初三數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)教程【精】

快樂快樂1.1因式分解一、常用公式或變形方法(此處只列出教科書以外的常用于競賽中的內(nèi)容)a2+b2+c2—ab-ac-bc=Q—b1+(a-c)+(b-c2ab+a+b+1=(a+1)b+1)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=S+b+c力(在已知a+b+c和a2+b2+c2時(shí)此公式常(a+b+cl-G2+b2+c2)變形為ab+ac+bc= )24.a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—ac—bc)二、例題講解例1.已知a、b、c是^ABC的三條邊，且滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc，試判斷^ABC的形狀.例2.若三個(gè)素?cái)?shù)的乘積恰好等于它們和的23倍，求這三個(gè)素?cái)?shù).(2015大同杯第四題)例3.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=0.1，求a4+b4+c4的值.(2003年宇振杯第3題)例4,已知a+b+c=0，a3+b3+c3=0，求證：a5+b5+c5=0

二、練習(xí)題1.已知整數(shù)a、b滿足6〃b=9a—108+303,求。+匕的值..已知〃=—巾+1,b-—m+2,c=m+3,求。2+2a〃+〃2—2ac+。2—2Z?c的值..已知a、b、c是不全相等的實(shí)數(shù)，且qOcwO,?3+/?3+c3=3abc,求:(1)a+b+c的值(2)a61

二b(2)a61

二bc)(a1)(1++c

C)lb+的值

aJ4.化簡:“34.化簡:“3-a^b-ab^+b3“2—2曲+匕2（2014大同杯第1題）5.設(shè)非零實(shí)數(shù)5.設(shè)非零實(shí)數(shù)a,fa+2b+3c=Qb,c滿足＜ ,[2a+3b+4c=Qab+be+ca求 : 的值.(2013年全國初中數(shù)〃2+82+C2學(xué)聯(lián)賽第一試第1題）

求(a+1)b+1)Q+1)的.已知正數(shù)a、b、c滿足ab+a+b=bc+求(a+1)b+1)Q+1)的.已矢口：a+b+c=5, a2+b2+c2=15 , a3+b3+c3=47 ,求+ab+b2）b2+bc+c2X2+ca+a2）的值.（2016全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試B組第2題）1.2對(duì)稱式與輪換對(duì)稱式一、定義一個(gè)n元代數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式不變，那么，就稱這個(gè)代數(shù)x+y式為n元對(duì)稱式，簡稱對(duì)稱式。例如，x+y，xy， ，x2+y2+工2，xy+yz+z都是對(duì)xy稱式。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)的次數(shù)均等于同一個(gè)常數(shù)，那么稱這個(gè)多項(xiàng)式為齊次多項(xiàng)式。一個(gè)n元代數(shù)式，如果交換任意兩個(gè)字母的位置后，代數(shù)式均改變符號(hào)，那么就稱這個(gè),一一、x一y代數(shù)式為n元交代式。例如，x一y，(x一y)(y-z)(z-x)，一均是交代式。x+y如果一個(gè)n元代數(shù)式，如果將字母x，x，皿x:以x代x，x代x，皿x代x，x12 n2 13 2 n n-11代x后代數(shù)式不變，那么稱這個(gè)代數(shù)式為n元輪換對(duì)稱式，簡稱輪換式。對(duì)稱式一定是輪n換式，但輪換式不一定是對(duì)稱式。例如，a(x2+y2+z2)是對(duì)稱式也是輪換式；b(x2y+y2z+z2x)是輪換式，但不是對(duì)稱式。二、例題講解2c2 2a2 2b2例1.已知，a，b，c是^ABC的邊，且a=- ，b=- ，c=-——，求此三角形1+c2 1+a2 1+b2的面積.例2.滿足方程xyz+xy+yz+z+x+y+z=2014的非負(fù)整數(shù)解(x,y,z)有幾組？(2014大同杯第4題)

例3.設(shè)x、y、z是三個(gè)互不相等的數(shù)，且例3.設(shè)x、y、z是三個(gè)互不相等的數(shù)，且x+1=y+1=工+1,求xyz的值.yz%例4.x1、x2、y1、y2滿足x12+x22=2,x2y1-x1y2=1,x1yl+x2y2=3.求y12+y22的值.二、練習(xí)題ab1bc1.已知力=15,b^c=17,ac1a+c16,abc一八求—的值..若數(shù)組（x，y，z）滿足下列三個(gè)方程:xy1z3yz

=1， =c，x+y+z x+y+z2x+y+z3，求xyz的值..已知bo且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值..不定方程x2+j2=+2x+2y的整數(shù)（x,y）解共有幾組？（大同杯第題）.已知bc-a2=5,ca-b2=-1,ab-c2=-7,求6a+7b+8c.已知實(shí)數(shù)a、b、c,且b豐0，若實(shí)數(shù)x；x2、y『y2滿足x12+ax22=b,x2yl-x1y2=a,x1yl+ax2y2=c.求y12+ay22的值.（2007新知杯第5題）1.3高斯函數(shù)一、定義實(shí)數(shù)X,用［x］表示不超過x的最大值整數(shù)，則y=岡稱為高斯函數(shù).二、例題講解例1.L］表示不大于X的最大整數(shù)，求方程bXl+bx］=8x-7的所有實(shí)數(shù)解.（2006新知杯第6題）例2.對(duì)于正整數(shù)，設(shè)a是最接近M的整數(shù)，求-+—+—+……+—（全國n aaa a1 2 3 200數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第題）,Jn+|nllri例3.給定正實(shí)數(shù)，對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)，記f3）=|—舁］，這里，I1表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)。（1）若fG）=5，求的取值范圍；（2）求證：f。）＞*a-1（新知杯題）二、練習(xí)題1.用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，把x-[x]稱為x的小數(shù)部分已知看=,a是t的2-、37 1 1小數(shù)部分，b是-t的小數(shù)部分，求右--（ 全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第題）2ba2.如果a為任意實(shí)數(shù)，用[a]表示不大于a的最大整數(shù)，例如卜5]=-5,[-2,3]=-3,[工；3]=1，[2[x]-y=-2設(shè)x、y滿足方程〈 ，求[x+y].13[x-2]+y=163用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，求方程M+bx]=5x-5的所有實(shí)數(shù)解.設(shè)[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，+131+I3+131+I3+13H3+131+13+…，直至22kI 一kI，只有最后一段可能不足2k項(xiàng)，2016項(xiàng)，其中分母為k的一段共有2k項(xiàng)1,k求S的值.（2016大同杯第6題）

.設(shè)［燈表示不超過實(shí)數(shù)%的最大整數(shù)，正整數(shù)n小于100且滿足這樣的正整數(shù)n有幾個(gè)？（2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第4題）（2014全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第（2014全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第5題）7.設(shè)［%］表示不超過實(shí)數(shù)X的最大整數(shù)，求方程42一8岡+7=0的所有解的平方和〈〃的最大正整數(shù)〃，其中L］表示不超過實(shí)數(shù)TOC\o"1-5"\h\zn n n〈〃的最大正整數(shù)〃，其中L］表示不超過實(shí)數(shù)求滿足不等式- + - + — +乙 J 11%的最大整數(shù)（新知杯第五大題）概率

、基本概念排列()排列的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn)個(gè)元素按照一定的順序排成一列。(2)排列的計(jì)算公式:(2)排列的計(jì)算公式:Pm= =4-1(n-2)n5—m).(n-m+1)；使用計(jì)算器時(shí)先輸入n的值，然后按P按鈕，再輸入m的值。2.組合(1)組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn)個(gè)元素并成一組。組合與排列的區(qū)別是組合是無序的，而排列是有序的。(2)組合的計(jì)算公式:P(2)組合的計(jì)算公式:PmCm=r=^f——^

nm! m!(n—m).n!使用計(jì)算器時(shí)先輸入n的值，然后按C按鈕，再輸入m的值。二、例題講解例1.有編號(hào)分別為去123,4,5,6,7的7個(gè)大小相同的小球，從中任取3個(gè)小球，求取出的3個(gè)小球的編號(hào)和為奇數(shù)的概率.(2015大同杯第2題)例2.從三邊長均為整數(shù)且周長為24的三角形中任取一個(gè)，求它是直角三角形的概率.(2015全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試填空第2題)例3.三對(duì)夫妻排成一排照相，求僅有一對(duì)夫妻相鄰的概率.三、練習(xí)題.同時(shí)投擲兩顆骰子，P(a)表示兩顆骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為a的概率，求P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)的值.(2012新知杯第2題).從編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的6張卡片中任意抽取3張，求抽出卡片的編號(hào)都大于等于2的概率.（2011新知杯第3題）3.63.6張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的概率.（6，6，從中取出3張，求這3張卡片上所寫1全4國初中聯(lián)賽第一試第4題）從正12邊形的頂點(diǎn)中取出4個(gè)頂點(diǎn)，求它們兩兩不相鄰的概率某校初三年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連）且二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率是多少？已知5件產(chǎn)品中有3件合格品，2件次品。每次任取一個(gè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)后不再放回，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)找出2件次品的概率.5單元測試一

一、填空題.從到這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)，它們的乘積是偶數(shù)的概率是.已知a—b=b—c=1，貝Ua2+b2+c2—ab-bc-ac的值為.用［X］表示不大于X的最大整數(shù)，則方程x2—2［x］—3=0的解的個(gè)數(shù)為.若實(shí)數(shù)，， 滿足a2+b2+c2=9,代數(shù)式(a—bI+(b—cl+(c—al的最大值是.用［x］表示不超過X的最大整數(shù)，已知方程［4x—1］=x3,那么滿足方程的x是6.若實(shí)數(shù)、、、滿足6.若實(shí)數(shù)、、、滿足2222，則2 2 2 2 2 2則[S]=則[S]=「.八 1口 1 28.已知0<a<1,且a+3^+a+元+3029a+—30=18(［x］表示不超過x的最的最大值是..設(shè)［x］表示不大于x的最大整數(shù)，如［3.2］=L.8］=L］=3，若1 1 1 _12—+3—+4—+...+15——二S,22 32 42 152大整數(shù))，則1。aL二、解答題.已知abc求證a3+b3+c33abc.設(shè)a,b,c,d是四個(gè)整數(shù)。且使得m=Qb+cdI—1(a2+b2—c2—d2)是一個(gè)非零4

整數(shù)，求證：閡一定是合數(shù)..（）用L］表示不超過x的最大整數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)X，求證：0+X+1=b/2010120101 +—22010120101 +—22 220101 +—22010 2的值.試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程2+（r+2）x+3r—2=0有根且只有整數(shù)根.2.1不定方程一、例題講解例1.求滿足方程Q+3）2+J2+Q—y1=3的所有實(shí)數(shù)對(duì)（X,y）.（2010新知杯第2題）例2不定方程X2+y2=xy+2x+2y的整數(shù)（x,y）解共有多少組？（ 大同杯第題）xyxy24例3求方程1+1-1=3的整數(shù)解Q,yxyxy24二、練習(xí)題x+5x+2.求不定方程--T-yx+22方程 的所有整數(shù)解有多少組？（ 新知杯第題）2313方程jb二4，a、b都是正整數(shù)，求該方程的正整數(shù)解4.已知正整數(shù)a,b,c滿足1<a<b<c,a+b+c=111,b2=ac,求b（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空第4題）5已知三整數(shù)a、b、c之和為且b二c，求a的最大值和最小值，并求出此時(shí)相應(yīng)的abb與c的值6已知k為整數(shù)，若關(guān)于x的二次方程kx2+（2k+3b+1=0有有理根，求k值7.已知正整數(shù)a，b，c滿足a+b2-2c—2=0，3a2—8b+c=0，求abc的最大值.（2013全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試填空第8題）2.2特殊方程（組）的解法一、例題講解

xxy--=a例1.例1.已知a是不為0的實(shí)數(shù)，求解方程組：＜(2013新知杯第10題)y1xy--ab-2(a+b)例2.設(shè)a例2.設(shè)a、b、c均為非零數(shù)，解方程組：〈bc-ac-3(b+c)

4(a+c)I3x+2y+z-a,例3.關(guān)于x、y、z的方程組［xy+2yz+3zx-6有實(shí)數(shù)解（羽y，z），求正實(shí)數(shù)〃的最小值.（2006新知杯第三題）例4.解方程：2V2x(x+7)一工：'2x-、x+7-13-3x例5.解方程：、，x-1+弋2x-3+<3x-5+y4x-7-5x-6、練習(xí)題2a+b+c+d+e+f=20,a+2b+c+d+e+f=40,1.已知實(shí)數(shù)a、b、c、d、a+b+2c+d+e+f=80,e、f滿足如下方程組彳a+b+c1.已知實(shí)數(shù)a、b、c、d、a+b+c+d+2e+f=320,a+b+c+d+e+2f=640.求f-e+d-c+b-a的值.（2006新知杯第2題）2,解方程：5x2+10j2—12xy—6x—4y+13=03.解關(guān)于x的方程：t'x+<x—yx—、jx=（a+1）'一二（2014大同杯第9題）\x+工.xIab+c+d=3bc+d+a=54.解方程組：《， 7c（2012新知杯第10題）cd+a+b=2da+b+c=65,解方程：＜17x2+9x+13十%'17x2一5x+13=7x6.111一十——xy+z2111+—yz+x3111一+———zx+y4解方程組：《2.3韋達(dá)定理一、例題講解例1.已知二次函數(shù)J=X2-X+a的圖像與X軸的兩個(gè)不同的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和不超過5,則a的取值范圍.（2006新知杯第4題）例2.已知a，b，c，d四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿足c，d是方程X2-8ax-9b=0的兩實(shí)根，a，b是x2-8ex-9d=0的兩實(shí)根，求a+b+c+d.（2017大同杯第8題）例3.整數(shù)p，q滿足p+q=2010，且關(guān)于x的一元二次方程67x2+px+q=0的兩個(gè)根均為正整數(shù)，求p.（2010新知杯第7題）例4.已知矩形ABCD的相鄰兩邊長為a、b，是否存在另一個(gè)矩形ABCD’使它的周長和面積分別是矩形ABCD的周長和面積的3？證明你的結(jié)認(rèn)論。（2005宇振杯第二題）例5設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足a2（b2+1）+b（b+2a）=40，a（b+1）+b=8，求—+1-的值.（2014a2b2全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第三題）二、練習(xí)題.在^ABC中，NC=90°,NA、NB、NC的對(duì)邊順次為a、b、c,若關(guān)于x的方程c。+1)-2V2bx-a(x2-1)=0的兩根平方和為10,求-的值.(2007新知杯第3題)a.已知關(guān)于x的方程x4+2x3+(3+kb2+(2+k%+2k=0有實(shí)根，并且所有實(shí)根的乘積為一，求所有實(shí)根的平方和.(2009新知杯第4題)3設(shè)a，b是方程x2+68x+1=0的兩個(gè)根，c，d是方程x2-86x+1=0的兩個(gè)根，求(a+c)V?+c)Q-d)b-d)的值.(2009新知杯第6題).已知a,b,c,d四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，滿足a,b是x2-10cx-11d=0的兩實(shí)根，c,d是方程x2-10ax-11b=0的兩實(shí)根，求a+b+c+d.(2017大同杯靜安區(qū)初賽第9題).設(shè)二次函數(shù)J=x2+bx—c的圖象過兩點(diǎn)P(1,a),Q(2,10a)且與x軸的交點(diǎn)為A、B,與y軸的交點(diǎn)為C.如果關(guān)于x的方程x2+bx-c=0的兩個(gè)根都是整數(shù)，求4ABC的面積.(2010全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試第三題)

2.4單元測試二2.4單元測試二、填空題x+x+x=a;1231TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x+x+x=a;

2 3 4 2\o"CurrentDocument".實(shí)數(shù)x,x,x,x,x滿足方程組1x+x+x=a;其中a,a,a,a,a是實(shí)常數(shù)且12345 3 4 5 3 12345\o"CurrentDocument"x+x+x=a;

4 5 14x+x+x=a.5125a>a>a>a>a用“<”號(hào)連接x,x,x,x,x:1 2 3 4 5 12345.如果方程x2+px+1=0(p>0)的兩根之差等于1,那么p=xy yz zx 1 1 1.如果 =1， =2， =3，那么—I 1—=x+y y+z z+x x y z.實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>1，且2x2—xy—5x+y+4=0，貝口x+y=.已知x、y是正整數(shù)，并且xy+x+y=23，x2y+xy2=120，貝Qx2+y2=.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，設(shè)k為整數(shù)，當(dāng)直線y=x—3和y=kx+k的交點(diǎn)為整數(shù)時(shí)，k可以取的值有個(gè)xy x7若實(shí)數(shù)x、y滿足=+$=1，e+, …15 ，15、則這樣的有序數(shù)對(duì)(a,b)共有.已知a,則這樣的有序數(shù)對(duì)(a,b)共有Va\b三、解答題[a+b=8.已知a,b,c滿足方程組：1 ,求方程bx2+ex—a=0的根.Iab—c2+8\,-'2e=48.設(shè)關(guān)于x的二次方程C2—6k+8)x2+6k2—6k—4)x+k2=4的兩根都是整數(shù).求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k的值.

已知實(shí)數(shù)、.已知a是正整數(shù)，如果關(guān)于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整數(shù)，求a的值已知實(shí)數(shù)、滿足3m2-2m-5=0和5n2+2n-3=0,求m--的值n3.基1本不等式一、基本概念與公式a+b、基本不等式：當(dāng)a>0,b>0時(shí)，--—Nabb，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).a+b文字描述：設(shè)a>0b>o則a,b的算術(shù)平均數(shù)為亍，幾何平均數(shù)為、、ab，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)．3.公式變形(1)實(shí)數(shù)a、b,a2+b2三2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；(2)實(shí)數(shù)a、b同號(hào)時(shí)，b十三三2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；a一(a+b)2(3)實(shí)數(shù)a、b,ab<——，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)；2Ja2+b2(a+b、2a2+b2(4)實(shí)數(shù)a、b, cNc a-2r，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).I2)4.注意點(diǎn)(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí),可以求它們的和的最小值,當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí),可以求它們的積的最小值,正所謂“積定和最小,和定積最大”；(2)求最值的條件“一正,二定,三取等”二、例題講解例若正數(shù)、、滿足 ，求 的最小可能值( 宇振杯第題),■x2 1 y23例已知、為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足11--+.[1—3=片，求的最大值(大同杯4 4 1 162第題)例設(shè)a是給定的正實(shí)數(shù)，n是給定的大于1的整數(shù)，實(shí)數(shù)x,x,x，…,x滿足123nX2+X2+X2+X2=a求123 n(X一X)2+(X—X)2+…?+(X—X)2+(X—X)2+…?+(X—X)2+…?+(X—X)2的最12 13 1n 23 2n n-1n大值.(201大5同杯第8題)例如圖，在△ 中，/ °,四邊形是一個(gè)邊長為的正方形，且（）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（）當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值？并求出點(diǎn)在邊例如圖，在△ 中，/ °,四邊形是一個(gè)邊長為的正方形，且（）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（）當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值？并求出點(diǎn)在邊的最大值.（上，點(diǎn)、在邊0新7知杯第二題）上，三、練習(xí)題已知X>0,y>0,且2x+y=1，求J+：的最小值..設(shè)〃>b>0，求a2+土+七的最小值.111.已知/BAC=90°,四邊形ADEF是正方形且邊長為1,求 +—+—的最大值.ABBCCA（2013新知杯第9題）11若正數(shù)，滿足ab=1,求M=--+---的最小值（ 全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試1+a1+2b組第一題）“aa a , &5+b設(shè)實(shí)數(shù)a>-1,b>0,且滿足ab+a+b=1，求b+2的最大值3.2函數(shù)的最值一、例題講解例1將8個(gè)數(shù)—7,—5,—3,—2,2,4,6,13排列為a,b,jd,e,f,g,h，使得Q+b+c+d[+。+f+g+h）的值最小，求這個(gè)最小值.（2011新知杯第4題）x—1例2.已知實(shí)數(shù)x,求=1的最小值.（2017大同杯第二題）例3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足xy-x-y=1,求x2+j2的最小值.（2015全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽A組第一試第5題）例4.已知非負(fù)實(shí)數(shù)x,j,z滿足x+J+z=1,求t=2盯+jz+2zx的最大值（全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第2題）二、練習(xí)題1.不等式X2+|2x-6>a對(duì)于一切實(shí)數(shù)X都成立則實(shí)數(shù)a的最大值（ 新知杯第題）全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽組第2已知實(shí)數(shù) 滿足x2+xj+j2=1，求（X—y）2的最大值（全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽組第一試第4題）有兩個(gè)實(shí)根1、2有兩個(gè)實(shí)根1、2，若題）12的取值范圍（宇振杯第4設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,求則M=xy+2yz+3xz的最大值（全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第6題）3.3二次函數(shù)一、例題講解例1.若實(shí)數(shù)a,b,c使得二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c當(dāng)0<x<1時(shí)，恒有l(wèi)f（x）l<1,求IaI+IbI+IcI的最大值.（2016大同杯第7題）例2.已知a,b,c,d為四個(gè)正的常數(shù)，則當(dāng)實(shí)數(shù)x,y滿足ax2+by2=1時(shí)，求cx+dy2的最小值.（2016大同杯第8題）例3.已知二次函數(shù)y=x2-x+a的圖像與x軸的兩個(gè)不同的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和不超過5，求a的取值范圍.（2006新知杯第4題）例4.某學(xué)生為了描點(diǎn)作出函數(shù)y=ax2+bx+c（aW0）的圖象，取自變量的7個(gè)值：x<x<…<x，且x-x=x-x=…二x-x，分別算出對(duì)應(yīng)的y的值，列出下表:1 2 7 21 32 76xx1x2x3x4x5x6x7y51107185285407549717但由于粗心算錯(cuò)了其中一個(gè)y值。請(qǐng)指出算錯(cuò)的是哪一個(gè)值？正確的值是多少？并說明理由.（2003宇振杯第四題）二、練習(xí)題1,已知點(diǎn)A（—0.8,4.132）,B（1.2,—1.948）,C（2.8,—3.932）在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像上，則當(dāng)圖像上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x=1.8時(shí)，求它的縱坐標(biāo)y的值.（2016大同杯第3題）.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a豐0）的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)（1,0）當(dāng)a—b為整數(shù)時(shí)，求ab的值（全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽組第一試第題）.已知關(guān)于正整數(shù)的二次式 為實(shí)常數(shù).若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍（ 宇振杯第題）4拋物線頂點(diǎn)在軸上交軸于，2=2，y=ax2+bx+c，有b+2ac=0，y=x+1過點(diǎn)且交拋物線于另一點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)（ 大同杯徐匯區(qū)初賽第題）3.4單元測試三一、填空題.若a>0,b>0,且a+2b—2=0,貝Uab的最大值為.拋物線y=%2_(2a+1k+2a-5與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)(2,0)的兩旁，那么a的取值范圍是.設(shè)a,b都是實(shí)數(shù)，函數(shù)fQ)=ax2+b(x+1)—2,若對(duì)任意實(shí)數(shù)b,方程ax2+bQ+1)-2=x有兩個(gè)相異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為2x.當(dāng)x>0時(shí)，則f(x)=-rq+T的最大值為 x11+x2+x4-11+x4.若x豐0,則 的最大值是x.當(dāng)x+1]?6時(shí)，函數(shù)y=x|x|-2x+1的最大值是1.設(shè)X為正數(shù)，則函數(shù)y=x2-x+-的最小值是x.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸正方向交于A,B兩點(diǎn)，與y軸正方向交于點(diǎn)C.已知AB=3AAC,/CAO=30。，則c=二、解答題.直角三角形斜邊為c,直角邊為a、b,求證：a+b<22c..設(shè)A、B是拋物線y=2x2+4x-2上的點(diǎn)，原點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)..a、b、c為實(shí)數(shù)，ac<0,且-J2a+<3b+%5c=0,證明：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=03有大于;而小于1的根.4.如圖，拋物線y=ax2+bx-3，頂點(diǎn)為E,該拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，＞OB=OC=3OA.直線y=—3x+1與y軸交于點(diǎn)D.求NDBC-ZCBE.4.1相似三角形一、例題講解例1.如圖，在凸四邊形ABCD中，已知NABC+NCDA=300°,ABxCD=BCxAD，求證:ABxCD=ACxBD.（2014大同杯第10題）例如圖，在正△ABC的邊BC、CA上分別有點(diǎn)E、F,且滿足BE=CF=a,EC=FA=b(a>b)，當(dāng)BF平分AE時(shí)，求a的值為.( 新知杯虹口區(qū)初賽)b例如圖，梯形ABCD中，AB//CD,AC,BD相交于點(diǎn)O.P,Q分別是AD,BC上的點(diǎn)，且NZpZBq求證：OP=OQ.（ 全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第題）二、練習(xí)題1,已知/A=90。，AB=6,AC=8,E、F在AB上且AE=2,BF=3過點(diǎn)E作AC的平行線交BC于D,FD的延長線交AC的延長線于G，求GF.（2013新知杯第3題）2,已知梯形ABCD中，AB//CD，/ABC=90。，BD1AD，BC=5，BD=13，求梯形ABCD的面積.（2011年新知杯第2題）

3.直角三角形斜邊AB上的高CD=3,延長DC到P使得CP=2，過B作BF1AP交CD于E,交AP于F，求DE.（2013新知杯第8題）如圖，在四邊形ABCD中，/BAC=/BDC=900，AB=AC=<5CD=1對(duì)角線的交點(diǎn)為M，求DM的長（ 全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試第題）4.2梅涅勞斯定理一、定理梅涅勞斯（ ）定理：一直線分別截△ 的邊、、（或其延長線）于、、BD，則DCCEEABD，則DCCEEAFB二「二、例題講解例如圖，在四邊形ABCD中，△ABD、ABCD、^ABC的面積之比是3：4：1,點(diǎn)M、N分別在AC、CD上，滿足AM：ACCN：CD,且B、M、N三點(diǎn)共線.求證：M與N分別是AC和CD的中點(diǎn)例2.直角4ABC中，CK是斜邊上的高，CE是NACK的平分線，E點(diǎn)在AK上，D是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE與CK的交點(diǎn).求證：BF//CE.三、練習(xí)題BECF1.過^ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F,交CB延長線于D,求證：-百丁+二1EAFA2在4 中，點(diǎn)和順次三等分，點(diǎn)和順次三等分，與，分別交于點(diǎn)，，求四邊形與^的面積之比。3.已知△ABC的重心為G，M是BC邊的中點(diǎn)，過G作BC邊的平行線交AB邊于X，交AC邊于Y,且XC與GB交于點(diǎn)Q,YB與GC交于點(diǎn)P,證明：△MPQs^ABC.

4.3正、余弦定理一、定理abc.正弦定理：=——=——=2R（R為外接圓半徑）sinAsinBsinC1面積公式：S=5absinC誘導(dǎo)公式：sin（K-o）=sina2,余弦定理：c2=a2+b2-2abcosCa^a2+b2-c2變形：cosC= 2ab二、例題講解例1.已知△ABC中，AB=2,AC=3,點(diǎn)D、E在邊AC、AB上，且NABD=4/DBC,NACE=4NECB,ACxBD=ABxCE，求^ABC的面積.（2017大同杯第6題）例2.在等腰直角三角形ABC中，/ACB=90o,P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，使得PA=11,PB=7,PC=6，求邊AC的長.（2011新知杯第6題）例3.已知點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得/PAB=NPBC=NPCA=a.求證：1sin2a求證：1sin2a1 Vsin2A11

1

sin2B sin2C三、練習(xí)題.設(shè)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是1、2、3,求正方形的面積.2.在2.在△ABC的AC及BC邊上分別取點(diǎn)X、XC=YB，求證：△ABC為正三角形.Y，使/ABX=ZYAC，/AYB=/BXC，13.△ABC中，NB=60°,NA=20°,求AC---.（2017大同杯徐匯區(qū)初賽第8題）BC

4.4單元測試四一、填空題如下左圖，ABIIEFIICD,已知AB=20,CD=80,那么EF的值是2.如上右圖，正方形2.如上右圖，正方形OPQR內(nèi)接于△人3二已知4AOR、ABOP和^CRQ的面積分別是S=1,1S=3和S=1,那么，正方形OPQR的邊長是23.在^ABC中，已知3+c)：(c+a)：(a+b)=4:5：6,貝UsinA:sinB:sinC等于.在^ABC中，最大角NA是最小角NC的兩倍，且AB=7,AC=8,則BC=.在^ABC中，已知面積S=4(a2+b2—c2),則角C的度數(shù)為.AC、CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，點(diǎn)M、N分別在AC、CE上，使AM：AC=CN：CE=r，如果B、M和N三點(diǎn)共線，那么r=.如下左圖，一個(gè)邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個(gè)正方形的面積是厘米28.如上右圖，在^ABC中，AB8.如上右圖，在^ABC中，AB=AC=v-5,BC=2,在BC上有100個(gè)不同的點(diǎn)P、P、P…P，1 2 3 100過這100個(gè)點(diǎn)分別作△ABC的內(nèi)接矩形PEFG，PEFG…1111 2222P100E100F100G100，設(shè)每個(gè)內(nèi)接矩形的周長分別為L1、L2?L1OO，則LJL2+?+L、解答題在口 中，，分別是，的中點(diǎn)，與相交于，與交于，求

、解答題在口 中，，分別是，的中點(diǎn)，與相交于，與交于，求.證明余弦定理的一種四邊形推廣：即設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線交于P,又設(shè)NAPB=9，貝Ucos9二AD2+BC2—AB2—NAPB=9，貝Ucos9二AA.過^ABC三條角平分線的交點(diǎn)1,作AI的垂線與AB、AC分別交于D、E,求證:△BIDs^IEC.已知^ABC中，NABC=90。，延長AC至1」點(diǎn)D,連結(jié)BD,若NCBD=30。，且AB=CD1，求AC的長.

5.1幾何不等式與最值一、例題講解例1.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，/MON的兩邊分別是射線片x（xN0）與x軸正半軸?點(diǎn)46,5），B（10,2）是/MON內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是/MON兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABQP周長的最小值（大同杯第題）例2.如圖，Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=5,現(xiàn)點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度.（2017大同杯第3題）例3.已知面積為4的AABC的邊長分別為BC=a，CA=b，AB=c，c>b,AD是/A的角平分線，點(diǎn)C'是點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)，若A。BD與NABC相似，求AABC的周長的最小值。（2010新知杯第11題）

二、練習(xí)題.如圖，直角三角形ABC中,AC=1,BC=2,P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)。PE±BC,PFLCA,求線段EF長的最小值.（2009新知杯第5題）BPE第五題圖BPE.如圖，△ABC的面積為1，點(diǎn)D、G、E和F分別在邊AB、AC、BC上，BD<DA,DG〃BC,DE〃AC,GF〃AB,求梯形DEFG面積的最大可能值.（2017新知杯第7題）.已知^慶30的兩條高分別為5和20,若第三條高也是整數(shù)，求第三條高的最大值.（2011全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第2題）.兩個(gè)直角梯形的斜腰與上底都等于1,且兩個(gè)銳角互余，它們的面積分別為S1和S2，求證：1<S1+S2<25.2三角形的“五心”一、例題講解例1.設(shè)^ABC的內(nèi)心為I，ZA內(nèi)的旁心為J,AI的延長線交三角形外接圓于K,則KI=KJ=KB=KC.（雞爪定理）例2.設(shè)三角形的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為&則d2-R2=2Rr.（歐拉定理）例 如圖，在△ABC中，BC=o,CA=b,/ACB=60。，△ABD是正三角形，戶是其中心，求CP的長度.（ 大同杯第題）例4.如圖，H為AABC的垂心，圓O為AABC的外接圓。點(diǎn)E、F為以C為圓心、CH長為半徑的圓與圓O的交點(diǎn)，D為線段EF的垂直平分線與圓O的交點(diǎn)。求證：（1）AC垂直平分線段HE；（2）DE=AB.二、練習(xí)題1.已知四邊形ABCD的面積為2013,E為AD上一點(diǎn)，ABCE,AABE,ACDE的重心分別為G,G,G，求AGGG的面積為.（2013新知杯第7題）1 2 3 123已知P為等腰△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=BC,/BPC=108。，D為AC的中點(diǎn)，BD與PC交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)P為^ABE的內(nèi)心，求/PAC的度數(shù).（2014全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空第3題）3.設(shè)^ABC的外心，垂心分別為O,H，若B，C，H，O共圓，對(duì)于所有的△ABC，求/BAC所有可能的度數(shù).（2013全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽12題）已知^ABC的三邊長均為正整數(shù)，周長為35,G和I分別為△ABC的重心和內(nèi)心，且/GIC=90。，求邊AB的長度.（ 大同杯第1）

5.3圓冪定理與四點(diǎn)共圓一、例題講解例1.設(shè)PO是邊長為1的正4ABC的外接圓的一條弦，已知AB和AC的中點(diǎn)都在PQ上，求PQ的長.例如圖，在平行四邊形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足/ECD=/ACBAC的延長線與△ABD的外接圓交于點(diǎn)F證明：/DFE=/AFB.（2014全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第四題）C例3.如圖，若C例3.如圖，若PA=PA,NAPB=2NACB,AC與PB交于點(diǎn)D,且PB=4,PD=3,求AD.DC的值.例4.如圖，已知口M與口O外切于點(diǎn)C,口M和口O的半徑依次為r和R.直線TPQ切口M于點(diǎn)T口M于點(diǎn)T,與口O相交于點(diǎn)P,Q，求CQ~CP的值?（2016大同杯第9題）二、練習(xí)題已知八3為圓。的直徑，AB=1,延長AB到點(diǎn)C,使得BC=1,CD是圓。的切線，D是切點(diǎn)，則AABD的面積.（大同杯第題）如圖，圓O與圓O外切于點(diǎn)P，從圓O上點(diǎn)A作圓O的切線AB,B是切點(diǎn)，連結(jié)AP12 1 2并延長，與圓O交于點(diǎn)C.已知圓O、圓O的半徑分別為2、1,求AC的值（大同2 1 2 AB杯第同題）3.凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)￡,已知/慶8口=35°,/慶口8=20°,/ACB=40°,NACD=70°,求NAEB的度數(shù).如圖，在等腰AABC中AB=AC=J5,D為BC邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)EEB的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)F,求AD?AF的值（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽組第三題）

5.4單元測試五、填空題不等邊三角形，如果一條邊長等于另兩條邊長的平均值，則最大邊上的高于最小邊上的高的比值K的取值范圍是△ABC中，AB=AC,ZB的平分線交AC于D,且BC=AD+BD,則NBAC=在長為32寬為3的長方形內(nèi)部最多可以不重疊地放置 個(gè)半徑為1的圓如下左圖，在△ABC中，AB=6,BC=3,CA=7,I為^ABC的內(nèi)心，連接CI并延長交AB于點(diǎn)。并延長交AB于點(diǎn)。，記^CAI的面積為m,m△DAI的面積為n，則一二n5.如上右圖在鈍角5.如上右圖在鈍角4ABC中，BC=1,ZA=30°,D為BC中點(diǎn)，G為4ABC重心，若B、C為定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GD長度的取值范圍是.已知P為等腰△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=BC,/BPC=1。8°,D為AC的中點(diǎn)，BD與PC交于點(diǎn)E，如果點(diǎn)P為^ABE的內(nèi)心，則/PAC.已知四邊形ABCD的面積為32,邊AB、CD和對(duì)角線AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16,則該四邊形的邊長的平方和的最小值為 .如圖正方形ABCD內(nèi)接于。。，點(diǎn)P在劣弧AB上，連結(jié)DP,交AC于點(diǎn)Q.若QP=QO則QC則QC的值為QA、解答題.如圖，在Rt△ABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,CD是AB邊上的高，E,F分別是△ADC和^BDC的內(nèi)心，連接EF交CD于點(diǎn)G，試求CG的長。.梯形ABCD的面積為1,上底為m,下底為n，點(diǎn)P、Q分別是上底和下底上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)AQ、BP交于點(diǎn)R,CP、DQ交于點(diǎn)S，則陰影部分面積的最大值是多少？的最小值的最小值..等腰Rt△ABC與等腰Rt4A1B1cl滿足A1、B1、C1分別在4ABC的三條不同邊上，求SABC—△~i~i-1S△ABC12.如