數(shù)學(xué)北師大版選修1-2學(xué)案第一章第1節(jié)回歸分析（第2課時(shí)）

1.2相關(guān)系數(shù)1．了解回歸分析的概念和最小二乘法的求法及作用．2．理解相關(guān)系數(shù)的含義及求法．3．了解回歸分析的基本思想．會(huì)建立回歸模型，并能利用回歸分析進(jìn)行有效預(yù)測(cè)．1．變量間的關(guān)系往往會(huì)表現(xiàn)出某種不確定性，________就是研究這種變量之間的關(guān)系的一種方法，通過對(duì)變量之間關(guān)系的研究，從而發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)涵在事物或現(xiàn)象中的某些規(guī)律．【做一做1】下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是()．A．正方體的體積與邊長(zhǎng) B．人的身高與體重C．勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間 D．球的半徑與體積2．假設(shè)樣本點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，我們可用____________求變量之間的線性回歸方程y＝a＋bx，即求a，b，使這n個(gè)點(diǎn)與直線y＝a＋bx的“距離”平方之和最小，即使得Q(a，b)＝(y1－a－bx1)2＋(y2－a－bx2)2＋…＋(yn－a－bxn)2達(dá)到最小．3．Q(a，b)＝lyy＋n[eq\x\to(y)－(a＋beq\x\to(x))]2＋lxxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(lxy,lxx)))2－.其中eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，lxx＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2＝eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2，lxy＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\x\to(x)eq\x\to(y)，lyy＝eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2＝eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(y)2.當(dāng)Q(a，b)取最小值時(shí)，b＝____________，a＝________.y對(duì)x的線性回歸方程為__________，此直線一定過點(diǎn)______．公式比較復(fù)雜難記，只需記住a，b的求值公式即可．做題要細(xì)心，不可遺漏數(shù)據(jù)，使用公式計(jì)算時(shí)，可通過列出表格，進(jìn)行計(jì)算，表格如下：ixiyixeq\o\al(2,i)xiyi123…n∑eq\i\su(i＝1,n,x)ieq\i\su(i＝1,n,y)ieq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,n,x)iyi【做一做2－1】已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y＝bx＋a必過點(diǎn)__________．x0123y1357【做一做2－2】已知三個(gè)樣本點(diǎn)(3,10)，(7,20)，(11,24)，求出其線性回歸方程．4．判斷兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的方法有(1)________________________；(2)______________________．兩個(gè)變量之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，可以通過畫散點(diǎn)圖直觀判斷，但是在某些情況下，從散點(diǎn)圖中不容易判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，特別是當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，畫散點(diǎn)圖比較麻煩，此時(shí)就可以通過計(jì)算，用線性相關(guān)系數(shù)r來作出判斷，比較容易實(shí)施．5.假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為r＝__________________.線性相關(guān)系數(shù)|r|≤1，|r|越大，變量之間的線性相關(guān)程度越高，用直線擬合的效果就越好．線性相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式雖然比較復(fù)雜，但是可以分開計(jì)算．因?yàn)樵谇缶€性回歸方程時(shí)，也要計(jì)算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi和eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)等量，只需再把eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)計(jì)算出來即可．通常是通過列表格來完成上述各項(xiàng)的計(jì)算．【做一做3】在建立兩個(gè)變量y與x的線性回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合得最好的模型是()．A．模型1的相關(guān)系數(shù)rB．模型2的相關(guān)系數(shù)rC．模型3的相關(guān)系數(shù)rD．模型4的相關(guān)系數(shù)r答案：1．回歸分析【做一做1】B選項(xiàng)A中正方體的體積為邊長(zhǎng)的立方，有固定的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)C中勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間成正比，也有函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)D中球的體積是eq\f(4,3)π與半徑的立方相乘，有固定的函數(shù)關(guān)系．所以只有選項(xiàng)B中人的身高與體重具有相關(guān)關(guān)系．2．最小二乘法3.eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)y＝a＋bx(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))【做一做2－1】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))線性回歸方程一定過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，又eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)×(0＋1＋2＋3)＝eq\f(3,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)×(1＋3＋5＋7)＝4，∴線性回歸方程必過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).【做一做2－2】分析：樣本點(diǎn)共有三個(gè)，可以直接計(jì)算．解：由所給數(shù)據(jù)可得：eq\x\to(x)＝7，eq\x\to(y)＝18，eq\i\su(i＝1,3,x)iyi＝434，＝179，進(jìn)而可以求得b＝eq\f(\i\su(i＝1,3,x)iyi－3\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,3,x)\o\al(2,i)－3\x\to(x)2)＝eq\f(434－3×7×18,179－3×49)＝1.75，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)×7＝5.75.∴線性回歸方程為yx.4．(1)畫散點(diǎn)圖(2)計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)5.eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))【做一做3】A1．求線性回歸方程的一般步驟剖析：(1)作散點(diǎn)圖：對(duì)于樣本點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，在坐標(biāo)系內(nèi)作出散點(diǎn)圖，并觀察各樣本點(diǎn)是否呈條狀分布，是否都分布在一條直線的兩側(cè)．若是，則可設(shè)其線性回歸方程為y＝a＋bx.(2)列表：對(duì)于所給出的數(shù)據(jù)x，y列成相應(yīng)的表格.ixiyixeq\o\al(2,i)xiyi1x1y1xeq\o\al(2,1)x1y12x2y2xeq\o\al(2,2)x2y2……………nxnynxeq\o\al(2,n)xnyn∑eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xieq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yieq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi(3)計(jì)算：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi，b＝，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).(4)寫出回歸方程：y＝a＋bx.2．樣本的選取是否影響兩個(gè)變量的線性回歸方程剖析：會(huì)影響．這是因?yàn)槲覀兯杉臉颖局皇莾蓚€(gè)變量之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)的關(guān)系，而且它們的散點(diǎn)圖分布在某一條直線的附近，不一定就在直線上，所以不能用某個(gè)一次函數(shù)y＝a＋bx來準(zhǔn)確地表達(dá)它們之間的關(guān)系，我們只能近似地看作兩個(gè)變量之間滿足線性關(guān)系，符合一個(gè)一次函數(shù)y＝a＋bx，而將x＝xi代入時(shí)，得到y(tǒng)的值與所測(cè)得的yi之間存在著一定的誤差，誤差為yi－y＝y(tǒng)i－(a＋bxi)＝y(tǒng)i－a－bxi(i＝1,2，…，n)，那么，我們要想用y＝a＋bx擬合得好一點(diǎn)，就要使誤差小一點(diǎn)．但不能把這些誤差直接相加，這是因?yàn)樗鼈冇姓胸?fù)，相加可能抵消一部分，為了不使誤差之和正負(fù)抵消，我們可設(shè)全部誤差的平方和為Q(a，b)，即Q(a，b)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－a－bxi)2，用Q的大小來度量總的誤差大小，Q是a，b的二元函數(shù)．當(dāng)b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)時(shí)，Q(a，b)最小，此時(shí)a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).由此看來，所取的樣本點(diǎn)不同，有可能得到的線性回歸方程不同．題型一求線性回歸方程【例題1】一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)．測(cè)得的數(shù)據(jù)如下表所示：零件數(shù)x/個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間y/分626875818995102108115122(1)求y對(duì)x的線性回歸方程；(2)據(jù)此估計(jì)加工200個(gè)零件所用的時(shí)間是多少？反思：計(jì)算線性回歸方程比較麻煩，對(duì)于樣本點(diǎn)較少的情況可直接代入公式計(jì)算求值．實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)都不好算，一般要借助計(jì)算器來完成．題型二計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)【例題2】某工廠有一大型機(jī)器設(shè)備，其使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x/年2345678維修費(fèi)用y/萬元請(qǐng)問維修費(fèi)用y與使用年限x之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有，請(qǐng)求出線性回歸方程．分析：本題為探索兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的題型，可通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)來加以判斷，因?yàn)閿?shù)據(jù)比較多，可列表分項(xiàng)計(jì)算．反思：對(duì)于數(shù)量比較多的數(shù)據(jù)判斷它們相應(yīng)的變量是否線性相關(guān)，可通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)來判斷．題型三利用回歸分析進(jìn)行有效預(yù)測(cè)【例題3】為了了解某地母親身高x與女兒身高y的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)測(cè)得10對(duì)母女的身高，所得數(shù)據(jù)如下表所示：母親身高x/cm159160160163159154159158159157女兒身高y/cm158159160161161155162157162156(1)試對(duì)x與y進(jìn)行線性回歸分析，并預(yù)測(cè)當(dāng)母親身高為161cm時(shí)，(2)求相關(guān)系數(shù)r，并分析模型的擬合效果．分析：通過觀察兩變量對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，可判斷x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，通過列表計(jì)算，求出回歸方程，并通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)來判斷兩變量的線性相關(guān)程度．反思：一個(gè)模型擬合得好不好，可通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r來判斷，|r|的值越接近于1，變量之間的線性相關(guān)程度越高，擬合得越好．答案：【例題1】解：(1)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\x\to(x)＝55，eq\x\to(y)＝91.7，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝38500，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝55950設(shè)所求的回歸直線方程為y＝bx＋a.同時(shí)，利用上表可得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(55950－10×55×,38500－10×552)≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－×55＝，即所求的線性回歸方程為y＝x＋54.96.(2)這個(gè)線性回歸方程的意義是當(dāng)x增大1時(shí)，y，y不隨x增大而變化的部分．因此當(dāng)x＝200時(shí)，y的估計(jì)值為y＝＋×200＝≈189.故加工200個(gè)零件時(shí)所用的時(shí)間約為189分．【例題2】解：列表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi12423934164525563667497864∑35203由此可得：eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)≈7，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝251.1，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝203，eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(2,i)＝311.51.∴線性相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,7,y)\o\al(2,i)－7\x\to(y)2))≈eq\f(251.1－7×5×7,\r(203－7×52)×\r(311.51－7×72))≈5.∴維修費(fèi)用與使用年限之間存在線性相關(guān)關(guān)系．b＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)≈eq\f(251.1－7×5×7,203－7×52)≈7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈7×52，∴線性回歸方程為y7x.【例題3】解：列表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi11591582528124964251222160159256002528125440316016025600256002560041631612656925921262435159161252812592125599615415523716240252387071591622528126244257588158157249642464924806915916225281262442575810157156246492433624492∑15881591252222253185252688(1)由表可得eq\x\to(x)＝158.8，eq\x\to(y)＝159.1，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝252222，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝253185，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝252688，進(jìn)而可以求得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(252688－10××,252222－10×2)≈0.78，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)×≈35，∴線性回歸方程為yx.當(dāng)x＝161cm時(shí)，y＝cm(2)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))y\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(252688－10××,\r(252222－10×2)×\r(253185－10×2))≈0.715，說明模型擬合得效果較好．1由一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的線性回歸方程為y＝a＋bx，則下列說法正確的是()．A．直線y＝a＋bx必過點(diǎn)(，)B．直線y＝a＋bx至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一點(diǎn)C．直線y＝a＋bx是由(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的兩點(diǎn)確定的D．(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)這n個(gè)點(diǎn)到直線y＝a＋bx的距離之和最小答案：A正確理解線性回歸方程的含義，所求的線性回歸方程并不一定要經(jīng)過這n個(gè)樣本點(diǎn)中的某些點(diǎn)，而是這n個(gè)點(diǎn)到直線的距離的平方和最小，即用最小二乘法求出線性回歸方程中a，b的值，由于a