山東省菏澤市成武縣育青中學2023-2024學年九年級上學期分班考數(shù)學試卷

2023-2024學年山東省菏澤市成武縣育青中學九年級（上）分班考數(shù)學試卷一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確選項的序號涂在答題卡的相應位置.）1．（3分）企業(yè)標志反映了思想、理念等企業(yè)文化，在設計上特別注重對稱美．下列企業(yè)標志圖為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（）A． B．7 C． D．83．（3分）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是（）A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D4．（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，AE＝4，AD＝5（）A．9 B．8 C．7 D．65．（3分）已知a＝，b＝2，c＝（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a6．（3分）若關于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣37．（3分）從高空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間與物體的質量無關，只與該物體受到的重力加速度有關（單位：m）的高處自由下落，落到地面所用的時間t（單位：s）（k為常數(shù)）表示，并且當h＝80時，則從高度為100m的空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間為（）A．s B．s C．s D．s8．（3分）已知函數(shù)y＝（2m﹣1）x是正比例函數(shù)，且y隨x的增大而增大（）A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜09．（3分）如圖表示光從空氣進入水中入水前與入水后的光路圖，若按如圖建立坐標系，并設入水與前與入水后光線所在直線的表達式分別為y1＝k1x，y2＝k2x，則關于k1與k2的關系，正確的是（）A．k1＞0，k2＜0 B．k1＞0，k2＞0 C．|k1|＜|k2| D．|k1|＞|k2|10．（3分）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）二．填空題（共8小題，每小題3分，共24分，把結果填在答題卡相應區(qū)域內(nèi)）11．（3分）如圖，點P是正方形ABCD的對角線AC上的一點，PE⊥AD于點E．12．（3分）定義新運算：（a，b）?（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c（1，2）?（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）?（3，﹣1）＝3．13．（3分）若關于x的不等式組所有整數(shù)解的和為14，則整數(shù)a的值為．14．（3分）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)＝可知m有最小值3×7＝21．設n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)．15．（3分）在平面直角坐標系中，點A1、A2、A3、A4…在x軸的正半軸上，點B1、B2、B3…在直線y＝x（x≥0）上，若點A1的坐標為（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，則點B2023的縱坐標為．16．（3分）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點，P是正方形內(nèi)一點，線段BP以B為中心逆時針旋轉90°得到線段BQ，連接MQ．若AB＝4，則MQ的最小值為．17．（3分）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，BD＝20cm，AQ＝12mm．18．（3分）定義一種運算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當α＝45°，β＝30°時，sin（45°+30°）＝×+×＝．三．解答題（共8小題，本題共66分，把解答或證明過程寫在答題卡的相應區(qū)域內(nèi)）19．（12分）（1）計算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．（2）求不等式組的解集．（3）先化簡，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．20．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，求證：△ADE∽△ABC．21．（9分）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．22．（10分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；（2）若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？23．（6分）烽燧即烽火臺，是古代軍情報警的一種措施，史冊記載，白天放煙稱“燧”．克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內(nèi)時代最早、保存最完好、規(guī)模最大的古代烽燧（如圖1）．某數(shù)學興趣小組利用無人機測量該烽燧的高度，無人機飛至距地面高度31.5米的A處，測得烽燧BC的頂部C處的俯角為50°，試根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計算烽燧BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長．25．（8分）如圖，在直角坐標系中，點A（2，m）上，過點A的直線交y軸于點B（0，3）．（1）求m的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）若點P（t，y1）在線段AB上，點Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．26．（10分）綜合與實踐．（1）提出問題．如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，連接BD①∠BOC的度數(shù)是．②BD：CE＝．（2）類比探究．如圖2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，DE＝DC，連接AD、BE并延長交于點O．①∠AOB的度數(shù)是；②AD：BE＝．（3）問題解決．如圖3，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點D（不與A重合），以AE為邊在AD的左側構造等邊△AEF，將△AEF繞著點A在平面內(nèi)順時針旋轉任意角度．如圖4，N為BE的中點．①說明△MND為等腰三角形．②求∠MND的度數(shù)．

2023-2024學年山東省菏澤市成武縣育青中學九年級（上）分班考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確選項的序號涂在答題卡的相應位置.）1．（3分）企業(yè)標志反映了思想、理念等企業(yè)文化，在設計上特別注重對稱美．下列企業(yè)標志圖為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．【解答】解：選項A、B、D中的圖形都不能找到這樣的一個點，所以不是中心對稱圖形．選項C中的圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合．故選：C．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．2．（3分）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，與CB的延長線相交于點M．若BC＝6，則線段CM的長為（）A． B．7 C． D．8【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得DE∥BC，求出DE，進而證得△DEF∽BMF，根據(jù)相似三角形的性質求出BM，即可求出結論．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝×6＝7，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC+BM＝．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵．3．（3分）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是（）A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D【分析】由矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形；B、∵AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，由AB＝CD，不能判定四邊形ABCD為矩形；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AB的長為AD與BC間的距離，∵AB＝CD，∴CD⊥AD，CD⊥BC，∴∠C＝∠D＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故選項C符合題意；D、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠B＝∠C，∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是等腰梯形，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判定是解題的關鍵．4．（3分）如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，直線MN分別與邊BC，AC相交于點D，E，AE＝4，AD＝5（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質可得AC＝2AE＝8，DA＝DC，從而可得∠DAC＝∠C，再結合已知易得BD＝AD，從而可得∠B＝∠BAD，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC＝90°，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：MN是AC的垂直平分線，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴3∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故選：D．【點評】本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理，以及線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．5．（3分）已知a＝，b＝2，c＝（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a【分析】一個正數(shù)越大，其算術平方根越大，據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：∵3＜4＜6，∴＜＜，即＜2＜，則a＞b＞c，故選：C．【點評】本題考查實數(shù)的大小比較，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．6．（3分）若關于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣1＜a≤0 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3【分析】先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組有且只有3個整數(shù)解，即可得到a的取值范圍．【解答】解：，解不等式①，得：x≤8，解不等式②，得：x＞a，∴該不等式組的解集是a＜x≤2，∴關于x的不等式組有且只有3個整數(shù)解，∴這三個整數(shù)解是0，7，2，∴﹣1≤a＜8，故選：A．【點評】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．7．（3分）從高空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間與物體的質量無關，只與該物體受到的重力加速度有關（單位：m）的高處自由下落，落到地面所用的時間t（單位：s）（k為常數(shù)）表示，并且當h＝80時，則從高度為100m的空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間為（）A．s B．s C．s D．s【分析】先將h＝80，t＝4代入t＝，運用二次根式知識求得k的值，再將h＝100代入求解．【解答】解：由題意得＝4，解得k＝5，∴當h＝100時，t＝＝＝2，∴從高度為100m的空中自由下落的物體，其落到地面所需的時間為4s，故選：D．【點評】此題考查了二次根式運算的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識進行列式、求解．8．（3分）已知函數(shù)y＝（2m﹣1）x是正比例函數(shù)，且y隨x的增大而增大（）A．m＞ B．m＜ C．m＞0 D．m＜0【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質可知（2m﹣1）＞0．【解答】解：根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質，知：當y隨自變量x的增大而增大，即2m﹣1＞6，m＞．故選：A．【點評】本題考查了正比例函數(shù)圖象的性質：它是經(jīng)過原點的一條直線．當k＞0時，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k＜0時，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。?．（3分）如圖表示光從空氣進入水中入水前與入水后的光路圖，若按如圖建立坐標系，并設入水與前與入水后光線所在直線的表達式分別為y1＝k1x，y2＝k2x，則關于k1與k2的關系，正確的是（）A．k1＞0，k2＜0 B．k1＞0，k2＞0 C．|k1|＜|k2| D．|k1|＞|k2|【分析】利用兩個函數(shù)圖象的位置關系取橫坐標相同的點利用縱坐標的大小列出不等式，即可求解．【解答】解：如圖，在兩個圖象上分別取橫坐標為mm＜0，則A（m，k1m），B（m，k3m），∵k1m＜k2m，∴k8＞k2，當取橫坐標為正數(shù)時，同理可得k1＞k8，∵k1＜0，k7＜0，∴|k1|＜|k7|，故選：C．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象與性質，解題關鍵是取橫坐標相同的點，利用縱坐標的大小關系得到比例系數(shù)的關系．10．（3分）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【分析】根據(jù)位似變換的性質解答即可．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為7：2，∵點C的坐標為（3，5），∴點F的坐標為（3×2，6×2），4），故選：C．【點評】本題考查的是位似變換的性質、相似三角形的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．二．填空題（共8小題，每小題3分，共24分，把結果填在答題卡相應區(qū)域內(nèi)）11．（3分）如圖，點P是正方形ABCD的對角線AC上的一點，PE⊥AD于點E3．【分析】解法一：利用正方形的性質得到AC為∠BAD的平分線，直接利用角平分線的性質即可求解．解法二：過點P作PF⊥AB于點F，根據(jù)正方形的性質易得△AEP為等腰直角三角形，AE＝PE＝3，再根據(jù)有三個角為直角，且鄰邊相等的四邊形為正方形證明四邊形AFPE為正方形，以此即可求解．【解答】解：解法一：過點P作PF⊥AB于點F，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴PE＝PF＝3，∴點P到直線AB的距離為3．解法二：過點P作PF⊥AB于點F，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴∠PAE＝45°，∴△AEP為等腰直角三角形，AE＝PE＝6，∵PE⊥AD，PF⊥AB，∴∠FAE＝∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵AE＝PE，∴四邊形AFPE為正方形，∴AE＝PF＝3，∴點P到直線AB的距離為3．故答案為：5．【點評】本題主要考查角平分線的性質、正方形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握正方形的判定與性質是解題關鍵．12．（3分）定義新運算：（a，b）?（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c（1，2）?（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）?（3，﹣1）＝31．【分析】直接利用運算公式將原式變形，進而計算得出答案．【解答】解：（2x，3）?（3，6x﹣3＝3，解得：x＝1．故答案為：1．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確將原式變形是解題關鍵．13．（3分）若關于x的不等式組所有整數(shù)解的和為14，則整數(shù)a的值為2或﹣1．【分析】求出a﹣1＜x≤5，根據(jù)所有整數(shù)解的和為14，列出關于a的不等式組，解得a的范圍，即可求得答案．【解答】解：，解不等式①得：x＞a﹣1，解不等式②得：x≤7，∴a﹣1＜x≤5，∵所有整數(shù)解的和為14，∴不等式組的整數(shù)解為2，4，3，5或5，4，5，2，1，7，∴1≤a﹣1＜5或﹣2≤a﹣1＜﹣2，∴2≤a＜3或﹣7≤a＜0，∵a為整數(shù)，∴a＝2或a＝﹣5，故答案為：2或﹣1．【點評】本題考查不等式組的整數(shù)解，解題的關鍵是根據(jù)題意列出關于a的不等式組．14．（3分）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)＝可知m有最小值3×7＝21．設n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)3．【分析】先將化簡為10，可得n最小為3，即可求解．【解答】解：∵＝＝10，∴n最小為5．故答案為：3．【點評】本題考查二次根式的乘除法，二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是讀懂題意，根據(jù)關鍵詞“整數(shù)”進行求解．15．（3分）在平面直角坐標系中，點A1、A2、A3、A4…在x軸的正半軸上，點B1、B2、B3…在直線y＝x（x≥0）上，若點A1的坐標為（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，則點B2023的縱坐標為×22022．【分析】設等邊△BnAnAn+1的邊長為an，可得△BnAnAn+1的高為an?sin60°＝an，即Bn的縱坐標為an，由點A1的坐標為（2，0），可得a1＝2，a2＝2+2＝4，a3＝2+a1+a2＝8，a4＝2+a1+a2+a3＝16，…，故an＝2n，即可得到答案．【解答】解：設等邊△BnAnAn+1的邊長為an，∵△BnAnAn+1是等邊三角形，∴△BnAnAn+7的高為an?sin60°＝an，即Bn的縱坐標為an，∵點A1的坐標為（2，0），∴a1＝7，a2＝2+7＝4，a3＝7+a1+a2＝6，a4＝2+a6+a2+a3＝16，…，∴an＝5n，∴Bn的縱坐標為×2n﹣6，當n＝2023時，∴Bn的縱坐標為×22022，故答案為：×22022．【點評】本題考查一次函數(shù)圖象上點坐標的特征，解題的關鍵是掌握等邊三角形的性質，能熟練應用含30°角的直角三角形三邊的關系．16．（3分）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點，P是正方形內(nèi)一點，線段BP以B為中心逆時針旋轉90°得到線段BQ，連接MQ．若AB＝4，則MQ的最小值為2﹣1．【分析】連接BM，將△BCM繞B逆時針旋轉90°得△BEF，連接MF，QF，證明△BPM≌△BBQF（SAS），得MP＝QF＝1，故Q的運動軌跡是以F為圓心，1為半徑的弧，求出BM＝＝2，可得MF＝BM＝2，由MQ≥MF﹣QF，知MQ≥2﹣1，從而可得MQ的最小值為2﹣1．【解答】解：連接BM，將△BCM繞B逆時針旋轉90°得△BEF，QF∵∠CBE＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝180°，∴A，B，E共線，∵∠PBM＝∠PBQ﹣∠MBQ＝90°﹣∠MBQ＝∠FBQ，由旋轉性質得PB＝QB，MB＝FB，∴△BPM≌△BQF（SAS），∴MP＝QF＝1，∴Q的運動軌跡是以F為圓心，1為半徑的弧，∵BC＝AB＝4，CM＝，∴BM＝＝2，∵∠MBF＝90°，BM＝BF，∴MF＝BM＝2，∵MQ≥MF﹣QF，∴MQ≥2﹣1，∴MQ的最小值為2﹣8．故答案為：2﹣1．【點評】本題考查正方形中的旋轉問題，解題的關鍵是掌握性質的性質，正確作出輔助線構造全等三角形解決問題．17．（3分）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，BD＝20cm，AQ＝12m6m．【分析】根據(jù)題意可知：△ABC∽△AQP，從而可以得到，然后代入數(shù)據(jù)計算，即可得到PQ的長．【解答】解：由題意可得，BC∥PQ，AB＝40cm，AQ＝12m，∴△ABD∽△AQP，∴，即，解得QP＝6，∴樹高PQ＝6m，故答案為：5【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．18．（3分）定義一種運算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當α＝45°，β＝30°時，sin（45°+30°）＝×+×＝．【分析】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計算得結論．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關鍵．三．解答題（共8小題，本題共66分，把解答或證明過程寫在答題卡的相應區(qū)域內(nèi)）19．（12分）（1）計算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．（2）求不等式組的解集．（3）先化簡，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，計算即可；（2）根據(jù)不等式組的解法解不等式組即可；（3）根據(jù)整式的混合運算化簡后代入x的值計算即可．【解答】解：（1）|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2＝2﹣3+3﹣5×＝2﹣2＝2；（2）解不等式①得，x＜2；解不等式②得，x≥﹣7，∴原不等式組的解集為﹣3≤x＜2；（3）（+x﹣1）÷＝＝x+8，解方程x2﹣2x﹣4＝0得x1＝8，x2＝﹣1，∵x5（x+1）2≠8，∴x≠0，x≠﹣1，∴x＝5，∴原式＝3+1＝2．【點評】本題考查了一元二次方程的解，實數(shù)的運算，分式的化簡和求值，解一元一次不等式，正確地進行運算是解題的關鍵．20．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，求證：△ADE∽△ABC．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵．21．（9分）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于，求平行線AB與DC間的距離．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角相等得到∠BAD＝∠BCD，再根據(jù)AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，可得到∠DAE＝∠BCF，再根據(jù)平行四邊形對邊平行得到∠DAE＝∠AEB，于是有∠BCF＝∠AEB，得出AE∥FC，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形AECF是平行四邊形，最后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；（2）連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質和角平分線的定義可證得AB＝EB，結合已知∠ABC＝60°得到△ABE是等邊三角形，從而求出AB＝AE＝EB＝EC＝4，∠BAE＝60°，再證得∠EAC＝30°，即可得到∠BAC＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC的長，從而得出平行線AB與DC間的距離．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，∵AE、CF分別是∠BAD，∴，，∴∠DAE＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BCF＝∠AEB，∴AE∥FC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABEA＝60°，∵△ABE的面積等于，∴，∴AB＝7，即AB＝AE＝EB＝4，由（1）知四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEB是△AEC的一個外角，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AC⊥AB，由勾股定理得，即平行線AB與DC間的距離是．【點評】本題考查了菱形的判定與性質，掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是此題的關鍵，理解平行線間的距離的定義，等邊三角形的性質與判定．22．（10分）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校為提高學生的閱讀品味，乙兩種書共100本，已知購買2本甲種書和1本乙種書共需100元（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；（2）若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過3200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？【分析】（1）設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，根據(jù)“購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需165元”，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設該校購買甲種書m本，則購買乙種書（100﹣m）本，利用總價＝單價×數(shù)量，結合總價不超過3200元，可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論．【解答】解：（1）設甲種書的單價是x元，乙種書的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種書的單價是35元，乙種書的單價是30元；（2）設該校購買甲種書m本，則購買乙種書（100﹣m）本，根據(jù)題意得：35m+30（100﹣m）≤3200，解得：m≤40，∴m的最大值為40．答：該校最多可以購買甲種書40本．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．23．（6分）烽燧即烽火臺，是古代軍情報警的一種措施，史冊記載，白天放煙稱“燧”．克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內(nèi)時代最早、保存最完好、規(guī)模最大的古代烽燧（如圖1）．某數(shù)學興趣小組利用無人機測量該烽燧的高度，無人機飛至距地面高度31.5米的A處，測得烽燧BC的頂部C處的俯角為50°，試根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計算烽燧BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）【分析】過點A作AE⊥AD于E交BC的延長線于點E，則BE＝AD＝31.5米，在Rt△ABE中可求出AE，在Rt△ACE中可求出CE，再利用BC＝BE﹣CE即可得到答案．【解答】解：如圖，過點A作AE⊥AD于E交BC的延長線于點E，在Rt△ABE中，BE＝31.5米，∠BAE＝65°，∴AE≈＝15（米），在Rt△ACE中，∠CAE＝50°，∴CE＝AEtan∠CAE＝15tan50°≈15×1.4＝18（米），∴BC＝BE﹣CE＝31.5﹣18＝13.5（米），答：烽燧BC的高度約為13.7米．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角，構造直角三角形，合理利用三角函數(shù)關系是解題的關鍵．24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長．【分析】（1）由垂直的定義得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性質即可求出∠ACD的度數(shù)；（2）由勾股定理求出CD的長，由平行線分線段成比例定理得到，代入有關數(shù)據(jù)，即可求出CE的長．【解答】解：（1）∵AE⊥CD于點E，∴∠AEC＝90°∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；（2）∵CD是⊙O的切線，∴半徑OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB+BD＝8，∴CD＝＝．∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴，∴，∴CE＝．【點評】本題考查切線的性質，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質，關鍵是由三角形外角的性質求出∠ACD的度數(shù)，由勾股定理求出CD的長，由平行線分線段成比例定理即可求出CE的長．25．（8分）如圖，在直角坐標系中，點A（2，m）上，過點A的直線交y軸于點B（0，3）．（1）求m的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）若點P（t，y1）在線段AB上，點Q（t﹣1，y2）在直線y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．【分析】（1）將A點代入直線解析式，求出m．利用待定系數(shù)法解出AB直線函數(shù)解析式；（2）分別用t表示出y1和y2，列出y1﹣y2，的函數(shù)解析式，找出y隨t的變化，利用t的最值求出答案．【解答】解：（1）把點A（2，m）代入y＝2x﹣中；設直線AB的函數(shù)表達式為：y＝kx+b，把A（2，），3）代入得：，解得，∴直線AB的函數(shù)表達式為y＝﹣x+3．（2）∵點P（t，y4）在線段AB上，∴y1＝﹣t+3（0≤t≤4），∵點Q（t﹣1，y2）在直線y＝3x﹣上，∴y4＝2（t﹣1）﹣