如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是．有關圖形特征與方程的轉化：如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標軸相切時：；過原點：（2）圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現了圓的幾何特點．（3）標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數法．【即學即練1】（2023·全國·高二專題練習）已知點，求(1)過點A，B且周長最小的圓的標準方程；(2)過點A，B且圓心在直線上的圓的標準方程.【解析】（1）當為直徑時，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最?。吹闹悬c為圓心，半徑，則圓的標準方程為．（2）解法一：的斜率為，則的垂直平分線的方程是，即，由圓心在直線上，得兩直線交點為圓心，即圓心坐標是．．故所求圓的標準方程是．解法二：待定系數法設圓的標準方程為，則故所求圓的標準方程為．知識點02點和圓的位置關系如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內【即學即練2】（2023·高二課時練習）點與圓的位置關系是（）A．在圓外 B．在圓上C．在圓內 D．與a的值有關【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，因為，所以點在圓外，故選：A知識點03圓的一般方程當時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點詮釋：由方程得（1）當時，方程只有實數解．它表示一個點．（2）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形．（3）當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．【即學即練3】（2023·河南周口·高二?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，四點坐標分別為，若它們都在同一個圓周上，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】設圓的方程為，由題意得，解得，所以，又因為點在圓上，所以，即.故選：C.知識點04軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量之間的方程．1、當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關點法）．2、求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等．3、求軌跡方程的步驟：（1）建立適當的直角坐標系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．【即學即練4】已知，，動點M滿足，則點M的軌跡方程是．【答案】【解析】設，則，.因為，所以，，整理可得，，即.所以，點M的軌跡是圓，方程為.故答案為：.題型一：圓的標準方程例1．（2023·全國·高二專題練習）已知圓與圓關于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得，圓的圓心坐標為，半徑為，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以圓的標準方程為.故選：A例2．（2023·甘肅臨夏·高二?？茧A段練習）已知圓C的圓心在y軸上，且經過，兩點，求圓C的標準方程.【解析】點，，則線段的中點坐標為，顯然線段的中垂線過點，而點在y軸上，因此圓C的圓心坐標為，半徑，所以圓C的標準方程為.例3．（2023·高二課時練習）求滿足下列條件的圓的標準方程：(1)經過點，圓心為點；(2)經過點，且圓心在y軸上.【解析】（1）圓的半徑長為，圓心為點，所以圓的方程為．（2）設所求圓的方程是，因為點P，Q在所求圓上，依題意得解得所以所求圓的方程是.變式1．（2023·全國·高二專題練習）求經過點和坐標原點，并且圓心在直線上的圓的方程．【解析】法一（待定系數法）：設圓的標準方程為，則有，解得，∴圓的標準方程是．法二（幾何法）：由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為．∵弦的垂直平分線過圓心，∴由，得，即圓心坐標為，半徑r＝＝5．∴圓的標準方程是．變式2．（2023·全國·高二專題練習）已知圓C的半徑為，圓心在直線上，且過點，求圓C的標準方程.【解析】因為圓心在直線上，，所以設圓心為.所以圓C的標準方程為.因為圓C過點，所以.解得或-1.所以圓心C的坐標是或.所以所求圓C的標準方程是或.變式3．（2023·高二單元測試）已知直線過點且與直線垂直，圓的圓心在直線上，且過，兩點．(1)求直線的方程；(2)求圓的標準方程．【解析】（1）由題設，代入得，于是的方程為.（2）設圓心，則，即，解得：，，又圓心，圓的標準方程為.變式4．（2023·河北保定·高二?？计谥校┣鬂M足下列條件的圓的標準方程．(1)圓心在軸上，半徑為5，且過點；(2)圓心在直線上，且與直線相切于點；【解析】（1）設圓的標準方程為．因為點在圓上，所以，解得或，所以所求圓的標準方程為或．（2）設圓心坐標為，因為圓與直線相切于點，所以，解得，所以所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的方程為.【方法技巧與總結】一般情況下，如果已知圓心或易于求出圓心，可用圓的標準方程來求解，用待定系數法，求出圓心坐標和半徑．確定圓的方程的主要方法是待定系數法，即列出關于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心和半徑r，一般步驟為：（1）根據題意，設所求的圓的標準方程為；（2）根據已知條件，建立關于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程．題型二：圓的一般方程例4．（2023·全國·高二專題練習）過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設圓的方程為，由題意知,圓過點，和，所以，解得，所以所求圓的方程為.故選：A例5．（2023·天津和平·高二統(tǒng)考期末）三個頂點的坐標分別是，，，則外接圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設所求圓方程為,因為，，三點都在圓上，所以，解得，即所求圓方程為：.故選：C.例6．（2023·全國·高二專題練習）已知圓經過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設圓的一般方程為，圓心坐標為，因為圓經過兩點，，且圓心在直線上，所以，解得，所以圓的方程為.故選：C.變式5．（2023·全國·高二專題練習）與圓同圓心，且過點的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，設所求圓的方程為，由于所求圓過點，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：B【方法技巧與總結】一般地，當給出了圓上的三點坐標，特別是當這三點的橫坐標和橫坐標之間、縱坐標和縱坐標之間均不相同時，選用圓的一般方程比選用圓的標準方程簡捷；而在其他情況下的首選應該是圓的標準方程，此時要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯(lián)系的可用條件．題型三：點與圓的位置關系例7．（2023·全國·高二專題練習）若點在圓的內部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，半徑，所以，把點代入方程，則，解得，所以故a的取值范圍是.故選：D例8．（2023·四川巴中·高二統(tǒng)考期末）點與圓的位置關系是（

）．A．點在圓上 B．點在圓內 C．點在圓外 D．不能確定【答案】C【解析】因為，所以點在圓外．故選：C例9．（2023·全國·高二專題練習）點與圓的位置關系是（

）A．在圓外 B．在圓內 C．在圓上 D．不確定【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑，，故點在圓內.故選：B【方法技巧與總結】點與圓的位置關系，從形的角度來看，設圓心為，半徑為，則點在圓內；點在圓上；點在圓外．從數的角度來看，設圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則點在圓上；點在圓外；點在圓內．題型四：軌跡問題例10．（2023·江蘇南通·高二金沙中學校考階段練習）已知點和圓為圓上的動點.(1)求的中點的軌跡方程；(2)若，求線段中點的軌跡方程.【解析】（1）設點，，整理得，點在圓上，，整理得點的軌跡方程為.（2）設的中點為，在中，，設為坐標原點，連接，則，，.故線段中點的軌跡方程為.例11．（2023·全國·高二專題練習）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.【解析】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設，，由，得，所以，又點在圓上，故，所以，化簡得的軌跡方程為例12．（2023·高二課時練習）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.【解析】設動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.變式6．（2023·全國·高二專題練習）在直角坐標系中，線段，且兩個端點、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；【解析】設，線段的中點，因為為線段的中點，，，，即，得.所以點的軌跡方程是．變式7．（2023·高二課時練習）已知圓的方程是，則圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】因為方程表示圓，即表示圓,所以，解得,易知圓心坐標為，且，設圓心坐標為，則有，消去，得即為所求圓心的軌跡方程.故答案為：變式8．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，兩根桿分別繞著定點A和B（AB＝2a）在平面內轉動，并且轉動時兩桿保持互相垂直，則桿的交點P的軌跡方程是.【答案】（不唯一）【解析】如圖，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則，，設，因為，所以，化簡，得，當時，點P與A或B重合，此時y＝0，滿足上式，故桿的交點P的軌跡方程是.因為取原點的位置不一樣，所以答案不一樣.故答案為：（答案不唯一）.變式9．（2023·全國·高二專題練習）過點的直線與圓交于點B，則線段中點P的軌跡方程為.【答案】【解析】設點P的坐標為，點B為，由題意，結合中點坐標公式可得，故，化簡得.即線段AB中點P的軌跡方程為.故答案為：變式10．（2023·高二單元測試）在平面直角坐標系中，已知點，點在圓上運動，則線段AP的中點的軌跡方程是．【答案】【解析】如圖所示，取OA中點D，連接DQ，則DQ為的一條中位線，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為.故答案為：.變式11．（2023·全國·高二專題練習）點與兩個定點，的距離的比為，則點的軌跡方程為．【答案】【解析】設點，由題知，兩邊平方化簡得，即，所以點的軌跡方程為.故答案為：.變式12．（2023·全國·高二專題練習）為參數，圓的圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】圓的方程化為標準方程為，圓心坐標為，即，消去參數，可得.故圓的圓心的軌跡方程為.故答案為:.變式13．（2023·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知直線，，當任意的實數m變化時，直線與的交點的軌跡方程是．【答案】【解析】聯(lián)立兩直線得，將這兩式相乘，消去參數m，得，即，可得軌跡方程為．故答案為：變式14．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）點為圓C：上一點，點B在圓C上運動，點M滿足．則點M的軌跡方程為．【答案】【解析】因為點在圓上，則，解得.設點，，則由題意可得，，解得，，又因為點滿足圓的方程，代入可得，化簡得.故答案為：【方法技巧與總結】用直接法求曲線方程的步驟如下：（1）建立適當的直角坐標系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．題型五：二元二次曲線與圓的關系例13．（2023·高二課時練習）方程表示的圓過原點且圓心在直線上的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程表示的圓，所以，圓過原點，所以；圓心在直線上，所以，由于，所以，所以D選項正確.故選：D例14．（2023·全國·高二專題練習）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為方程，即表示圓，等價于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A例15．（2023·全國·高二專題練習）方程表示圓，則實數a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【解析】由，可得，所以，解得或，選項中只有符合題意.故選：D.變式15．（2023·陜西·高二?？茧A段練習）若方程表示圓，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程配方得，方程表示圓，則，解得或，故選：D．變式16．（2023·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學?？茧A段練習）下列方程表示圓的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的標準方程為，其中圓心為，半徑為.對A，不符合，A錯；對B，化為，不符合，B錯；對C，化為，符合，C對；對D，化為，不符合，也不滿足平方項中間是+號，D錯.故選：C變式17．（2023·全國·高二專題練習）已知表示的曲線是圓，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由方程可得，所以當時表示圓，解得.故選：C.【方法技巧與總結】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑題型六：圓過定點例16．（2023·全國·高二專題練習）對任意實數，圓恒過定點，則定點坐標為．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定點的坐標是或．故答案為：或.例17．（2023·全國·高二專題練習）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為【答案】【解析】設拋物線交軸于點，交軸于點、，由題意可知，由韋達定理可得，，所以，線段的中點為，設圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過的定點坐標為.故答案為：.例18．（2023·江蘇·高二?？茧A段練習）已知圓經過，兩點.(1)當，并且是圓的直徑，求此時圓的標準方程；(2)如果是圓的直徑，證明：無論a取何正實數，圓恒經過除外的另一個定點，求出這個定點坐標.【解析】（1）當，，故，，所以此時圓的標準方程為.（2）設點是圓上任意一點，因為是圓的直徑，所以，即，所以圓的方程為：，則，，等式恒成立，定點為，所以無論取何正實數，圓恒經過除外的另一個定點，定點坐標為.變式18．（2023·高二課時練習）求證：對任意實數，動圓恒過兩定點.【解析】證明：圓系方程可化為.設.∵對（）恒成立，∴，解得或.因此，圓系過定點和.變式19．（2023·高二課時練習）已知點和以為圓心的圓.（1）求證：圓心在過點的定直線上，（2）當為何值時，以為直徑的圓過原點．【解析】（1）由題可知圓心的坐標為，令消去，得.∵直線過點.∴圓心在過點的定直線上.（2）∵以為直徑的圓過原點，∴.∴，∴.即當時，以為直徑的圓過原點．變式20．（2023·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對于任意實數，曲線恒過定點【解析】變形為，令得，所以定點為故答案為：【方法技巧與總結】合并參數題型七：與圓有關的對稱問題例19．（2023·全國·高三專題練習）已知直線是圓的對稱軸，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圓方程得：圓心，直線是圓的對稱軸，圓心在直線上，即，解得：.故選：A.例20．（2023·全國·高二專題練習）點M、N在圓上，且M、N兩點關于直線對稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為【答案】C【解析】由，得，所以圓心為，半徑為，由題意可得直線經過圓心，故有，即，所以半徑為，當時，圓C的半徑的最小值為.故選：C.例21．（2023·全國·高二專題練習）已知圓關于直線為大于0的常數對稱，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因為圓的圓心為，且圓關于直線為大于0的常數對稱，所以直線過圓心，所以，又，所以即當取最大值為，故選：A.變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知圓關于直線對稱，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】由題得圓心的坐標為，因為已知圓關于直線對稱，所以.故選：C變式22．（2023·江蘇·高二專題練習）如果圓（）關于直線對稱，則有（

）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得圓心坐標為，因為圓關于直線對稱，所以圓心在直線上，即，可得，故選：B.變式23．（2023·江蘇泰州·高二泰州市第二中學校考階段練習）若圓關于直線對稱，則直線l的斜率是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【解析】由題可得直線經過圓心，則，解得，則直線l的斜率是.故選：C.變式24．（2023·湖北荊門·高二荊門市東寶中學?？计谥校┮阎獔A：關于直線對稱的圓為圓：，則直線的方程為A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，圓的方程，可化為，根據對稱性，可得：，解得：或（舍去，此時半徑的平方小于0，不符合題意），此時C1(0，0)，C2(－1，2)，直線C1C2的斜率為：，由圓C1和圓C2關于直線l對稱可知：直線l為線段C1C2的垂直平分線，所以，解得，直線l又經過線段C1C2的中點(，1)，所以直線l的方程為：，化簡得：，故選A變式25．（2023·北京·高三北京交通大學附屬中學校考階段練習）已知、為圓上關于點對稱的兩點，則直線的方程為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】記圓心為，由題意，，∴，又∵過，∴方程為即，故選A.【方法技巧與總結】（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱（2）圓關于點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點（3）圓關于直線對稱：①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線題型八：圓的實際應用例22．（2023·廣東廣州·高二廣州市第十六中學校考期中）如圖是一條過江行車隧道，橫截面是一圓拱形（圓拱形是取某一圓周的一部分構成巷道拱部的形狀），路面寬度米，拱高米．車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為米，高為米的貨車（可視為長方體）能否駛入這個隧道？請說明理由（參考數據：）．【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系，設圓心，，，由，即解得，則圓的標準方程為，所以當時，，即一輛寬為米，高為米的貨車不能駛入這個隧道．例23．（2023·全國·高二專題練習）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點離水面的高度為，橋面離水面的高度為.(1)建立適當的平面直角坐標系，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內部分的長度.（結果精確到）【解析】（1）設圓拱所在圓的圓心為，以為原點，方向為軸正方向，中垂線向上為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系.設與軸交于點，與軸交于點，連接設圓的半徑為，則，，，在直角中，，所以，解得，所以，所以圓拱方程為，.（2）由題意得，，令，得，所以，所以，所以.所以橋面在圓拱內部分的長度約為例24．（2023·浙江湖州·高二統(tǒng)考期中）如圖，某海面有三個小島（小島可視為質點，不計大小），島在島正西方向距島千米處，島在島北偏西方向距島千米處．以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓經過,三點．(1)求圓的方程；(2)若圓區(qū)域內有未知暗礁，現有一漁船在島的南偏東方向距島千米處，正沿著北偏西方向行駛，若不改變方向，試問該漁船是否有觸礁的危險？請說明理由．【解析】（1）由已知．設圓方程為，將三點代入得解得，圓的方程為（2）由已知該船初始位置為點，且該船航線所在直線的斜率為．海船行駛路線即圓心到的距離，有觸礁危險．變式26．（2023·全國·高二專題練習）如圖是某圓拱形橋的示意圖，雨季時水面跨度AB為6米，拱高(圓拱最高點到水面的距離)為1米．旱季時水位下降了1米，則此時水面跨度增大到米．【答案】8【解析】畫出圓拱圖示意圖，設圓半徑為,雨季時水位方程，解得；旱季時水位方程，解得，所以此時水面跨度為.所以答案為8.變式27．（2023·高二課時練習）如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圖的圓拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐，則支柱A2P2＝（參考數據：，，精確到）.【答案】【解析】以O為原點，AB方向為x軸正方向建立坐標系，則圓心在y軸，設圓心坐標（0，a），P（0，4），A（﹣10，0），則圓拱所在圓的方程為x2+（y﹣a）2＝r2，∴，即（a﹣4）2＝a2+100，解得a＝﹣，∴圓方程為x2+（y）2＝2.將x＝﹣2代入圓方程，得：y＝A2P2（m）.故答案為：3.86m.變式28．（2023·浙江寧波·高二期末）如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標系，則圓拱所在圓的標準方程是．（可用參考數據：．）【答案】3.32【解析】設拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，如圖，則，則圓的標準方程為：．由題意設，代入圓的方程得，解得，即，則.故答案為：；.【方法技巧與總結】解應用題的步驟(1)建模．(2)轉化為數學問題求解．(3)回歸實際問題，給出結論．一、單選題1．（2023·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校按竽聼熤?，長河落日圓”體現了我國古代勞動人民對于圓的認知.已知，，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為以、為直徑兩端點的圓的圓心坐標為，半徑為，所以所求圓的標準方程為，即以為直徑的圓的方程為.故選：A2．（2023·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學?？茧A段練習）圓關于點對稱的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得圓的標準方程為，所以圓心為，半徑為，因為點關于點的對稱點為，所以所求對稱圓的標準方程為，故選：D3．（2023·高二課時練習）若當方程所表示的圓取得最大面積時，則直線的傾斜角（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】化為標準式為，所以時圓的半徑最大，面積也最大，此時直線的斜率為－1，所以傾斜角為.故選：C4．（2023·全國·高二專題練習）已知半徑為3的圓的圓心與點關于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設圓心坐標，由圓心與點關于直線對稱，得到直線與垂直，結合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡得①再由的中點在直線上，，化簡得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標為，所以半徑為3的圓的標準方程為.故選：C5．（2023·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）若直線：平分圓：的面積，則的最小值為（

）．A．8 B． C．4 D．6【答案】A【解析】由題意可知：圓：的圓心為，若直線：平分圓：的面積，則直線：過圓心，可得，即，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為8.故選：A.6．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐代詩人李頎《古從軍行》這首詩的開頭兩句．詩中隱含著一個數學問題——“將軍飲馬”：即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，那么“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】設點關于直線的對稱點坐標為故，解得，即對稱點，故原點到點的距離，所以最短距離為．故選：C7．（2023·甘肅·高二校聯(lián)考期中）點與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】設圓上任意一點為，中點為，則，可得，代入得，化簡得．故選：A．8．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內的點，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點.若，則A點的橫坐標為（

）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【解析】如圖，由已知得，則，所以的方程為．由解得．設，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點A的橫坐標為3．故選：B．二、多選題9．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？茧A段練習）已知動直線：和：，是兩直線的交點，、是兩直線和分別過的定點，下列說法正確的是（

）A．點的坐標為 B．C．的最大值為10 D．的軌跡方程為【答案】BC【解析】直線的方程可化為，所以直線過定點，直線的方程可化為，所以直線過定點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以A錯誤，由已知，所以直線與直線垂直，即，B正確，因為，所以，故，所以，當且僅當時等號成立，C正確；因為，故，設點的坐標為，則，化簡可得，又點不是直線的交點，點在圓上，故點的軌跡為圓除去點，D錯誤；故選：BC.10．（2023·高二單元測試）設有一組圓：，下列命題正確的是（

）A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經過點C．經過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為【答案】ABD【解析】A選項，圓心為，一定在直線上，A正確；B選項，將代入得：，其中，方程無解，即所有圓均不經過點，B正確；C選項，將代入得：，其中，故經過點的圓有兩個，故C錯誤；D選項，所有圓的半徑為2，面積為，故D正確.故選：ABD.11．（2023·全國·高二專題練習）已知曲線（

）A．若，則C是圓B．若，，則C是圓C．若，，則C是直線D．若，，則C是直線【答案】BC【解析】對于A，當時，，若，則C是圓；若，則C是點；若，則C不存在.故A錯誤.對于B，當時，，且，則C是圓，故B正確.對于C，當時，，且，則C是直線，故C正確.對于D，當，時，，若，則表示一元二次方程，若，則表示拋物線，故D錯誤.故選：BC12．（2023·全國·高二專題練習）已知圓關于直線對稱，則下列結論正確的是（

）A．圓的圓心是B．圓的半徑是2C．D．的取值范圍是【答案】ABCD【解析】對于A、B，將圓的方程化為標準方程可得，所以，圓心為，半徑為，故A、B正確；對于C項，由已知可得，直線經過圓心，所以，整理可得，故C項正確；對于D項，由C知，所以，所以的取值范圍是，故D項正確.故選：ABCD.三、填空題13．（2023·全國·高二專題練習）已知復數滿足條件，則的最大值為.【答案】【解析】因為，所以的軌跡是圓心在原點，半徑為的圓，，表示對應點與點之間的距離，所以距離的最大值為.故答案為：14．（2023·全國·高二專題練習）若復數在復平面內對應的點在同一個圓上，則正實數a的值為．【答案】【解析】因為在復平面上對應點分別為，設圓方程為，則有,，，聯(lián)立方程解得，所以圓方程為，又在圓上，所以，又，解得.故答案為：.