幾種證明全等三角形添加輔助線的方法

供學(xué)習(xí)參考供學(xué)習(xí)參考全等三角形復(fù)習(xí)課適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)〔分鐘〕120知識(shí)點(diǎn)全等三角形的性質(zhì)和判定方法教學(xué)目標(biāo)熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定方法，并學(xué)會(huì)用應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)學(xué)會(huì)做輔助線證明三角形全等，常用的幾種作輔助線的方法教學(xué)難點(diǎn)通過(guò)學(xué)習(xí)全等三角形，提高學(xué)生觀察能力和分析能力教學(xué)過(guò)程構(gòu)造全等三角形幾種方法在幾何解題中，常常需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的聯(lián)系?，F(xiàn)分類加以說(shuō)明。一、延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形例1.如圖1,AD是△ABC的中線，求證：AB+AO2AD。圖1 圖2證明：延長(zhǎng)AD至E,使AD=DE,連接CE。如圖2。VAD是△ABC的中線，，BD=CD。又：N1=N2,AD=DE,.'.△ABD/4ECD〔SAS〕。AB=CE。???在^ACE中，CE+AOAE,.AB+AO2AD。

二、沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形例2.如圖3,在^ABC中，N1=N2,NABC=2NC。求證：AB+BD=AC。圖3 圖4證明：將^ABD沿AD翻折，點(diǎn)B落在AC上的E點(diǎn)處，即：在AC上截取AE=AB,連接ED。如圖4。：N1=N2,AD=AD,AB=AE,.^△ABD^AAED〔SAS〕。，BD=ED,NABC=NAED=2NC。而NAED=NC+NEDC,，NC=NEDC。所以EC=ED=BD。??ac=ae+ec,，ab+bd=ac。三、作平行線構(gòu)造全等三角形例3.如圖5,AABC中，AB=AC。E是AB上異于A、B的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到D,使CD=BE,連接DE交BC于F。求證：EF=FD。證明：過(guò)E作EM〃AC交BC于M,如圖6?？煽诿碞EMB=NACB,NMEF=NCDF。??AB=AC,，NB=NACB。，NB=NEMB。故EM=BE。??BE=CD,.??EM=CD。又：NEFM=NDFC,NMEF=NCDF,.^△EFM^ADFC〔AAS〕。EF=FD。四、作垂線構(gòu)造全等三角形例4.如圖7,在^ABC中,ZBAC=90°,AB=AC。M是AC邊的中點(diǎn)。AD±BM交BC于D，交BM于E。求證：NAMB=NDMC。A圖7 圖g證明：作CF1AC交AD的延長(zhǎng)線于F。如圖8。：NBAC=90°,AD±BM,，NFAC=NABM=90°—NBAE。：AB=AC,NBAM=NACF=90°,.^△ABM^ACAF〔ASA〕。，NF=NAMB,AM=CF。?.?AM=CM,，CF=CM。：NMCD=NFCD=45°,CD=CD,.?.△MCD/AFCD〔SAS〕。所以NF=NDMC。，NAMB=NF=NDMC。五、沿高線翻折構(gòu)造全等三角形例5.如圖9,在AABC中，AD1BC于D,NBAD>NCAD。求證：AB>AC。

A證明：把^ADC沿高AD翻折，點(diǎn)C落在線段DB上的E點(diǎn)處，即:上截取A證明：把^ADC沿高AD翻折，點(diǎn)C落在線段DB上的E點(diǎn)處，即:上截取DE=DC,連接AE。如圖10。在DBAADC^AADE〔SAS〕。AC=AE,NC=NAED。VZAED>ZB,AZOZBo從而AB>AC。六、繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形例6.如圖11,正方形ABCD中，N1=N2,Q在DC上，P在BC上。pa=pb+dq。求證:圖11 圖12證明：將^ADQ繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,使AD與AB重合,得到△ABM,即：延長(zhǎng)CB至l」M,使BM=DQ,連接AM。如圖12。Aabm^AadqIsas〕。，N4=N2=N1,NM=NAQD。VAB/7CD,???NAQD=NBAQ=N1+N3=N4+N3=NMAP。，NM=NMAP。，pa=pm=pb+bm=pb+dq［因BM=DQ〕?！菊n堂練習(xí)】1、如圖，AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC

A2、如圖，4AABC中，AB=AC,延長(zhǎng)AB至【」D,使BD=AB,取AB的中點(diǎn)E,接CD和CE.F為CD中點(diǎn)求證：CD=2CE3、如圖，△ABC中，/C=2/B,Z1=Z2O求證：AB=AC+CD.4、：AB=CD,NA=ND,求證：NB=NC

5、：如圖，8,么3于點(diǎn)。，3EL47于點(diǎn)E,BE、CD交于點(diǎn)0,且49平分NBAC.求證：0B=0C.6、如圖，C為線段AB上的一點(diǎn)，AACM和ACBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：ACEF是等邊三角形。

7、如下列圖，AE±AB,AFLAC,AE=AB,AF=AC。求證：〔1〕EC=BF；〔2〕EC±BF8、如圖10,四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M,CG與AD相交于點(diǎn)N.求證：AE=CG；圖109、如圖，在等腰Rt△ABC中，NC=90°,D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AE±CD于E,BF±CD交CD的延長(zhǎng)線于F,CH±AB于H點(diǎn)，交AE于G.求證：BD=CG.

10、：如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,BC=DC,CF平分NBCD,DF〃AB,BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E。求證：〔1〕ABFC^ADFC；〔2〕AD=DE：BC=DE,ZB=ZE,ZC=ZD,F是CD中點(diǎn)，求證：Z1=Z2：AC平分NBAD,CE±AB,ZB+ZD=180°，求證：AE=AD+BE13、如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC上，DE±DF,D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.補(bǔ)充：常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一〞的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折〞．遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)〞．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折〞，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移〞或“翻轉(zhuǎn)折疊〞截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答．1、如圖，AC〃BD,EA,EB分別平分NCAB,/DBA,CD過(guò)點(diǎn)E,求證;AB=AC+BDDFLACDFLAC于F.2、如圖，4ABC中，AD平分NBAC