蒙特卡羅方法在積分計算中的應(yīng)用省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第七章蒙特卡羅方法在積分計算中應(yīng)用蒙特卡羅方法求積分主要抽樣俄國輪盤賭和分裂半解析方法系統(tǒng)抽樣分層抽樣1/19第七章蒙特卡羅方法在積分計算中應(yīng)用 計算多重積分是蒙特卡羅方法主要應(yīng)用領(lǐng)域之一。本章著重介紹計算定積分蒙特卡羅方法各種基本技巧，而這些技巧在粒子輸運問題中也是適用。2/19蒙特卡羅方法求積分

蒙特卡羅方法求積分普通規(guī)則以下：任何一個積分，都可看作某個隨機變量期望值，所以，能夠用這個隨機變量平均值來近似它。3/19

設(shè)欲求積分 其中，P＝P(x1，x2，…，xs)表示s維空間點，Vs表示積分區(qū)域。取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù)f(P)，令 則 即θ是隨機變量g(P)數(shù)學(xué)期望，P分布密度函數(shù)為f(P)。 現(xiàn)從f(P)中抽取隨機向量P

N個樣本：Pi，i＝1，2，…，N，則 就是θ近似預(yù)計。4/19主要抽樣偏倚抽樣和權(quán)重因子

取Vs上任一聯(lián)合概率密度函數(shù)f1(P)，令 則有 現(xiàn)從f1(P)中抽樣N個點：Pi，i＝1，2，…，N，則 就是θ又一個無偏預(yù)計。5/19主要抽樣和零方差技巧

要使最小，就是使泛函I[f1]極小。 利用變分原理，能夠得到最優(yōu)f1(P)為

6/19 尤其地，當g(P)≥0時，有 這時 即g1方差為零。實際上，這時有 不論那種情況，我們稱從最優(yōu)分布fl(P)抽樣為主要抽樣，稱函數(shù)|g(P)|為主要函數(shù)。 7/19俄國輪盤賭和分裂分裂 設(shè)整數(shù)n≥1，令 則 于是計算θ問題，可化為計算n個θi和來得到，而每個gi(P)為原來θ預(yù)計g(P)1/n，這就是分裂技巧。8/19俄國輪盤賭 令0＜q＜1， 則 于是θ變?yōu)橐粋€兩點分布隨機變量ζ期望值， ζ特征為： 這么就能夠經(jīng)過模擬這個概率模型來得到θ，這就是俄國輪盤賭。9/19主要區(qū)域和不主要區(qū)域 我們往往稱對積分θ貢獻大積分區(qū)域為主要區(qū)域，或感興趣區(qū)域；稱對積分θ貢獻小區(qū)域為不主要區(qū)域，或不感興趣區(qū)域。 考慮二重積分 令R是V2上x積分區(qū)域，表為R＝R1+R2，其中R1是主要區(qū)域，R2是不主要區(qū)域，二者互不相交。又命Q為V2上對應(yīng)于y積分區(qū)域。則10/19 通常蒙特卡羅方法，由f(x,y)抽樣(x,y)步驟是：從fl(x)中抽取xi，再由f2(y|xi)中抽樣確定yi，然后用 作為θ一個無偏預(yù)計。 現(xiàn)在，改變抽樣方案以下：當x∈R1時，定義一個整數(shù)n(xi)≥1，對一個xi，抽取 n(xi)個yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值 代替上述θ預(yù)計式中g(shù)(yi,xi)。11/19當x∈R2時，定義一個函數(shù)q(xi)，0＜q(xi)＜1， 以抽樣值 代替上述θ預(yù)計式中g(shù)(yi,xi)。這里ξ是隨機數(shù)。 顯然，這種抽樣預(yù)計技巧，就是對x∈R1時，利用分裂技巧，而對x∈R2時，利用俄國輪盤賭，而使預(yù)計期望值不變。因為對主要區(qū)域多抽樣，對不主要區(qū)域少觀察，所以能使預(yù)計有效性增高。12/19半解析（數(shù)值）方法 考慮二重積分 令 則θx為θ無偏預(yù)計。13/19

θx方差為

而由f(x,y)抽樣(x,y)，用g(x,y)作為θ預(yù)計，其方差為14/19系統(tǒng)抽樣 我們知道，由f(x,y)抽樣(x,y)步驟是： 從fl(x)中抽取xi， 再由f2(y|xi)中抽樣確定yi， 現(xiàn)在改變xi抽樣方法以下：15/19

yi抽樣方法不變。 其方差為 與通常蒙特卡羅方法相比，方差降低了約16/19分層抽樣 考慮積分 在（0，1）間插入J－1個點 0＝α0＜α1＜…＜α