所有大二上概率第三章2講

第三節(jié)

條件分布

在第一章中，我們介紹了條件概率的概念.在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率推廣到隨機變量

設有兩個r.vX,Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布.這個分布就是條件分布.

例如，考慮某大學的全體學生，從其中隨機抽取一個學生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布.體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布

現(xiàn)在若限制1.7<Y<1.8(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在1.7米和1.8米之間的那些人都挑出來，然后在挑出的學生中求其體重的分布.

容易想象，這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣.

例如，在條件分布中體重取大值的概率會顯著增加.

一、離散型r.v的條件分布

實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復.定義1

設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件概率函數(shù).P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…類似定義在X=xi條件下隨機變量Y的條件概率函數(shù).

作為條件的那個r.v,認為取值是給定的，在此條件下求另一r.v的概率分布.

條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì).正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì).例如：i=1,2,…

例1

一射手進行射擊，擊中目標的概率為

p，(0<p<1)，射擊進行到擊中目標兩次為止.以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù).試求X和Y的聯(lián)合分布及條件分布.解：依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標.{X=m}表示首次擊中目標時射擊了m次n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的聯(lián)合概率函數(shù)為

不論m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都應等于n次射擊擊中2nn-11……………….m擊中每次擊中目標的概率為pP(X=m,Y=n)=？

為求條件分布，先求邊緣分布.X的邊緣概率函數(shù)是：m=1,2,…Y的邊緣概率函數(shù)是：n=2,3,…于是可求得：當n=2,3,…時，m=1,2,…,n-1聯(lián)合分布邊緣分布n=m+1,m+2,…當m=1,2,…時，練習：（1）在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m個人下車的概率；（2）二維隨機變量（X,Y)的概率分布。且中途下車與否相互獨立。以

Y

表示在中途下車的人數(shù)，求：設某班車起點站上車人數(shù)X

服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為解：

二、連續(xù)型r.v的條件分布

設(X,Y)是二維連續(xù)型r.v，由于對任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義.定義2

設X和Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y),邊緣概率密度為，則對一切使

的x,定義已知

X=x下，Y的條件密度函數(shù)為同樣，對一切使的y,定義為已知

Y=y下，X的條件密度函數(shù).

我們來解釋一下定義的含義：

將上式左邊乘以dx

,右邊乘以(dxdy)/dy即得以為例換句話說，對很小的dx和

dy，表示已知

Y取值于y和y+dy之間的條件下，X取值于x和x+dx之間的條件概率.

運用條件概率密度，我們可以在已知某一隨機變量值的條件下，定義與另一隨機變量有關的事件的條件概率.定義在已知

Y=y下，X的條件分布函數(shù)為特別，取即:若(X,Y)是連續(xù)型r.v,則對任一集合A，求P(X>1|Y=y)例2

設(X,Y)的概率密度是解:P(X>1|Y=y)為此,需求出由于于是對y>0,

故對y>0,

P(X>1|Y=y)例3

設(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為求解：X的邊緣密度為

當|x|<1時,有即當|x|<1時,有X作為已知變量這里是y的取值范圍X已知下Y的條件密度

前面，我們已經(jīng)知道，二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布.可以證明，對二維正態(tài)分布，已知

X=x下，Y的條件分布，或者已知

Y=y下，X的條件分布都仍是正態(tài)分布.留作練習.

例4

設數(shù)X在區(qū)間(0,1)均勻分布，當觀察到X=x(0<x<1)時，數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機地取值.求Y的概率密度.解：依題意，X具有概率密度對于任意給定的值x(0<x<1)，在X=x的條件下，Y的條件概率密度為X和Y的聯(lián)合密度為于是得Y的概率密度為已知邊緣密度、條件密度，求聯(lián)合密度練習：解：返回主目錄

這一講，我們介紹了條件分布的概念和計算，并舉例說明對離散型和連續(xù)型隨機變量如何計算條件分布.請課下通過練習進一步掌握.難點：求條件分布時如何確定條件分布率和條件密度不為零的范圍。數(shù)學文化欣賞

-------（羅素悖論1872-1970）一理發(fā)師宣稱：他給所有自己不刮臉的人刮臉，而不給自己刮臉的人刮臉。一智者問：理發(fā)師先生，你是否應該為自己刮臉呢？理發(fā)師無言以對。

A={z|z不屬于Z},即，對任一集合Z,如果z不屬于Z,z就是A的元素；反之，如果z屬于A,則z不屬于Z.那A是否屬于A呢？自從康托爾創(chuàng)立了數(shù)學領域中的“集合論”，用集合論中的觀點來詮釋各個數(shù)學概念之間的邏輯關系，真可謂是“天衣無縫”。因此集合論被譽為“數(shù)學大廈的基石”。然而“羅素悖論”的發(fā)現(xiàn)，證明了集合論中竟然存在自相矛盾的悖論，這足以暴露集合論本身的缺陷?！傲_素悖論”在20世紀數(shù)學理論中引起了軒然大波?！皵?shù)學大廈的基石”竟然出現(xiàn)了明顯的“裂縫”，那么人類耗費數(shù)千年心血建立起來的“數(shù)學殿堂”，會不會倒塌呢？一時間，數(shù)學界眾說紛紜，悲觀者甚至因此把當代數(shù)學比作“建立在沙灘上的龐然大物”。這就是數(shù)學史上著名的“第三次數(shù)學危機”。

羅素悖論提出，危機產(chǎn)生后，數(shù)學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則?！斑@些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣