第62講直線與圓的位置關系

第62講直線與圓的位置關系1、直線與圓的位置關系(1)三種位置關系：相交、相切、相離．相離相切相交圖形量化方程觀點Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0幾何觀點deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r(2)圓的切線方程的常用結(jié)論①過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2；②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.1、（2023?新高考Ⅰ）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則A．1 B． C． D．【答案】【解析】圓可化為，則圓心，半徑為；設，切線為、，則，中，，所以，所以．故選：．2、（2022?北京）若直線是圓的一條對稱軸，則A． B． C．1 D．【答案】【解析】圓的圓心坐標為，直線是圓的一條對稱軸，圓心在直線上，可得，即．故選：．3、（多選題）（2021?新高考Ⅱ）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是A．若點在圓上，則直線與圓相切 B．若點在圓外，則直線與圓相離 C．若點在直線上，則直線與圓相切 D．若點在圓內(nèi)，則直線與圓相離【答案】【解析】中，若在圓上，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，即正確；中，點在圓外，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，所以不正確；中，點在直線上，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，所以正確；中，點在圓內(nèi)，則，而圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以正確；故選：．4、（2022?甲卷（理））若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】．【解析】雙曲線的漸近線：，圓的圓心與半徑1，雙曲線的漸近線與圓相切，，解得，舍去．故答案為：．5、（2022?新高考Ⅱ）設點，，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則的取值范圍是．【答案】，．【解析】點，，，所以直線關于對稱的直線的斜率為：，所以對稱直線方程為：，即：，的圓心，半徑為1，所以，得，解得，．故答案為：，6、【2020年新課標1卷文科】已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】當直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標為，半徑為，設，當過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.7、【2021年新高考2卷】已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.1、直線l：x－y＋1＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置關系是()A.相離B.相切C.相交且過圓心D.相交但不過圓心【答案】D【解析】將圓C的方程化為標準方程，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心為(2，1)，半徑為2，圓心到直線l的距離為eq\f(|2－1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)＜2，所以直線l與圓相交．又圓心不在直線l上，所以直線不過圓心．2、直線與圓相切，則的值是A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12【答案】D【解析】圓的標準方程為，圓心到直線的距離，所以或．3、直線x－eq\r(3)y＝0截圓(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所對的圓心角是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．eq\f(2π,3)【答案】：D【解析】：畫出圖形，如圖，圓心(2，0)到直線的距離為d＝eq\f(|2|,\r(12＋(\r(3))2))＝1，∴sin∠AOC＝eq\f(d,OC)＝eq\f(1,2)，∴∠AOC＝eq\f(π,6)，∴∠CAO＝eq\f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)．故選D．4、過點P(2,4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝0【答案】C【解析】當斜率不存在時，直線x＝2與圓相切；當斜率存在時，設切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，則eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，得切線方程為4x－3y＋4＝0.綜上，得切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.考向一直線與圓的位置關系例1、直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關系為()A．相交、相切或相離B．相交或相切C．相交D．相切【答案】C【解析】方法一直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過定點(1,2)．因為12＋22－2×1－8<0，所以點(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直線與圓相交變式1、已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點．【解析】由題意，得不論k為何實數(shù)，直線l總過點P(0，1)，圓C的圓心C(1，－1)，半徑R＝2eq\r(3).又PC＝eq\r(5)<2eq\r(3)＝R，所以點P(0，1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點P，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點．變式2、（2022年廣東省廣州大學附屬中學高三模擬試卷）已知是圓內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則（）A.且與圓相交 B.且與圓相離C.且與圓相離 D.且與圓相交【答案】C【解析】【詳解】由可知，以為中點弦所在直線的斜率為則直線的方程為，直線的方程可化為由可知，圓心到直線的距離為因為是圓內(nèi)一點，所以，即故直線與圓相離故選：C方法總結(jié)：判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題．考向二圓的弦長問題例2、(1)直線y＝kx－1與圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為()A．6 B．2eq\r(11)C．12 D．16【答案】B【解析】因為直線y＝kx－1過定點(0，－1)，故圓C的圓心C(－3,3)到直線y＝kx－1的距離的最大值為eq\r(－3－02＋3＋12)＝5.又圓C的半徑為6，故弦長|AB|的最小值為2eq\r(62－52)＝2eq\r(11).(2)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0【答案】B【解析】當直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝0時，弦長為2eq\r(3)，符合題意；當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y＝kx＋3，由弦長為2eq\r(3)，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，綜上，直線l的方程為x＝0或3x＋4y－12＝0.變式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）若為圓的弦的中點，則直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心為，則.因為，所以，故直線的方程為.故選：A（2）（2022·河北張家口·高三期末）直線與圓交于、兩點，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓心到直線的距離為，圓的半徑為，又，故，故選：B.變式2、（1）（2022年廣東省高三模擬試卷）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相交于點兩點，若，則______．【答案】【解析】【詳解】設點，則直線的方程為，即，因為，的半徑為2，故弦的弦心距為，即圓心到直線的距離為，故，解得，即,故,故答案為：.（2）（2022·山東煙臺·高三期末）若直線將圓分成的兩段圓弧長度之比為1：3，則實數(shù)a的值為（）A．﹣4 B．﹣4或2 C．2 D．﹣2或4【答案】D【解析】圓的標準方程為，圓心為，半徑，設直線和圓相交于AB，由較短弧長與較長弧長之比為1：3，則，故，則圓心到直線的距離，即，解得或4，故選：D.方法總結(jié)：弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關系，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).考向三圓的切線問題例3已知點P(eq\r(2)＋1，2－eq\r(2))，點M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點P的圓C的切線方程；(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．【解析】(1)由題意，得圓心C(1，2)，半徑r＝2.因為(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，所以點P在圓C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，所以切線的斜率為－eq\f(1,kPC)＝1，所以過點P的圓C的切線方程是y－(2－eq\r(2))＝x－(eq\r(2)＋1)，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)因為(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以點M在圓C外部．當過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3，即x－3＝0，滿足題意；當切線的斜率存在時，設切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，所以切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.綜上所述，過點M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.因為MC＝eq\r((3－1)2＋(1－2)2)＝eq\r(5)，所以過點M的圓C的切線長為eq\r(MC2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.變式1、（多選題）（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）在平面直角坐標系中，過直線上任一點做圓的兩條切線，切點分別為、，則下列說法正確的是（）A．四邊形為正方形時，點的坐標為B．四邊形面積的最小值為1C．不可能為鈍角D．當為等邊三角形時，點的坐標為【答案】ABC【解析】解：對A：設，由題意，四邊形為正方形時，，解得，所以點的坐標為，選項A正確；對B：四邊形面積，因為，所以，故選項B正確；對C：由題意，，在直角三角形中，，由選項B知，所以，因為為銳角，所以，所以，故選項C正確；對D：當為等邊三角形時，，所以，則，解得或，此時點的坐標為或，故選項D錯誤；故選：ABC.方法總結(jié)：求圓的切線方程應注意的問題求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，再求切線方程．若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應注意斜率不存在的切線．1、（2022·廣東清遠·高三期末）直線被圓截得的最短弦長為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】將圓化為一般方程為，因此可知圓C的圓心為，半徑為4，因為直線l過定點，所以當圓心到直線l的距離為時，直線l被圓C截得的弦長最短，且最短弦長為．故選：D2、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知圓：，過直線：上的一點作圓的一條切線，切點為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓：中，圓心，半徑設，則，即則（當且僅當時等號成立）故選：A3、（2022·山東青島·高三期末）已知圓截直線所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知圓的標準方程為，則圓心坐標為，半徑，圓截直線所得弦的長度為4，，解得.故選：C.4、（2022·山東德州·高三期末）已知圓O：，直線l：與兩坐標軸交點分別為M，N，當直線l被圓O截得的弦長最小時，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵直線l：，即，∴直線恒過定點，又圓O：，∴由圓的性質(zhì)可知直線時，直線l被圓O截得的弦長最小，此時，，即，由直線l：，令，可得，即，令，可得，即，∴.故選：C.5、（清遠市高三期末試題）已知P，Q為圓上的兩個動點，點，且，則坐標原點О到直線PQ的距離的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設的中點為，由，得，設，由，得，即，即，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.則點到直線的距離的最大值為.故選：C6、（多選題）（2022·江蘇海安·高三期末）關于直線與圓，下列說法正確的是（）A．若與圓相切，則為定值B．若，則被圓截得的弦長為定值C．若與圓有公共點，則D．若，則與圓相交【答案】BCD【解析】圓的圓心為，半徑為.對于A選項，若與圓相切，則，可得，A